牛頓法在兩類弱H?lder條件下的收斂性*

徐秀斌, 李凱富

(浙江師范大學 數理與信息工程學院,浙江 金華 321004)

牛頓法在兩類弱H?lder條件下的收斂性*

徐秀斌, 李凱富

(浙江師范大學 數理與信息工程學院,浙江 金華 321004)

對于Banach空間中一般的非線性方程,在一階導數滿足L平均的仿射徑向H?lder條件下,討論了經典牛頓迭代法的局部收斂性,得到了局部收斂性條件,同時證明了該方法的R收斂階至少為1+p.在F′滿足L平均的H?lder條件下,利用遞推關系,給出了牛頓法的半局部收斂性定理.

牛頓法；L平均的仿射徑向H?lder條件；L平均的H?lder條件；局部收斂性；半局部收斂性

0 引 言

在工程和應用數學上有大量的問題需要求非線性方程的解,然而這類非線性方程中的大部分都沒有解析解,因此需要用數值逼近的方法去求方程的近似解.通常,用迭代法得到一個收斂序列,用來逼近原方程的解.牛頓法是應用最為廣泛的方法之一,眾多學者對牛頓法的收斂性做了大量的工作[1-4].

設X,Y是Banach空間,Ω?X是開凸子集,F:Ω?X→Y為非線性算子,且有連續的Fréchet導數F′.求解的非線性算子方程為

(1)

用于求解的牛頓法取如下形式:

(2)

式(2)中,x0∈Ω是初始點.研究牛頓法的收斂性質,主要是研究其局部收斂性和半局部收斂性.近年來,在局部收斂性研究方面,文獻[5-6]給出了比Lipschitz條件更一般、更弱的L平均的徑向Lipschitz條件:

(3)

式(3)中:x*是F(x)的零點；ρ(x)=‖x-x*‖；L是取正值的非減可積函數；xτ=x*+τ(x-x*).且在條件(3)下得到了局部收斂性的最佳半徑r,即對于收斂球B(x*,r)內的任意初值x0,由式(2)產生的序列都收斂到x*，若增加球半徑，則球內總存在x0，使式(2)產生的序列不收斂到x*.受文獻[5-6]的啟發，本文引入如下的F′滿足L平均的仿射徑向H?lder條件：

(4)

式(4)中:ρ(x)和L由式(3)定義；p∈(0,1].在條件(4)下證明了牛頓法(2)的局部收斂性,得到了收斂階與解的唯一性.

關于牛頓法最經典的一類半局部收斂性定理,來源于Newton-Kantorovich定理[7],這個定理建立在如下假設之上：

1)對初始近似x0∈Ω,存在Γ0= [F′(x0)]-1∈L(X,Y),‖Γ0‖≤β,且‖Γ0F(x0)‖≤η;

2)存在常數L≥0,?x,y∈Ω,有‖F′(x)-F′(y)‖≤L‖x-y‖;

近年來,有很多文獻通過改進Newton-Kantorovich定理中的F′需滿足的條件,研究了牛頓法的半局部收斂性[8-10].文獻[11]用更寬松的ω-條件代替Lipschitz條件.受這些研究的啟發,本文引入關于L平均的H?lder條件，即下面的條件(C2).

(C1)對初始近似x0∈Ω,存在Γ0=[F′(x0)]-1∈L(X,Y),且‖Γ0‖≤β,‖Γ0F(x0)‖≤η.

其中：ρ(x,y)=‖x-y‖;L由式(3)定義.由條件(C1)和(C2),本文通過構造實遞推序列得到牛頓法(2)的半局部收斂性,此時序列{xn}具有R收斂階至少為1+p.

1 局部收斂性分析

下面研究當F′滿足L平均的仿射徑向H?lder條件時方法(2)的局部收斂性,并給出了相應的局部收斂性定理.為證明本文定理，先給出如下引理：

引理1 假設F在B(x*,r)內有連續的一階導數,F′(x*)-1存在,且F′(x*)-1F′滿足L平均的中心H?lder條件

(5)

定理1 假設F(x*)=0，F在B(x*,r)內有連續的導數,F′(x*)-1存在,且F′(x*)-1F′滿足L平均的仿射徑向H?lder條件

(6)

式(6)中:p∈(0,1];xτ=x*+τ(x-x*);ρ(x)=‖x-x*‖;L是正的非減可積函數.若r滿足

(7)

則牛頓法對任意的初值x0∈B(x*,r′)都收斂,且

(8)

證明 任意選取x0∈B(x*,r′),則由r滿足式(7)可推得q<1.事實上,由L的單調性知,對任意0

xn+1-x*=F′(xn)-1(F(x*)-F(xn)+F′(xn)(xn-x*))=

其中,xτ=x*+τ(xn-x*).因此,由引理1和式(6)可得

故式(8)成立,從而可以得到牛頓法(2)具有R收斂階至少為1+p.定理1證畢.

下面證明方程(1)解的唯一性.

定理2 假設F(x*)=0,F在B(x*,r)內有連續的導數,F′(x*)-1存在,且 F′(x*)-1F′滿足L平均的中心H?lder條件

(9)

式(9)中:ρ(x)=‖x-x*‖;p∈(0,1];L是正的非減可積函數.若r滿足

(10)

則方程F(x)=0在B(x*,r)內有唯一解x*.

證明 任意選取x0∈B(x*,r),設F(x0)≠0,考慮如下迭代格式:

(11)

則

下面用數學歸納法證明,存在q0<1,使得

(12)

(13)

2 半局部收斂性分析

接下來利用遞推關系式的技巧,研究當F′滿足關于L平均的H?lder條件時,牛頓法(2)的半局部收斂性,同時半局部收斂性定理給出了解的存在性、唯一性及相應的解的誤差界.

(15)

式(15)中:

(16)

易知如下引理2:

引理2 設函數f(x)和g(x)由式(16)定義,則當x∈(0,1)時,有

1)f(x)是單調遞增的,且當x∈(0,1)時,f(x)>1;

2)?γ∈(0,1),有f(γx)

為了研究序列(15)的性質,考慮輔助函數

(17)

引理3 設函數f(x)和g(x)由式(16)定義,a0∈(0,ζ)，p∈(0,1],則

1)f(a0)1+pg(a0)p<1;

2)f(ai)g(ai)

3)序列{an}是嚴格單調遞減的,且an∈(0,ζ)對所有的n≥0都成立.若a0=ζ,則an=a0<1.

證明 用數學歸納法證明1).當n=2時,由式(15)和引理3可知

引理5 若a0∈(0,ζ),x1∈Ω,在(C1)和(C2)條件下,由遞推關系式(15)產生的序列{an}及式(2)產生的序列{xn}滿足如下性質:

1)Γn-1=[F′(xn-1)]-1存在，且‖Γn-1‖≤f(an-2)‖Γn-2‖,n≥2；

2)‖xn-xn-1‖≤f(an-2)g(an-2)‖xn-1-xn-2‖,n≥2.

由式(2)可得,

因此,

f(a0)g(a0)‖x1-x0‖<‖x1-x0‖.

從而,

所以

由算子的Banach引理知,存在算子Γn-1=[F′(xn-1)]-1,且

另外，

從而，

‖xn-xn-1‖≤‖Γn-1‖‖F(xn-1)‖≤

f(an-2)f(an-3)…f(a0)‖Γ0‖Lm‖xn-1-xn-2‖p‖xn-1-xn-2‖≤

f(an-2)f(an-3)…f(a0)‖Γ0‖Lm[f(an-3)g(an-3)…f(a0)g(a0)]p‖x1-x0‖p‖xn-1-xn-2‖≤

由數學歸納法可知,對任意n≥1,1)和2)成立,且xn∈B(x0,R).引理5證畢.

下面給出半局部收斂性定理.

(18)

則x*是式(1)的唯一解.且當a0∈(0,ζ)時,序列{xn}具有R收斂階至少為1+p,

(19)

證明 由a0∈(0,ζ)和η

(20)

(21)

所以xn∈B(x0,R).因為B(x0,R)?Ω,所以xn∈Ω,n≥0.

下證{xn}是柯西序列.由{xn}的定義知，

(22)

當n→∞,對任意的m∈Z+,‖xn+m-xn‖→0,所以{xn}是柯西序列.設x*是{xn}的極限,下證x*是式(1)的解.由引理4和引理5可知,

(23)

下證x*的唯一性.假設y*是F(x)=0在B(x0,R)中的另一個解,則

(24)

所以式(18)保證了‖I-Γ0T‖<1.由Banach引理知，算子T的逆存在,所以x*=y*.

3 結 語

本文先討論了牛頓法的局部收斂性,得到了F′滿足L平均的仿射徑向H?lder條件時的收斂球半徑,以及F′滿足L平均的中心H?lder條件時方程具有唯一解的球半徑;接著討論了牛頓法在滿足關于L平均的H?lder條件下的半局部收斂性和收斂階.但本文未給出局部收斂性中牛頓法收斂球的最優半徑和方程具有唯一解的最優半徑,這是值得以后繼續研究的課題.

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[10]Ezquerro J A,Gonzlez D,Hernndez M A.Majorizing sequences for Newton′s method from initial value problems[J].J Comput Appl Math,2012,236(9):2246-2258.

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(責任編輯 陶立方)

Convergence analysis of Newton method under two types of weak H?lder condition

XU Xiubin, LI Kaifu

(CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,Jinhua321004,China)

Under the affine radius H?lder condition withLaverage for the first order Fréchet derivative, the local convergence of classical Newton method for solving nonlinear equations was studied. Some local convergence conditions were given, theR-order of convergence was proved to be at least 1+punder those conditions. Under H?lder condition withLaverage for the first order Fréchet derivative, by the technique based on recurrence relation instead of majorant principle, the semilocal convergence theorem was established.

Newton method; affine radius H?lder condition withLaverage; H?lder condition withLaverage; local convergence; semilocal convergence

10.16218/j.issn.1001-5051.2017.03.001

?2017-03-11；

2017-04-15

國家自然科學基金資助項目(11671365);浙江省自然科學基金資助項目(17A010006)

徐秀斌(1962-)，男，浙江蘭溪人，教授，博士.研究方向：數值逼近.>

O241.7

A

1001-5051(2017)03-0241-08