利用最小角定理巧解物理難題

宋輝武 于 冰

(1. 鄂爾多斯市第一中學,內蒙古 鄂爾多斯 017010; 2. 東北師范大學物理學院,吉林 長春 130024)

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利用最小角定理巧解物理難題

宋輝武1于 冰2

(1. 鄂爾多斯市第一中學,內蒙古 鄂爾多斯 017010; 2. 東北師范大學物理學院,吉林 長春 130024)

針對貴刊2017年第2期刊發的一篇題為“一道力學題的兩種數理巧解”的論文進行拓展研究,應用數學上的最小角定理進行了巧妙地求解,以期引起廣大的物理教師進一步挖掘這一定理在物理學上的使用價值.

最小角定理;靜摩擦力

貴刊2017年第2期發表了李力老師撰寫的一篇題為“一道力學題的兩種數理巧解”的論文,讀罷該文受益頗深.在此筆者談談自己對這個問題的深入思考,與各位同行交流探討.

圖1

先介紹一些數學知識.最小角定理也叫折疊角公式或“爪子”定理.根據空間角的余弦公式得出:斜線角(線—線角)θ,線面角(斜線和平面的夾角)θ1,射影交角(正射影與斜射影夾角)θ2,它們三者之間存在一個余弦關系cosθ=cosθ1cosθ2,如圖1所示,直線OA是平面α外的一條斜線,OB是OA在平面α內的(正)射影,直線OC(也叫斜射影)也在平面α內,AB垂直于平面α,AB⊥OC,BC⊥OC,因此一定有AC⊥OC,設∠AOC=θ,∠AOB=θ1,∠BOC=θ2,可得OC=OBcosθ2=OAcosθ1cosθ2,又因為OC=OAcosθ,因此可得cosθ=cosθ1cosθ2,由此式也可知cosθ≤cosθ1,即θ1≤θ,因此θ1是這條斜線與這個平面內任一條直線所成的角中最小的角,此即為最小角定理的名字由來.就是說如果我們知道兩個角的余弦值則可以求第三個,因此也形象地把這個定理叫做“三余弦定理”,這個定理在數學的立體幾何部分應用較多,但是在高中物理學中的具體應用較少見到.鑒于此筆者應用這一定理處理了物理學中的典型難題,希望能夠引起廣大同行對這一定理的重視.

圖2

原題:如圖2所示,在水平桌面上放置正方形木板abcd,木板上放一個質量為m的物塊,現以dc邊為軸將木板緩慢向上轉動角度θ1,再以bc邊為軸將木板緩慢向上轉動角度θ2,設轉動過程中木塊始終未在木板上滑動,求兩次轉動后,木塊受到的靜摩擦力大小.

拓展問題1:若先以dc邊為軸將木板緩慢向上轉動角度θ1,再以bc邊為軸將木板緩慢向上轉動角度θ2,再以ba邊為軸將木板緩慢向上轉動角度θ3,再以ad邊為軸將木板緩慢向上轉動角度θ4,再以dc邊為軸將木板緩慢向上轉動角度θ5,循環下去直至轉動n次時緩慢向上轉動角度θn,求n次轉動后,木塊受到的靜摩擦力大小.

巧解:如果根據文獻[1]的方法1來計算這個問題會極其復雜,按照文獻[1]提出的方法2的思想,對于這個問題我們還需要將每一個分力進行多次分解,計算量同樣相當大,而如果應用最小角定理,根據遞推關系可以方便快捷地得到cosθ=cosθ1·cosθ2·cosθ3…cosθn.不過需要特別指出的是,如果把該題中的正方形木板換成等邊三角形、正五邊形、正六邊形木板等等,我們再依次以各邊為軸轉動的話,則不再滿足三余弦定理的成立條件,此時線面角不再是可以直接得到的量,當然這個問題的解決也會加倍繁瑣甚至是不可能求解的.實際上容易看出只有木板的各邊相互垂直,再依次以各邊為軸轉動后我們才能直接得到線面角,也就是說該題木板的形狀設計也是有講究的,隨意改編會導致該題根本無法求解.

圖3

拓展問題2:如圖3所示,長為l的導體棒在磁感應強度為B的勻強磁場中以速度v作斜切磁感線運動,且B、l、v三者兩兩之間的夾角依次為θ1、θ2、θ3,求導體棒產生的動生電動勢.

巧解:由于該題中的導體棒并不是垂直切割磁感線,有效速度和有效長度都需要我們尋找,與以往常見的模型有很大不同,以往我們求解動生電動勢的公式無非是E=Blv或E=Blvsinθ,前者適用于B、l、v三者兩兩互相垂直的情況(即B、l、v為兩兩互相垂直的分量),后者適用于其中有一個量同時垂直于另兩個量但是這另兩個量并不垂直且成角度θ的情況,顯然該題我們并不能簡單套用上述的兩個公式.實際上對于這個問題我們只需要找到三個兩兩互相垂直的分量即可.

假設B、l、v三者的位置以及相互所成的角度如圖3所示(實際上導體切割磁感線產生動生電動勢的模型皆可抽象成此三線圖的模式),三者相交于點O,過速度v的箭頭端P作B、

l所形成的平面α的

垂線PQ交平面α于點Q,則此時PQ既垂直于磁場B,又垂直于導體棒l,設OQ與OM的夾角為θa,OQ與ON的夾角為θb,OP與OQ的夾角為θx,由此不難發現Bsinθ3、l、vsinθx即為我們需要找到的兩兩互相垂直的分量,下面來求解θx,很明顯有

θa+θb+θ3=2π,

(1)

再根據三余弦定理可得

cosθa·cosθx=cosθ1,

(2)

cosθb·cosθx=cosθ2.

(3)

將(1)～(3)式聯立即可解得

因此導體棒的動生電動勢

可以看出當θ1=θ2=θ3=90°時,導體棒演變成垂直切割磁感線,此時上式動生電動勢的表達式過渡成最簡單的形式，即E=Blv.不難發現，當θ1、θ2、θ3中有2個角為90°時，導體棒的動生電動勢過渡為E=Blvsinθ.

1 李力,肖光緒.一道力學題的兩種數理巧解[J].物理教師,2017(2):91.

2 黃照欣.這道“小題”確實不可小看[J].物理教學探討,2005(1):35.

本文獲國家社會科學基金教育學青年課題基金資助(課題編號:CHA150182).

2017-03-12)