基于狀態觀測器的分數階時滯混沌系統同步研究?

賈雅瓊1)2) 蔣國平1)?

1)(南京郵電大學自動化學院,南京 210023)

2)(湖南工學院電氣與信息工程學院,信號與信息處理重點實驗室,衡陽 421002)

基于狀態觀測器的分數階時滯混沌系統同步研究?

賈雅瓊1)2) 蔣國平1)?

1)(南京郵電大學自動化學院,南京 210023)

2)(湖南工學院電氣與信息工程學院,信號與信息處理重點實驗室,衡陽 421002)

(2017年2月17日收到;2017年6月12日收到修改稿)

研究分數階時滯混沌系統同步問題,基于狀態觀測器方法和分數階系統穩定性理論,設計分數階時滯混沌系統同步控制器,使得分數階時滯混沌系統達到同步,同時給出了數學證明過程.該同步控制器采用驅動系統和響應系統的輸出變量進行設計,無需驅動系統和響應系統的狀態變量,簡化了控制器的設計,提高了控制器的實用性.利用Lyapunov穩定性理論和分數階線性矩陣不等式,研究并給出了同步控制器參數的選擇條件.以分數階時滯Chen混沌系統為例,設計基于狀態觀測器的同步控制器,實現了分數階時滯Chen混沌系統同步,并將其應用于保密通信系統中.仿真結果證明了該同步方法的有效性.

混沌同步,分數階時滯混沌系統,分數階狀態觀測控制器,線性矩陣不等式

1 引 言

近十年來,分數階系統逐漸成為國際上的研究熱點,對分數階混沌系統的特性及其控制的研究已成為混沌學領域的一個熱點研究課題[1,2],且分數階混沌系統的同步控制比整數階混沌系統的同步控制在保密通信、系統控制等領域具有更突出的應用和發展前景[3?5].而由于摩擦、慣性、通信延遲等因素的限制,具有混沌特性的化工、生物、機械、經濟、物理和工程學等實際系統大多都為時滯混沌系統,并且時滯是影響一個系統動態特性的重要因素[6],因此關于時滯分數階混沌系統的研究得到了數學、物理、系統控制等多個領域學者的廣泛關注[7?10].

近年來,針對時滯分數階混沌系統同步控制的研究,已經出現了很多同步方法,如混合投影同步[11]、脈沖同步[12]、自適應同步[13]等.其中混合投影同步法是將兩個狀態變量同步到一個比例因子,最終實現兩個系統的同步;脈沖同步法通過對系統施加脈沖作用,從而改變其狀態變量使兩個混沌系統同步;自適應同步通過設計自適應控制器改變狀態變量,使驅動系統和響應達到同步.以上的同步方法存在一個共同的問題,也即處理的對象都是混沌系統的狀態變量,而狀態變量不能直接測量且很難實現實際應用.而基于狀態觀測器的混沌同步方法使用的是輸出變量,簡化了控制器的設計且可以直接測量,在整數階混沌系統中已經得到了廣泛的應用[14,15].本文采用狀態觀測器方法來研究時滯分數階混沌系統的同步控制問題.其優點在于該同步控制器采用驅動系統和響應系統的輸出變量進行設計,無需驅動系統和響應系統的狀態變量,簡化了控制器的設計,提高了控制器的實用性.

本文利用Lyapunov穩定性理論和分數階線性矩陣不等式,研究并給出了同步控制器參數的選擇條件.以分數階時滯Chen混沌系統為例,設計基于狀態觀測器的同步控制器,實現了分數階時滯Chen混沌系統同步,證明了該同步方法的有效性,并將其應用于混沌保密通信系統.

2 預備知識

常用的分數階微積分的定義有G runwald-Letnikov,RieMann-Liouville(RL),Caputo.其中Caputo分數階微積分的定義為[16]

Riemann-Liouville分數階微積分的定義為[16]

式中α為分數階階數, Γ(.)是gamma函數, 其定義為

為了得出分數階系統的數值仿真,本文采用基于AdaMs-Bashforth-Mou lton的預估校正算法[17]的G runwald-Letnikov法[18]對分數階系統進行數值求解. 根據文獻[16,19],分數階微積分的Riemann-Liouville和Caputo定義之間存在如下關系式:

(6)式中b是正常數.

引理1[12,19]X和Y是相同維數的實向量,對于任意標量ε＞0,存在如下不等式:

引理2[20]x=0為如下非自治分數階系統的平衡點:

假設存在一個Lyapunov函數V(t,x(t))和class-k函數βi(i=1,2,3),滿足

3 分數階時滯混沌系統的狀態觀測器同步

考慮如下的非線性時滯分數階系統:

此處,狀態向量x∈Rn,輸出y∈Rm,時滯τ＞0,A和C是已知的參數矩陣,f(x(t),y(t))滿足Lipschitz條件,也即[21]

引理3[22]如果如下條件滿足,則分數階系統是存在的:

引理3給出了分數階觀測系統存在的必要性條件.

在分數階時滯混沌系統的狀態觀測器同步中,驅動系統的模型如(11)式所示,輸出y(t)作為輸入去驅動響應系統.考慮(11)式的分數階狀態觀測器為

定義誤差系統為

則其動力學方程為

其中e(t)∈Rn是誤差向量,e(t?τ)=x(t?τ)?(t?τ)是時滯的誤差向量.

定理1 假設引理3滿足(也即矩陣(C,A)存在),則存在一個分數階漸近穩定的狀態觀測器(14),如果矩陣L和正標量ρ滿足以下線性矩陣不等式:

其中ρ = ελ2+ε+2ε?1+2μ.

證明 考慮Lyapunov函數:

(18)式的Caputo分數階導數為

將(20)式代入(19)式可得

考慮如下的邊界條件[19]:

將(16)式代入(21)式可得

根據引理1,有

再根據Liptschitz條件:

則(21)式可以寫為故

(28)式可以寫為

利用引理2中分數階Lyapunov直接方法,通過選擇矩陣L和參數ξ,可以使得分數階狀態誤差系統e(t)漸近穩定,也即

根據定理1,分數階狀態誤差系統(16)是漸近穩定的,因此,分數階時滯驅動系統(11)和分數階時滯響應系統(14)實現了分數階時滯狀態觀測器同步.

4 仿真結果

4.1 分數階時滯Chen混沌系統的狀態觀測器同步

為了驗證所提出的方法的正確性和有效性,利用所設計的控制器對分數階時滯Chen混沌系統進行了狀態觀測器同步的數值模擬仿真.

分數階時滯Chen混沌系統表達式為

(33)式的分數階狀態觀測系統為

選取(33)式的初始值為x0=[0.01 0.01 0.01]T,(34)式的初始值為0=[1 2 5]T,得到的仿真結果如圖1—4所示,圖1表示混沌相圖x1-x2的狀態值與觀測值的比較,圖2表示混沌相圖x2-x3的狀態值與觀測值的比較,圖3表示混沌相圖x1-x3的狀態值與觀測值的比較,圖4表示分數階狀態觀測器的誤差曲線.

圖1 混沌相圖x1-x2的狀態值與觀測值的比較Fig.1.Phase portrait of x1versus x2(dashed lines)and1versus2(solid lines).

圖2 混沌相圖x2-x3的狀態值與觀測值的比較Fig.2.Phase portrait of x2versus x3(dashed lines)and2versus3(solid lines).

圖3 混沌相圖x1-x3的狀態值與觀測值的比較Fig.3.Phase portrait of x1versus x3(dashed lines)and1versus3(solid lines).

圖4 分數階狀態觀測器的同步誤差曲線Fig.4.Synchronization error lines of fractional-order observer.

從實例數值仿真的結果可以看出,隨著時間的變化,e1,e2,e3很快地趨近于零,兩個系統達到了漸近穩定.由此說明在控制器的作用下,實現了系統(33)與系統(34)的狀態觀測器同步.

4.2 分數階Chen時滯混沌系統的狀態觀測器同步應用于保密通信系統

以分數階Chen時滯混沌系統為例,設系統中發送的有用信號為s(t)=0.02 sin(50t),將狀態觀測器同步應用于混沌保密通信系統中.

發送系統表示為

其中,y(t)是發送端的輸出,其余參數設置同(33)式.

接收系統表示為

假設接收端恢復的信號為sR(t)=y(t)?(t),根據定理1有因此,要發送的有用信號在接收端能夠準確恢復出來,達到保密通信的目的.

圖5—圖7是混沌保密通信系統的仿真結果,其中圖5給出了系統中要發送的有用信號s(t),圖6給出了發送端的輸出信號y(t),圖7給出了接收端恢復出的信號sR(t).

圖5 系統中要發送的有用信號s(t)Fig.5.In forMation signal to be sent ou t in comMunication system.

圖6 發送端的輸出信號y(t)Fig.6.The ou tpu t signal in transMitter.

圖7 接收端恢復出的信號sR(t)Fig.7.The recovered signal in receiver.

5 結 論

本文利用Lyapunov穩定性理論和分數階線性矩陣不等式,設計基于狀態觀測器的同步控制器,實現了分數階時滯混沌系統的狀態觀測器的同步,并且成功地利用Lyapunov函數的分數階導數證明了系統的穩定性.以分數階時滯Chen混沌系統為例,實現了分數階時滯Chen混沌系統同步,證明了該同步方法的有效性.本文的方法具有廣泛的實用性,可以推廣到其他分數階時滯混沌系統,并可以將其應用于混沌保密通信系統.

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PACS:05.45.XtDOI:10.7498/aps.66.160501

*Pro ject supported by the National Natu ral Science Foundation of China(G rant Nos.61374180,61373136,61401226,61672298),the Scientifi c Research Fund of Hunan Provincial Education DepartMent(G rant No.15C 0369),and the PrograMof the Key D iscip linary in Hunan Institute of Technology.

?Corresponding author.E-Mail:jianggp@njupt.edu.cn

Chaotic systeMsynch ron ization of state-observer-based fractional-order tiMe-delay?

Jia Ya-Qiong1)2)Jiang Guo-Ping1)?

1)(College of Au toMation,Nanjing University of Posts and TelecomMunications,Nanjing 210023,China)
2)(DepartMent of E lectronics and InforMation Engineering,Key Laboratory of Signal and InforMation Processing,Hunan Institute of Technology,Hengyang 421002,China)

17 February 2017;revised Manuscript

12 June 2017)

Alot of studies of control high light fractional calculus in Modeling systeMs and designing controllers have been carried out.More recently,a lot of chaotic behaviors have been found in fractional-order systeMs.Then,controlling the fractional-order systeMs,especially controlling nonlinear fractional-order systeMs has becoMe a hot research sub ject.The design of state estimators is one of the essential points in control theory.Time delays are often considered as the sources of coMp lex behaviors in dynaMical systeMs.A lot p rogress has been Made in the research of tiMe delay systeMs With real variables.In recent years,fractional-order tiMe-delay chaotic synchronization and chaotic secure communication have received ever-increasing attention.In this paper we focus our study on the synchronization of fractional-order tiMe-delay chaotic systeMs and its app lication in secure communication.Firstly,based on the Lipschitz condition,the nonlinear fractional-order tiMe-delay systeMis p roposed.Second ly,the fractional-order tiMe-delay observer for the systeMis constructed.The necessary and suffi cient conditions for the existence of the fractional-order observer are given by soMe lemMas.Third ly,the synchronous controller is designed based on the state observer and the stability theory of fractional-order system.Instead of the state variab les,the output variab les of drive systeMand response systeMare used to design the synchronous controller,which makes the design much more siMp le and practical.With the Lyapunov stability theory and fractional orderMatrix inequalities,theMethod of hoWto obtain the paraMeters of the controller is presented.The suffi cient conditions for asyMp toticalstability of the state error dynaMicalsysteMare derived.A fter that,With the Chen fractional-order time-delay chaotic system,the synchronous controller is designed tomake the systeMrun synchronously.Finally,the proposed approach is then app lied to secure communications,where the inforMation signal is injected into the transMitter and simultaneously transMitted to the receiver.With the observer design technique,a chaotic receiver is then derived to recover the in forMation signal at the receiving end of the communication.In the conventional chaotic MaskingMethod,the receiver is d riven by the suMof the inforMation signal and the output of the transMitter,whose dynaMics is autonomous.The simulation results shoWthat the design of the synchronous controller works eff ectively and effi ciently,which iMp lies that the p roposed fractional order tiMe-delay observer in this paper runs eff ectively.The proposed Method is able to be app lied to other fractional order tiMe-delay chaos systeMs,and also to chaotic secure communication system.

chaotic synchronization,fractional-order time-delay chaotic system,fractional state observe controller,linearmatrix inequality

10.7498/aps.66.160501

?國家自然科學基金(批準號:61374180,61373136,61401226,61672298)、湖南省教育廳項目(批準號:15C0369)和湖南工學院重點學科建設資助項目資助的課題.

?通信作者.E-Mail:jianggp@n jup t.edu.cn

?2017中國物理學會C h inese P hysica l Society

http://Wu lixb.iphy.ac.cn