非線性兩模玻色子系統的Ma jorana表象?

方杰 韓冬梅 劉輝 劉昊迪 鄭泰玉

(東北師范大學物理學院和量子科學中心,長春 130024)

非線性兩模玻色子系統的Ma jorana表象?

方杰 韓冬梅 劉輝 劉昊迪?鄭泰玉?

(東北師范大學物理學院和量子科學中心,長春 130024)

(2017年1月10日收到;2017年6月3日收到修改稿)

利用Majorana表象,從平均場模型和二次量子化模型兩方面研究了非線性雙模玻色子系統的動力學問題.得到了Majorana點在球面上的運動方程,分析了平均場模型和二次量子化模型之間的區別及其在Majorana點運動方程中的體現.研究了二次量子化模型中量子態在少體和多體情況下的動力學演化及其與平均場量子態的區別和聯系.以平均場模型和二次量子化模型量子態之間的保真度和Majorana點之間的關聯為手段,討論了在不同玻色子間相互作用強度、不同玻色子數下量子態的演化及相應的自囚禁效應.

Majorana表象,自囚禁效應,平均場近似

1 引 言

量子態及其動力學演化是量子力學中極為重要的概念.對于一個高維量子態,我們很難找到一種直觀或者幾何的方式來展示其演化.這是由于量子態雖然是客觀存在的,但并不是一個可觀測量.盡管任意一個二能級量子純態可以利用Bloch表象將其表示為單位球面上的一個點[1].然而對于高維量子態來說,這一圖像看起來并不適用,因為我們無法直觀地觀察更高維球面上的運動.對此,Majorana提出,我們可以用單位球面上更多的點而不是僅靠高維球上的一個點來建立這樣的幾何圖像[2].在Majorana表象中,一個自旋N/2量子態(或者一個等效的N體兩模玻色子態)可以表示為二維Bloch球面上的N個點.這一表象作為一個重要工具被廣泛用于處理高維或者多體量子系統,例如多體玻色系統[3?6]和多量子比特態[7],并且在從幾何角度研究這些系統的物理特性時得出了很多有用的理論,例如幾何相位[8?11]和量子糾纏[12?19].

近年來,Majorana表象在冷原子系統的研究中得到了人們的廣泛關注.在冷原子物理中,旋量玻色氣體的重要特性體現在其對旋轉、反射等幾何操作的響應[3,4].對于高維的大自旋玻色氣體,這一特征很難直接從態矢量中得到.而在Majorana表象中,量子態的這些性質則可以通過Bloch球面上點的分布和運動觀測到.因此,Majorana表象可以很好地用于研究旋量玻色氣體平均場基態性質[3]、動力學[20]、對稱性[21,22]等.例如,Bose-Einstein凝聚體(BECs)中一個非常重要的課題——相互作用玻色子系統(也可以看作雙阱BECs系統)中的非線性效應[23,24].由原子-原子相互作用可以引發很多有趣的非線性效應,比如非線性隧穿[25?28]和自囚禁現象[23,29?35].在高維Hilbert空間情況下,通常的做法是采取大玻色子數N極限下(N→∞)平均場方法將兩模玻色子模型近似為一個二能級系統[25,26,36?38].量子態的演化和自囚禁效應則可以由二維Bloch球面上的一個點來描述.由此,借助Majorana表象,一個N體兩模玻色子系統的量子態演化同樣可以由Bloch球面上的N個點的運動來描述.利用這一方法,我們就可以通過N個Majorana點研究量子態的演化,并與平均場方法進行比較.

在本文中,我們利用Majorana表象從二次量子化(SQ)模型中N個點的演化和平均場近似中一個點的演化兩方面來研究兩模玻色子系統的動力學演化問題.首先介紹通常平均場近似下的動力學演化及其對應的Bloch球面上一個點的運動,并解釋相應的自囚禁效應.然后利用二次量子化模型的Majorana表象將系統的動力學演化在不同維度下用Bloch球面上多個Majorana點的運動表示出來,并分析了二次量子化模型與平均場模型中動力學演化的區別及其原因,然后在Majorana點演化方程中加以體現.研究了二次量子化模型中的量子態在少體(N=2,3)和多體(N=100)情況下的動力學演化及其與平均場模型中量子態的區別和聯系.以平均場模型和二次量子化模型量子態之間的保真度和Majorana點之間量子糾纏為形式討論了不同粒子數,不同玻色子間相互作用強度對量子態演化及相應自囚禁效應的影響.

2 兩模玻色子系統及其平均場動力學

考慮一個兩模N粒子玻色系統,其HaMiltionian可寫作

其中a和b分別表示兩種激發的概率幅,滿足|a|2+|b|2=1.此外,由角動量的SchWinger表象可知,GP態等價于一個N-量子比特直積態,

其中二能級量子態為|u〉=a|↑〉+b|↓〉.通過計算平均值〈H〉≡ 〈ψGP||ψGP〉可以得到這一半經典模型的動力學演化由如下二能級Schr?dinger方程表征,

其中平均場HaMiltonian為

由此在平均場近似下,一個N體兩模玻色子模型可以看作一個自旋1/2系統,并且玻色子間相互作用項變成了一個非線性項出現在HaMiltonian(5)中.其中兩模玻色子數可分別表示為Na=N|a|2和Nb=N|b|2.由于|u〉的歸一化和相位不定性,方程(4)所表征的動力學演化本質上可以由一個復數ξM=b/a表示.即

如果我們定義ξM≡ tanei?M(θM∈ [0,π],?M∈[0,2π]),那么這一動力學演化就可以表示為球面上球坐標θM和?M的演化,

如果考慮球面上的一點uM=(sinθMcos?M,sinθMsin?M,cosθM),那么經過簡單推導[2],量子態|ψM〉的演化就完全可以表示為uM在Bloch球面上的運動

其中B=B(v,0,γ)可以看作一個等效磁場.

如圖1(a)所示,線性情況(c=0)下,平均場HaMiltonian描述一個自旋1/2粒子在磁場B中的運動.相應點在Bloch球上的軌跡則對應于一個磁矩在繞磁場B做進動.也就是說,如圖1(b)所示,玻色子在兩個模式之間振蕩.引入非線性相互作用(c?=0)后,隨非線性強度的增加,兩模之間的振蕩幅度逐漸減弱.當非線性強度增加到臨界值c=2v時,自囚禁效應發生.兩模中的粒子數從在兩模之間振蕩變為局域在某一模式中,見圖1(b),而相應點在球面上的軌跡從在南北極之間運動變為只在北半球運動.當非線性強度相對于臨界值較大時,兩模間粒子數差的振蕩幅度變得很小,于是粒子被束縛在初始時刻的a模中,對應于球面上的點只在北極附近運動.至此,平均場下的非線性效應可以很好地由Bloch球上的一個點來表征.

圖1 (網刊彩色)(a)平均場模型中不同非線性相互作用強度c下點uMF(黃色實線)的軌跡,參數選取為γ=0；(b)平均場模型中兩模布居數差(Na?Nb)/N隨時間的演化Fig.1.(color on line)(a)The trajectories of the point uMF(yelloWsolid line)for Mean field Model With d iff erent non linear interacting strength c,the paraMeter is chosen asγ=0;(b)the tiMe evolution of the popu lation d iff erence(Na?Nb)/N for theMean-field Model.

3 兩模玻色子系統的Majorana表象

然而,平均場模型只適用于大粒子數情況.如果想要獲得兩模玻色子系統更精確的動力學演化,則需要處理HaMiltonian(1).不同于二能級平均場HaMiltonian,其量子態在(N+1)維Hilbert空間中的演化并不能直接映射到Bloch球面上.為此,Majorana提出了一個直觀的方法研究其演化.在二次量子化模型中,任一(N+1)維量子態可寫為

其中Cl表示量子態|ψ〉N在基矢|l,N?l〉上的概率幅.注意到上式中求和部分是玻色子算符和?↓的一個N 次齊次多項式,所以|ψ〉N可以被因式分解為[9,10]

其中M為歸一化常數,θl和?l由方程

的根xl≡ tanei?l決定. 顯然,不同于平均場情況,這里的每個根都對應一組球坐標.這一參數化過程對應Bloch球面上的N個點ul=(sinθlcos?l,sinθlsin?l,cosθl),(l=1,...,N).將(11)式代入Schr?dinger方程可知,在線性情況(c=0)下,量子態|ψ〉N含時演化對應的N個Majorana點運動方程為l=?ul×B.即,N個Majorana點ul同時繞磁場B進動.如果選取初態為GP 態|ψ〉N=|N,0〉,所有Majorana點的軌跡與圖2(a)所示平均場情況下的軌跡相同.由此可見,在線性情況下,二次量子化模型描述的動力學演化與平均場模型MF描述的動力學演化是一致的.

在玻色子間相互作用存在的情況(c?=0)下,二次量子化模型的動力學演化要復雜一些.參照文獻[2]的做法,通過Schr?dinger方程和一系列簡單推導,我們可以得到方程(11)的根xl所滿足的微分方程為

通過定義xl≡ tanei?l,我們可以將其表示為Bloch球面上球坐標的運動,

由于這些球坐標θl和?l與量子態|Ψ〉N的概率幅Cl是一一對應的.所以二次量子化模型中量子態的動力學演化就可以表示為這些球坐標所對應的球面上點ul的運動,即

不難發現,方程前兩項在大粒子數極限N → ∞下正是方程(8). 考慮到ul.uk=cosθlcosθk+sinθlsinθkcos(?l??k),方程(14)最后一項中

表征Majorana點之間的關聯.也就是說,在存在玻色子間相互作用的情況下(c?=0),除方程(8)表示的平均場動力學外,每一個Majorana點還與其他點相互關聯,并受其影響.也就是說,在二次量子化模型中,即使初態是GP態,在演化過程中也并不能時時保持GP態的形式而是處于有N個不同激發形式的態(10)式.如果我們想控制多體量子態始終按照GP態的形式演化,二次量子化HaMiltonian(1)式需要變為

其中|Ψ〉N為量子態(9)式. 如果初態為GP態,即所有Majorana點重合在一起,那么在HaMiltonian(16)式的驅動下,量子態會始終保持GP態的形式,

而每個Majorana點都會遵循平均場模型中的點方程(8)演化,并每時每刻都保持重合.因此,比較HaMiltonian(16)式和(1)式可以發現,平均場近似下的二能級量子態演化與二次量子化模型下的多體量子演化區別在于,在HaMiltonian中引入了平均值〈Na?Nb〉≡N〈ψ|↑?|ψ〉N,從而忽略了相應量子漲落的影響,而這部分可以通過方程(15)中Majorana點之間的關聯來體現.為此,下面我們將分別在少體和多體情況下研究這一差別對二次量子化模型中量子態動力學演化的影響.值得注意的是,由于態(10)式滿足SU(2)對稱性,其等價于一個對稱N量子比特純態[10],

其中|ul〉=cos(θl/2)|↑〉+sin(θl/2)ei?l|↓〉是Majorana點ul=(θl,?l)的量子比特態,M是歸一化常數.求和∑P從1,2,...,n 到P(1),P(2),...,P(n)遍歷所有置換P.Majorana點之間的關聯可以刻畫這一多量子比特純態中量子比特之間的糾纏[10].因此,反過來我們可以借助糾纏來表征Majorana點之間的關聯.此外,平均場模型中GP態|ψGP〉和二次量子化模型中量子態|ψ〉N的區別也可由保真度

來衡量.因此,在少體(N=2,3)和多體(N=10)兩種情況下,我們可以通過數值求解Majorana點運動方程(14),通過Majorana點的軌跡、糾纏及其表示的保真度F來研究存在玻色子間相互作用的情況下二次量子化模型中的動力學演化,并與平均場結果比較.

在兩玻色子情況下,二次量子化模型中的任一量子態可由兩個Majorana點u1=(θ1,?1),u2=(θ2,?2)表示為

圖2 (網刊彩色)(a)兩玻色子二次量子化模型中Ma jorana點u1(黃色實線)和u2(紅色實線)在不同玻色子間相互作用強度c下的軌跡,參數選取為γ=0；(b)兩模布居數差(Na?Nb)/N,保真度F和并發度C隨時間的演化Fig.2. (color on line)(a)The tra jectories of the point u1(yelloWsolid line)u2(red solid line)for the two-boson SQ Model With d iff erent boson interacting strength c,the paraMeter is chosen asγ=0;(b)the tiMe evolu tion of the popu lation diff erence(Na?Nb)/N,Fidelity F and the concu rrence C.

兩個Majorana點之間的糾纏可以用并發度

來度量[9,10],并且正比于二者之間的距離.

玻色子間相互作用較弱的情況(c/v=0.1)下,從圖2(a)中可見,兩個Majorana點盡管沒有重合在一起,但始終保持在同一緯度,這說明此時玻色子間相互作用對量子態動力學演化影響較小.如果平均場和二次量子化模型的初態相同,此后這兩個態的保真度趨于1,這種情況下兩個模型中的動力學演化結果差別不大,這也可以表現為兩點之間的糾纏較弱(如圖2(b)所示).在玻色子間相互作用強度相對較大的情況(c/v=10)下,方程(15)所表征的量子漲落作用變大.隨著兩個Majorana點之間的距離增大,量子態并不能時時處于GP態,即使某一時刻重新回到GP態,量子態的演化也與平均場的結果不同.比如在圖2(a)中的南極點,Majorana點之間的糾纏為0,二者重合,二次量子化模型中的量子態回到GP態.然而由F=0可知,這一量子態與平均場模型中相應的量子態彼此正交.然而,盡管玻色子間相互作用較強,兩模中的玻色子并沒有出現類似于平均場近似下自囚禁效應的局域化行為.玻色子仍在兩個模式間振蕩.這一區別正如我們前面所討論的,由于量子漲落的影響不可忽略,導致并未出現類似于平均場模型中球面上點的局域化行為.

在三玻色子情況下,二次量子化模型中的任一量子態可由三個Majorana點u1=(θ1,?1),u2=(θ2,?2),u3=(θ3,?3) 表示為

圖3 (網刊彩色)(a)三玻色子二次量子化模型中Ma jorana點u1(黃色實線),u2(紅色實線)和u2(藍色實線)在不同玻色子間相互作用強度c的軌跡,參數選取為γ=0;(b)兩模布居數差(Na?Nb)/N,保真度F和并發度C隨時間的演化Fig.3. (color on line)(a)The trajectories of the point u1(yelloWsolid line)u2(red solid line)for the three-boson SQ ModelWith diff erent boson interacting strength c,the paraMeter is chosen asγ=0;(b)the tiMe evolu tion of the popu lation diff erence(Na?Nb)/N,Fidelity F and the concu rrence C.

這三個點之間的糾纏可以用3-糾纏(3-tangle)

來度量[9,10],正比于三個點兩兩距離的乘積.

如圖3所示,在玻色子間相互作用較弱的情況(c/v=0.1)下,與兩玻色子情況類似,三個Majorana點之間的距離始終保持在同一緯度,糾纏較弱(τ～0),也就是說三個點之間的距離較小.此時,二次量子化和平均場模型中量子態的動力學演化基本相同(F～1),量子漲落對量子態動力學演化影響較小,這是由于方程(14)中的玻色子間相互作用項整體較小.然而在玻色子間相互作用相對較大的情況(c/v=10)下,三玻色所對應的Majorana點在球面上出現了一定的局域化行為,盡管它們之間的糾纏不為零,但隨著時間的增長較慢,這表現為三個點始終同處于北半球.此時二次量子化與平均場模型的量子態演化也較為相似(見圖3(b)中F的軌跡),并且出現了類似于平均場模型中的自囚禁現象.這是由于盡管量子漲落帶來的影響依然不可忽略,但是相對兩玻色子情況而言,三玻色子在兩個模式之間的運動更符合平均場一些.

至此,我們發現,由方程(15)所表征的量子漲落是二次量子化模型與平均場模型的主要區別,這一區別可以由Majorana點之間的關聯來體現.隨著玻色子數的增加,這一量子漲落的平均效果對量子態演化的影響逐漸減弱.此外,在極弱玻色子間相互作用情況下,由于磁場B占主導地位,方程(14)中的玻色子間相互作用項整體較弱,二次量子化模型趨于平均場的結果.在粒子數較大的情況(N=100)下,如果玻色子間相互作用相對于平均場模型自囚禁效應臨界點較強,二次量子化模型與平均場模型也符合得較好(如圖4中紅色實線所示).此時,Majorana點之間的關聯較為復雜,但我們仍可以通過|ψ〉N和|ψGP〉之間的保真度來估計這一關聯E=1?F.

從圖4中可以看出,在玻色子間相互作用相對于自囚禁效應臨界點較強的情況下,Majorana點的多體關聯較弱,此時Majorana點只能在北半球演化[10],點與點之間的距離較近,于是平均場模型能夠較好地符合二次量子化模型的動力學演化.然而,在自囚禁效應發生的鄰界點附近兩個模型偏差較大.此時二次量子化模型與平均場的臨界行為不同,二次量子化模型中粒子數的變化是連續的(如圖4(a)所示),并沒有出現平均場模型中的臨界行為((如圖1(b)所示).這是由于即使在大粒子數情況下,Majorana點之間的多體關聯依然存在,點與點之間仍然保持距離,并不能被看作GP態|ψGP〉.甚至在臨界點附近,兩個模型的動力學演化完全不同((如圖4(b)中黑色點劃線和綠色實線所示)),此時量子漲落的影響不可忽略,從而不再滿足平均場近似的條件.不過,在臨界點附近,Majorana點在球面上的運動也恰好以南極為臨界點(以是否有Majorana點能達到南極進行區分)[10],而此時兩模中粒子數分布也過渡到a模始終大于b模.因此在平均場和二次量子化兩個模型中劃分振蕩與局域化的參數臨界點是一致的(c=2v),區別在于平均場模型是突變,而二次量子化模型變化是連續變化.這說明二次量子化模型中區別于平均場模型的量子漲落(方程(15))對布居數變化的振蕩和局域化的參數臨界行為并沒有顯著作用,而是對量子態本身的的演化有所影響.

圖4 (網刊彩色)(a)兩模布居數差(Na?Nb)/N隨時間的演化,參數選取為N=100,γ=0;(b)保真度F 隨時間的演化Fig.4. (color online)(a)The tiMe evolution of the popu lation diff erence(Na?Nb)/N,the paraMeters is chosen as N=100,γ=0;(b)the tiMe evolu tion of the fidelity F.

4 結 論

近年來,有關Majorana表象的研究表明,Majorana點及其在Bloch球面上的演化已經成為研究多體系統的一個非常有用的工具.我們的研究發現利用Majorana表象,可以將平均場和二次量子化兩個模型下非線性雙模玻色子系統的動力學問題直觀地表示出來.通過得到Majorana點在球面上的運動方程可以發現,平均場模型和二次量子化模型之間的區別可以通過Majorana點及其之間的關聯表示.結果表明,二次量子化模型中不同于平均場模型的量子漲落效應可以通過Majorana點的微分方程解析得到,并且可以體現為Majorana點之間的量子糾纏并通過兩個模型下量子態的保真度來研究.在少體情況,這一效應的影響比較顯著,不同于平均場模型中非線性相互作用導致的自囚禁效應,布居數的演化并不能出現振蕩和局域化的臨界現象,這也可以通過Majorana點及其演化看到.隨著量子數的增加,在玻色子間相互作用相對于自囚禁效應臨界點較強的情況下,平均場模型能夠很好地反映二次量子化模型的動力學演化,這是由于雖然量子漲落的影響依然存在,但是其平均效應較小.而在自囚禁效應發生的鄰界點附近,Majorana點的多體關聯較強,距離較遠,兩個模型偏差較大,但是盡管量子漲落對量子態的演化影響較大,對布居數變化的振蕩和局域化的參數臨界行為卻沒有顯著作用.因此,利用Majorana點演化方程中所體現的二次量子化模型不同于平均場模型的量子漲落效應,可以在未來的研究中對自囚禁臨界參數區域附近或者少體情況下的量子演化做進一步細節上的研究,以發現平均場模型以外的其他效應.

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PACS:03.75.Mn,03.75.Lm,75.10.Jm,03.65.AaDOI:10.7498/aps.66.160302

*Pro ject supported by the National Natu ral Science Foundation of China(G rant Nos.11405008,11175044)and the P lan for Scientifi c and Technological DevelopMent of Jilin P rovince,China(G rant No.20160520173JH).

?Corresponding author.E-Mail:liuhd100@nenu.edu.cn

?Corresponding au thor.E-Mail:zhengty@nenu.edu.cn

Majorana rep resen tation for the non lineart Wo-Mode boson system?

Fang Jie Han Dong-Mei Liu Hui Liu Hao-Di?Zheng Tai-Yu?

(Center for QuantuMSciences and School of Physics,Northeast NorMal University,Changchun 130024,China)

10 January 2017;revised Manuscrip t

3 June 2017)

By presenting the quantuMevolution With the trajectoriesof pointson the B loch sphere,theMajorana representation providesan intuitiveway to study a high dimensionalquantuMevolution.In thiswork,we study the dynaMicalevolution of the non linear two-Mode boson systeMboth in theMean-field Model by one point on the B loch sphere and the secondquantized Modelby the Majorana points,respectively.It is shown that the evolution of the state in theMean-field Model and the self-trapping eff ect can be perfectly characterized by themotion of the point,while the quantuMevolution in the second-quantized Model can be exp ressed by an elegant formula of the Majorana points.We find that theMotions of states in the two Models are the saMe in linear case.In the nonlinear case,the contribution of the boson interactions to the formu la of Majorana points in the second quantized model can be decoMposed into two parts:one is the single point part which equals to the nonlinear part of the equation in Mean-field Model under lager boson number liMit;the other one is related to the correlations between the Majorana pointswhich cannot be found in the equation of the point in mean-field model.Thismeans that,the quantuMfluctuation which is neglected in themean-field model can be rep resented by these correlations.To illustrate our resu lts and shed More light on these two diff erent Models,we discussed the quantuMstate evolution and corresponding self-trapping phenomenon With diff erent boson numbers and boson interacting strength by using the fidelity between the states of the two Models and the correlation between the Majoranapoints and the single points in the Mean-field Model.The resu lt shoWthat the dynaMics evolution of the two models are quite diff erent With small boson numbers,since the correlation between the Majorana stars cannot be neglected.However,the second-quantized evolution and theMean-field evolution still vary in both the fidelity popu lation diff erence between the two boson Modes and the fidelity of the states in the two Models.The diff erence between the continuous changes of the second quantized evolution With the boson interacting strength and the critical behavior of the Mean-field evolution which related to the self-trapping eff ect is also discussed.These results can help us to investigate hoWto include the quantuMfluctuation into theMean-field Model and find a Method beyond theMean field app roach.

Majorana representation,self trapping,Mean-field approach

10.7498/aps.66.160302

?國家自然科學基金(批準號：11405008,11175044)和吉林省科技發展計劃(批準號：20160520173JH)資助的課題.

?通信作者.E-Mail:liuhd100@nenu.edu.cn

?通信作者.E-Mail:zhengty@nenu.edu.cn

?2017中國物理學會C h inese P hysica l Society

http://Wu lixb.iphy.ac.cn