有效質量法調控原子玻色-愛因斯坦凝聚體的雙阱動力學?

劉曉威 張可燁

(華東師范大學物理與材料科學學院,上海 200062)

有效質量法調控原子玻色-愛因斯坦凝聚體的雙阱動力學?

劉曉威 張可燁?

(華東師范大學物理與材料科學學院,上海 200062)

(2017年4月14日收到;2017年5月12日收到修改稿)

操控原子玻色-愛因斯坦凝聚體在雙勢阱中的動力學通常是通過改變勢阱深度來實現,本文提出了一種基于調節原子有效質量的控制方案,可以在不改變雙阱勢的前提下操控凝聚體的雙阱動力學.利用雙模近似,本文解析地導出了超冷原子在雙阱勢中的隧穿強度和相互作用強度對有效質量的依賴關系,并基于平均場近似數值模擬了在有效質量調節下的凝聚體動力學演化,展示了隧穿振蕩和自束縛等典型的雙阱動力學行為.此外,本文的研究還發現,借助負有效質量效應,這一方案甚至可以等效地實現對負散射長度原子凝聚體雙阱動力學行為的操控.

玻色-愛因斯坦凝聚,雙勢阱,有效質量

1 引 言

原子的玻色-愛因斯坦凝聚作為一種宏觀量子力學效應,一直是物理領域的研究熱點之一.其良好的量子相干性使它成為凝聚態物理、非線性物理、量子光學、量子信息與量子計算、精密測量等諸多基礎與應用研究領域的共同熱點,近年來更是成為了量子物理的研究工具,直接孕育出物質波光學、原子芯片、量子模擬等新的研究方向.在這些研究中,通過電磁場構建各種勢場來精密操控原子凝聚體是必不可少的研究手段.例如使用磁場在芯片表面構建原子波導[1,2],利用攜帶角動量的磁場或光場制備原子團渦旋態[3,4],利用駐波光場作為原子分束器操縱凝聚體實現原子干涉儀或陀螺儀[5?7],或利用駐波光場實現光晶格勢來操控凝聚體模擬各種理想的量子多體模型[8?15]等.其中,利用束縛在雙阱勢場中的原子凝聚體來模擬約瑟夫森超導結效應[16,17]是一個十分典型和基礎的量子模擬研究例子.傳統的研究方法一般通過操控形成雙阱勢的磁光場來改變勢阱深度,或利用費許巴赫共振法(Feshbach resonance)調節原子的相互作用強度,可以使原子凝聚體展現量子隧穿振蕩或自束縛等典型的約瑟夫森結動力學行為[18].

本文提出一種新的凝聚體雙阱動力學操控方法,在不改變構成雙阱勢的磁光場的前提下,通過額外施加一個光晶格勢場來調節凝聚體的有效質量,也可以完成動力學操控,使之展示各種典型的雙阱量子動力學行為.有效質量理論本來只是一種可以便捷地描述電子、原子等物質波在周期勢場中運動的近似理論,但近年來借助飛速發展的光晶格實驗技術,原子有效質量已經成為一個可精密調節的物理量,并有希望發展成為一種可以改變原子凝聚體性質的工具.依據光晶格勢的參量,原子有效質量可大可小,可以顯著地偏離真實原子質量值,導致其動力學性質與量子特性發生顯著改變.它甚至可以實現負質量效應,導致凝聚體懸浮[19]、亮孤子凝聚體[20?22]、負溫度凝聚體[23]、量子測量反作用消除等[24]一些奇異的物理現象.本文借助平均場近似和數值模擬展示了有效質量法對凝聚體雙阱動力學的調控,分析了其內在原因,并討論了負有效質量情況下凝聚體動力學與負散射長度凝聚體動力學的等效性.

2 系統哈密頓量與有效質量近似

如圖1所示,一維對稱雙阱勢場U(x)中囚禁的原子玻色-愛因斯坦凝聚體還受到波矢為kL的駐波光場形成的一維周期勢場V(x)=V0cos2(kLx)的操控,系統的完整哈密頓量為

其中M0是原子質量,g=4π2a/M0則代表散射長度為a的原子的碰撞相互作用強度,而(x)是玻色原子場的湮滅算符.雙阱勢U(x)的具體表達式為

式中參量b與d都是大于√零的實數,該勢√阱的兩個最低點分別位于x1=處,因此雙阱的間距可以表示為D=,而雙阱之間的勢壘深度為L=.如果光晶格勢V(x)的空間變化相對U(x)快得多,并且其勢深V0較小不至于使原子凝聚體發生絕緣態相變[14],那我們就可以用慢變包絡近似配合有效質量理論來研究原子凝聚體在空間慢變勢場U(x)中的運動[19].原子場算符可以用布洛赫函數完備模式來展開

圖1 (網刊彩色)裝置示意圖 原子玻色-愛因斯坦凝聚體除受到一個雙阱勢(紅)束縛外,還額外受到一個細密的可以調節其有效質量的光晶格勢(藍)的影響;雙阱的間距和阱間勢壘高度分別用D和L表示Fig.1.(color on line)ScheMatic diagraMof setup:The atoMic Bose-Einstein condensate is located in a doub le-well trap(red)With an ex tra fine-grained op tical lattice(b lue)to ad just its eff ectiveMass.The well interval and the barrier height of the doub le-well trap are labelled by D and L,respectively.

式中εn(k)是布洛赫能量,n,k分別標示能帶和布洛赫波矢,φn,k(x)滿足正交條件

假設凝聚體質心與光晶格勢之間的相對運動波矢為k0,則通過布洛赫波函數的慢變包絡近似φn,k≈ e i(k?k0)xφn,k0,我們就可以將原子場算符(3)式近似表示為一個中心波矢為k0的空間慢變包絡和描述由光晶格引起的快速空間振蕩的布洛赫函數的乘積[24],

其中包絡場算符

滿足玻色場算符對易關系

簡便起見,在下文中我們僅考慮原子波被激發到最低能帶(即n=1)的情況,因此可以將下標n與k0都省去.將場算符的近似表達式(6)代入系統哈密頓量(1),通過一些計算[見附錄A]我們可以得到凝聚體包絡場的有效哈密頓量:

其中m?= ?2/ε′′(k0)是原子包絡場的有效質量,ε′(k0)和 ε′′(k0)分別是第一能帶布洛赫能量在波矢k=k0處的一階和二階導數.該哈密頓量意味著調節布洛赫能量ε(k)就可以改變原子包絡場的有效質量,進而調控凝聚體在雙阱勢U(x)中的動力學.對布洛赫能量的調節可以通過改變光晶格勢深來實現,而k0值的調節則可以通過控制光晶格相對凝聚體質心的移動速度來實現[24].如圖2所示,當k0=0或kL時,即在第一布里淵區的中心或邊界上,哈密頓量(9)中布洛赫能量的一階導數項?iε′(k0)?為零,改變光晶格勢的深度V0就可以顯著調節有效質量的大小.這種調節甚至可以使有效質量為負,從而導致與正常情況完全相反的動力學行為.為了方便研究有效質量對雙阱系統動力學的影響,我們引入參量λ=m?/M0來代表有效質量與真實質量的比值.

圖2 (網刊彩色)(a)原子在光晶格勢中的第一布洛赫能帶圖,布洛赫波矢k0和能量ε(k0)分別以形成光晶格勢的駐波光場的波矢kL和原子反沖能量EL=2k2L/2M0為單位;(b)反有效質量比λ?1=M0/m?隨k0的變化.黑色圓圈線,藍色虛線和紅色實線分別對應晶格勢深度V0=7EL,4EL,1EL的情況Fig.2.(color on line)(a)The fi rst-band B loch energy for the atoMs trapped in the op tical lattice With the B loch wave vector k0;(b)the inverted eff ective Mass ratio,λ?1=M0/m?,as a function of k0,the b lack circle,the b lue dashed curves and the red solid curves are for the cases of lattice dep th V0=7EL,4EL,1EL,respectively.the B loch wave vector and the energy are norMalized by the wave vector of the op tical lattice kLand the atoMic recoil energy EL=?2k2L/2M0,respectively.

3 雙阱動力學調控

以下我們展示有效質量對凝聚體在雙阱勢中動力學行為的調控.對于一維雙勢阱U(x),當勢阱較深時我們可以采用雙模近似,構建左右阱的局域波函數來近似描繪凝聚體的運動[10].包絡場算符可表示成兩個局域模的疊加形式:

式中?代表原子在雙阱之間的遂穿率,而κ代表同一阱中原子的碰撞率.為了便于比較,我們引入未經有效質量調控時(即λ=1時)的雙阱隧穿率?0=exp(?d/2b)以及相互作用率κ0=作為參考值,g′代表一維有效原子相互作用強度,則有關系

其中正負號取決于有效質量比λ的符號,即有效質量的正負.方程(12)和(13)說明可以通過調控有效質量來改變隧穿率和碰撞率.我們先考慮有效質量為正的一般情況,為負的情況將在本文末尾討論.

為了對凝聚體的動力學演化做數值模擬,我們根據一些典型的實驗參數來估計隧穿率和碰撞率的取值.以磁光阱束縛的堿金屬原子凝聚體為例,實驗中雙阱間距D的尺度可在1—100μm之間調節,而光晶格勢的每個格點尺度則在約0.1μm量級,完全可以滿足之前我們對晶格勢空間變化率遠大于雙阱勢的假設.按照文獻[26]中的實驗數據,雙阱寬度D=13μm,勢壘深度L=h×4.7 kHz(h為普朗克常數),對應d=h×2.2×1014Hz/m2和b=h×2.6×1025Hz/m4.以87Rb原子為例,單原子質量M0=87×1.7×10?27kg,原子s波散射長度a=5.7 nm[27],由此可估算出原始遂穿率?0=2π×28.2 kHz,碰撞率κ0=2π×0.5 Hz.如圖3所示,在固定雙阱勢參量的情況下,凝聚體隧穿率?和碰撞率κ隨有效質量的改變展示出相反的變化趨勢.以無光晶格調控有效質量時的值為參考,碰撞率隨有效質量的增大而增大,而隧穿強度則變小.這也符合量子特征隨質量增加而減弱這一通常的規律.

圖3 原子遂穿率? (實線)和相互作用率κ(虛線)隨著有效質量比λ的變化,計算所使用的雙阱勢和原子參數詳見正文Fig.3.The atoMic tunneling rate?(solid line)and the interaction rateκ(dashed line)as functions of the eff ective Mass ratioλ.See the Main tex t for the detailed paraMeters used in the calculation.

在總原子數較大且碰撞相互作用較弱的情況下,我們可以安全地忽略所有的量子漲落和量子關聯效應,用平均場近似理論來描述雙阱系統的動力學[28].將原子產生湮滅算符用它們的平均值代替,L(R)≈L(R)〉=e i?L(R)(t),式中N L(R)和?L(R)分別代表左(右)阱中原子的平均布居數和相位,再代入(11)式中就可以獲得描述雙阱系統的經典哈密頓量.如果進一步定義兩個新的自由度,雙阱之間的相位差?=?L??R和歸一化的原子布居差ρ=(NL?NR)/N取值范圍分別為[?π,π]和[?1,1],則經典哈密頓量簡化為

其中,EJ=EJ0exp(?(? 1)d/2b)和Es=Es0λ1/4分別代表受有效質量調控的隧穿和相互作用能量,而EJ0= ??0N/4和Es0= ?κ0N2/2則分別對應未受調控時的值.原子凝聚體的良好相干性使我們可以在短時間(約1 s量級)內安全地忽略各種損耗效應,通過哈密頓正則方程來描述體系的動力學,

該方程組說明雙阱動力學演化對應一個擺角為?、擺幅為ρ、并且擺長非線性變化的經典單擺.很容易發現它有兩個不依賴于隧穿能量EJ和相互作用能Es的穩態解,{ρ =0,? =0}和{ρ=0,? = π},對應左右阱原子數和相位完全相同或原子數相同而相位完全相反.除了這兩個平庸穩態之外,當相互作用能較大時,即|Es|＞EJ,它還有兩組原子數非對稱的穩態解,{ρ2=1?E2J/E2s,? =0,π},其中?=0對應Es＜0的情況而?=π對應Es＞0.而系統的動力學特征則取決于相互作用能量與隧穿能量的比值Es/EJ以及系統的初始條件ρ(0)和?(0)的選取,可分為簡諧振蕩、非諧振蕩、自束縛等一些類型[28].通常的雙阱動力學操控是通過調節外場以改變雙阱勢U(x)的形狀[29],或者通過費許巴赫共振法調節原子間的散射長度以改變相互作用強度來實現[30],最終都落實到改變Es0/EJ0的比值上.而現在我們可以通過光晶格勢來操縱凝聚體的有效質量,即改變λ,同樣也可以實現對Es/EJ的值以及對應的雙阱動力學的操控.

圖4 (網刊彩色)有效質量比為(a)λ=1,(b)λ=0.1,(c)λ=1.28,(d)λ=10情況下左右阱中原子凝聚體的歸一化粒子數差ρ(藍色實線)和相位差?(紅色虛線)隨時間的演化,時間單位為?/EJ0 (e),(f),(g),(h)是與(a),(b),(c),(d)對應的在{ρ,?}相空間中的能量等高圖,如標尺所示顏色越深能量越低,能量值以EJ0為單位;所有情況下原子凝聚體的初始條件相同(ρ(0)=0.55,?(0)=0,對應能量圖中的白點)雙阱勢U(x)也相同,其余參量與圖3一致Fig.4.(color on line)Left coluMn:The tiMe evolu tion of the popu lation diff erenceρ(b lue solid lines)and the phase diff erence ?(red dashed lines)of the atoMic condensate in the doub le-well trap With diff erent eff ective Mass ratios(a)λ=1,(b)λ=0.1,(c)λ=1.28,(d)λ=10.The initial cond itions for all the cases areρ(0)=0.55 and?(0)=0 and the paraMeters of the trap potential are the saMe as Fig.3.Right coluMn:The energy contou r p lots of the systeMin space of{ρ,?}With lower energy labeled in deeper color.(e),(f),(g),and(h)correspond to the HaMiltonian of(a),(b),(c),and(d),respectively.The comMon initial cond itions are Marked by the White points.The tiMe and the energy are norMalized by h/EJ0and EJ0,respectively.

在圖4中我們通過模擬動力學方程(15)在同一初始條件但不同λ值下的演化,來展示有效質量法對雙阱中凝聚體動力學的調控.此外我們還通過分析有效質量比λ對哈密頓量(14)的影響來分析動力學發生顯著改變的原因.圖4的左列與右列分別展示了系統在同一初始條件但不同有效質量情況下,左右阱粒子數差ρ與相位差?隨時間的演化和哈密頓量即系統總能量在{ρ,?}參量空間的等高圖.由于忽略了所有的損耗效應,系統在演化過程中總能量守恒,所以其瞬時狀態點{ρ(t),?(t)}始終位于初態(ρ=0.55,?=0)對應能量值所在的等高線上.然而當有效質量改變引起隧穿率和碰撞率變換時,能量等高線結構本身會發生對應的扭曲變形,導致系統動力學發生顯著的改變.當沒有用有效質量法調控時,即圖4(a)和圖4(e)中λ=1的情況,凝聚體初態所在的能量等高線呈一個兩頭尖的橄欖形,狀態點沿這一形狀運動時,ρ展現出三角波形的非諧振蕩,而?則為簡諧振蕩.當有效質量比λ=0.1時,即有效質量遠小于真實質量,按照前文的分析隧穿率將會被放大而碰撞率變小,其能量等高線變為一個規則的橢圓,如圖4(f)所示.狀態點沿這一橢圓運動時,ρ與?對應的動力學演化是振幅不同但周期相同的簡諧振蕩,如圖4(b)所示.而當λ=1.28時,有效質量大于真實質量,情況則相反,碰撞增強而隧穿減弱,原來橄欖形的能量等高線在尖端處進一步扭曲.此時?的運動變為近似矩形波的非諧振蕩,而ρ的運動則在振蕩之間展示出奇異的平坦段,這對應著非線性單擺的臨界減慢效應[31].隨著有效質量進一步變大,非線性效應顯著地增強.當λ=10時,能量等高線趨向平直,?的運動變成了高度非諧的鋸齒波振蕩,而ρ則不再振蕩意味著左右阱原子數不同但差值固定,這對應著由高度非線性引起的自束縛效應[32].

4 負質量情況

費許巴赫共振法不但可以調節原子相互作用強度g的大小,還可以改變其正負使相互作用由排斥變為吸引,從而使得雙阱系統的動力學發生顯著改變.有效質量法雖然不能直接改變原子間的相互作用性質,但卻可以利用負質量物體的力學響應與正質量物體完全相反這一特性,實現與改變原子相互作用性質等效的操控.

當有效質量為負時,勢能最高處才是凝聚體運動的基態所在,因此只要完全翻轉雙阱勢,即將哈密頓量(1)中的U(x)變為?U(x),就仍可以采用雙模近似來描述凝聚體的動力學,所獲得的動力學方程組如下:

與方程組(15)相比只是隧穿能量EJ的值變為負數.而另一方面,當原子質量為正而相互作用為吸引時,其動力學方程的改變則體現在Es值變負,

比較這兩種情況下的動力學方程組不難發現,只要將負質量動力學方程組中的ρ變為?ρ而?不變,或者將?變為??而ρ不變,就可以使兩組方程完全一致.因此,當凝聚體的有效質量為負而原子相互作用為正時,只要完全翻轉雙阱勢,并在制備系統初態時注意將原子數差ρ的定義中的左右順序反過來或賦予相位差?一個額外的π相移,就完全可以模擬質量為正而相互作用為負的原子凝聚體在雙阱勢中的動力學行為.

5 結 論

本文提出了通過光晶格調節原子凝聚體有效質量,從而控制凝聚體在雙阱勢中的動力學行為的方案.借助雙模近似與平均場近似,我們導出了雙阱中凝聚體的隧穿率與原子相互作用率對有效質量值的依賴關系,并通過數值模擬展示了有效質量發生改變時,凝聚體在雙阱中的動力學行為由量子隧穿占主導的簡諧振蕩到原子碰撞占主導的自束縛的轉變.此外,我們還指出通過使有效質量變負的方法可以模擬吸引型原子相互作用的凝聚體的雙阱動力學.與直接調整形成雙阱勢的磁光場或用費許巴赫共振法調節原子相互作用的傳統方案不同,本文的方案不改變原有束縛場而是通過額外施加一個駐波光場來實現,對一些要求固定外場束縛條件的原子凝聚體應用研究或是對磁場調節不敏感的原子較有意義.此外盡管我們只分析了外場是雙阱勢的情況,但只要這些束縛勢的空間變化率遠小于用來調節有效質量的光晶格勢,該方案對其他形狀的束縛勢同樣有效.未來我們希望將有效質量法進一步拓展到對凝聚體原子量子多體動力學與量子關聯的操控上.

附錄A 包絡場哈密頓量(8)的導出

式中,V(x)是光晶格勢,U(x)是雙阱勢場,M0是原子真實質量.對布洛赫函數φk(x)進行慢變包絡近似后,原子場算符(x)可近似表示為

k是準動量波矢,而k0代表BEC的質心動量波矢,k是原子在布洛赫模式上的湮滅算符,滿足玻色對易關系.為簡便起見我們只討論第一布洛赫能帶的情況.包絡場算符(x)與k間有傅里葉逆變換關系,

其中有效質量m?=

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PACS:03.75.Kk,05.30.Jp,03.75.lm,67.85.JkDOI:10.7498/aps.66.160301

*Pro ject supported by the National Natu ral Science Foundation of China(G rant Nos.11574086,91436211,11234003),the National Key Research and DevelopMent PrograMof China(G rant No.2016YFA 0302001),the Ma jor Research P lan of the National Natural Science Foundation of China(G rant No.11654005),and the Shanghai Rising-Star Program,China(G rant No.16QA 1401600).

?Corresponding author.E-Mail:kyzhang@phy.ecnu.edu.cn

E ff ective-Mass app roach to controlling doub le-Well dynaMics of atoMic Bose-Einstein condensates?

Liu Xiao-Wei Zhang Ke-Ye?
(DepartMent of Physics and Material Science,East China NorMal University,Shanghai 200062,China)

14 Ap ril 2017;revised Manuscrip t

12 May 2017)

The realization of Bose-Einstein condensation in dilute atoMic gases opens an exciting way to quantuMMechanics and begins a neWarea of quantuMsimu lation.As aMacroscopic quantuMob ject and aMany-body bosonic system,the Bose-Einstein condensates can shoWnumerous exotic quantuMeff ects and have naturally attracted great attention.One of the siMp lest quantuMMany-body systeMs to be realized experiMentally and studied theoretically is u ltra-cold atoMs in a doub le-well potential.This systeMcan exhibit a great variety of quantuMinterference phenoMena such as tunneling oscillation,self-trapping and the entanglement of macroscopic superpositions.Specifically,the double-well potentials built by optical or Magnetic fields are easy to change and theMany-body interaction between ultra-cold atoMs can be changed by themethod of Feshbach resonance,enabling the precise quantuMcontrol of the double-well dynaMics of the condensates.

In the present work,we study the dynaMics of a condensate in Atrapping potential consisting of an unalterable double-well trap and an additionalmoving optical lattice.If the lattice space ismuch smaller than the size of the doublewell trap,the systeMcan be siMp lified into a double-well trapped condensate With Atunable eff ectiveMass.Using the Mean-field factorization assuMption,together With Atwo-Mode approxiMation,we obtain the analytic exp ressions for the dependence of the tunneling rate and the self-collision strength on the eff ectivemass.The tunneling rate decays and the collision strength groWs up With the increase of the eff ectiveMass.As a consequence of their diff erent changes,we conclude that the ad justMent of the eff ectiveMass of the ultra-cold atoMs,rather than the changing of the trap barrier or ad justing of the atoMic scattering length,is an alternative approach to controlling the double-well dynaMics of the condensate.V ia nuMerical simulations of the Mean-field dynaMical equations With soMe realistic paraMeters,we shoWthat Atransition between the quantuMcoherent tunneling and the self-trapping behaviors is experimentally realizable With the Mass-control approach.Specifi cally,we shoWthat the app roach is still valid for the case of negative Mass.Moreover,we find that the negative-Mass case can be used even to stimulate the doub le-well dynaMics of the condensate With a negative atoMic scattering length.

Bose-Einstein condensation,doublewell,eff ectivemass

10.7498/aps.66.160301

?國家自然科學基金(批準號:11574086,91436211,11234003)、國家重點研發計劃(批準號:2016YFA 0302001)、國家自然科學基金委應急管理項目(批準號:11654005)和上海市啟明星人才計劃(批準號:16QA 1401600)資助的課題.

?通信作者.E-Mail:kyzhang@phy.ecnu.edu.cn

?2017中國物理學會C h inese P hysica l Society

http://Wu lixb.iphy.ac.cn