分數概念語義理解對兒童乘法應用題表征的影響

張 睆，辛自強，陳英和，胡衛平

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分數概念語義理解對兒童乘法應用題表征的影響

張 睆1，4，辛自強2，陳英和3，胡衛平4

（1．山西師范大學教育科學學院，山西臨汾 041004；2．中央財經大學社會與心理學院，北京 100081；3．北京師范大學發展心理研究所，北京 100875；4．陜西師范大學現代教學技術教育部重點實驗室，陜西西安 710062）

理解分數概念語義含義，意味著能用分數符號表示不同問題情境中兩個量的關系．而分數應用題表征的關鍵，是將問題情境中事實關系正確轉換為分數運算．二者關系尚缺乏實證研究加以檢驗．以295名小學六年級學生為被試，考察了兒童分數概念語義理解對乘法應用題表征的影響．結果表明：（1）兒童分數概念語義理解可以整體預測乘法應用題表征水平；（2）兒童在部分整體含義和測量含義的理解水平，均可單獨預測其對計量、比較和轉換乘法應用題表征水平；（3）兒童對“比”的理解，可單獨預測比較應用題表征水平，對“商”的理解，可單獨預期轉換應用題表征水平，同時，算子含義不能單獨預測任何應用題表征水平．這一結果說明，兒童分數概念語義理解影響其表征應用題中的事實關系．

分數概念；語義理解；分數應用題；應用題表征

1 問題提出

對小學兒童來說，分數乘法應用題是數學學習的難點，而正確表征此類問題則是難中之難．研究表明，兒童解決分數乘法應用題的常見錯誤表現為3方面：不能理解題意，難于選擇正確的運算程序，計算錯誤[1]．其中前兩項都與問題表征有關．已有應用題表征研究雖多，但大都以整數應用題為材料，從任務特征[2~3]、表征策略[4~5]、問題圖式[6]、一般認知能力和動機—人格特點等因素著手，重在探討應用題表征的一般心理機制．目前尚未有研究關注數學概念語義理解在應用題表征中的作用．

從數學概念語義理論和應用題解決的過程模型來看，分數概念的語義理解水平，可能是影響分數乘法應用題表征的重要因素．

數學是人類用以描述“事實關系”的一種語言，而符號是構成語言的基本單位．因而與一般科學概念不同，數學概念是一族符號，這些符號指稱了各種對象、操作或關系．這種符號與其對象之間的指稱關系，就稱為該數學概念的語義含義[7~8]．當人類掌握了這些語義含義，作為符號的數學概念就會成為一種認知工具，人類可以運用數學符號，來表示特定的事實關系，進而在心智層面上通過數學運算解決現實中的問題[9]．

以分數概念為例，與整數相比，分數的意義要復雜得多．分數/是一個符號，它可以指稱不同情境中的兩個量之間的等分、包含、對應、變換、相除等多種關系，從而具有部分整體、測量、比、算子、商等多種含義，理解這些含義，則意味著兒童可以用分數符號表示特定問題情境中兩個量的關系[10]．具體來說，商含義表示了在數學運算中被除數與除數之間的除法運算關系，部分—整體含義表示了在分配問題情境中整體量與部分量之間的包含與補償關系，測量含義表示了測量情境中所測量與單位量之間的包含關系，比含義表示了比例問題情境中兩個量之間的比例關系，而算子含義則表示了各種變換問題情境中輸入量與輸出量之間的變換關系[10]．同時，作為一種攜帶語義含義的符號，分數概念也是一種認知工具．兒童理解了這些含義，他們就能夠利用分數來處理分配、測量等問題情景中的變量關系[9，11]．

從應用題解決過程來看，數學應用題往往用自然語言陳述，以事實關系為題材，并通過數學運算解決[12]．而成功解決數學應用題的關鍵是正確表征問題中所包含的事實關系[13~14]．這一表征過程包括了語義理解、邏輯建構和邏輯—數學類比3個環節[15]．語義理解是將應用題文本轉化為其所指稱的現實問題情境的過程，即解題者首先將文本語言轉換為內在語言表征，然后將這些內在語言表征整合在一起，從而形成對現實問題的情景表征．邏輯建構是將實際問題情境轉化為特定的邏輯結構，例如包含關系、序列關系、比較關系等．而邏輯—數學類比則是將現實問題情境的內在邏輯關系轉換為數學模型的過程．簡而言之，應用題表征就是一個“書面文本—問題情境—邏輯結構—數學模型”的轉換過程．

在這一轉換過程中，同一類數學應用題可能具有多種問題情境．只有理解了這些問題情境，才能建立恰當的數學模型．例如，分數乘法應用題就具有計量、比較和轉換3種具體問題情境[13，16]．所謂計量（compute）問題，是指一個單位量與測度量相乘，其中被乘數是單位量，乘數是測度量，積也是測度量．該問題表示將一個單位量反復累加．例如“蘋果的價格為每斤2/3元，如果甲農民現在有90斤蘋果，可以賣多少元？”其中，每斤2/3元是單位量，而90斤是數量，結果量是將每斤2/3元反復累加90次后得到的．比較（compare）問題，指一個測度量和倍數相乘，其中被乘數是測度量，乘數是倍數（關系量），積是測度量，該問題表示兩個測度量的倍數比較關系．例如，“甲農民原有蘋果90斤，如果賣掉了原來的2/3，問賣掉蘋果多少斤”．2/3表示賣掉和原來蘋果數量的倍比關系．轉換（convert）問題指兩個單位量相乘，乘積也為一個單位量．該問題表示單位的轉換，例如，“農民每天可收蘋果90斤，如果每斤蘋果售價為2/3元，請問農民每天收入多少元”．該問題中，“斤/天”乘以“元/斤”，變換為“元/天”．可以看出，只有正確判斷出分數2/3是表示測度、單位還是倍比關系，才能識別出相應的問題情境，并建立正確的數學算式．

綜上，分數概念的不同語義實質上代表了不同問題情境中兩個量的具體關系，理解這些含義，意味著兒童可以用分數符號表示這些關系．而從應用題表征過程來看，成功表征分數應用題的關鍵，是建立分數運算模型和具體問題情境間的對應關系．因此可以預測，兒童對于分數特定含義的理解水平，可以預測他們對特定分數乘法應用題的表征能力．

然而，這一理論預期尚缺乏來自數學認知領域的研究證據．目前只有為數不多的研究關注了分數概念對應用題解決的影響．且未從語義理解的視角探討這一問題．Hardiman 等人曾發現當分數是被乘數時，分數應用題并不比整數應用題更難．但是當分數是乘數時，分數應用題要顯著難于整數應用題．他認為這與兒童對分數概念的理解有關[16]．Hecht發現兒童的概念性知識能很好地預測兒童的應用題解決成績[17]，并且在控制了工作記憶水平，簡單算術運算知識以及閱讀能力等變量之后，這種預測作用依然存在[18]．但是他認為，概念性知識對于分數問題解決的影響是廣泛性的，而并不針對于特定性質的問題，這可能是由于Hecht的分數概念測量任務僅僅包括了部分整體含義和測量含義，同時在結果分析中，Hecht并沒有考慮這兩種不同分數概念語義含義間的差異，也沒有區分不同情境的應用題任務．因此該研究尚不能說明，兒童理解分數概念的不同語義含義和解決不同語義情境應用題二者之間的關系．

因此，基于分數概念語義結構理論和應用題表征過程模型，探討分數概念語義理解對不同情境分數乘法應用題表征的影響．

2 研究方法

2.1 被 試

從山西省4所普通小學中整班選取6年級兒童315名，其中有效被試295名．其中男生150名，女生145名．平均年齡12歲．這些學校采用人教版小學數學教材，在接受應用題測驗前，所有兒童均已學習過分數乘法運算．

2.2 研究任務和材料

采用張睆等編制的“分數概念語義理解測驗”，該測驗包括部分—整體、測量、算子、比、商5個維度，共22個項目．商包括2個項目，其余4個維度均各包括5個項目[26]．項目均采用表征轉換任務作為語義理解的測量指標，即當被試能用分數符號表示特定情境中兩個量關系時，說明兒童理解了相應的語義含義．每個項目正確計1分，錯誤計0分．

自編分數乘法應用題測試任務[13]．包括計量、比較、轉換3種任務特征，每種特征包括3道題，一共9道分數乘法應用題．并在應用題設計時對以下3個因素進行了控制．第一，為了防止題目由易到難產生練習效應，將兩步運算應用題放在單步運算應用題之前．第二，為保證兒童熟悉任務情境，防止事實性知識干擾，鑒于被試所在地區普遍種植蘋果，因此采用蘋果銷售的任務情境．第三，為了防止題目對兒童采取某種運算產生暗示效應，題目中數字均為90、60和2/3，這樣即使算式不正確，運算結果也是整數．應用題測驗依據列式及算理說明是否正確計分，如果列式正確且算理說明無誤，則判定為正確表征，計1分，如列式錯誤或者算理說明錯誤，則判定為錯誤表征，計0分．

2.3 研究過程

于2015年3月底施測，采用隨堂團體測驗形式，要求學生在兩節課共80分鐘內完成．由受過訓練的心理學研究生擔任主試．首先在第一節課發放“兒童分數概念理解測驗”并在下課前收回，休息10分鐘后，在第二節課發放分數乘法應用題測驗，在應用題測試中，主試要求學生仔細思考后，先寫出他是怎么想的（算理說明），再列出式子，而不用計算結果．共發放測驗315份，共收回有效測驗297份．從實際施測情況看，所有學生均可以在80分鐘內完成測驗．

3 研究結果

3.1 分數語義理解與應用題表征的相關

以被試在分數概念語義理解測驗上各語義因子的得分率作為其分數概念理解水平指標，以被試在每類應用題上的表征正確率作為表征水平的指標，6年級兒童對分數概念5種含義理解水平，對3類應用題表征水平，以及二者間相關系數見表1．

表1 不同乘法應用題表征和分數概念語義理解及其相關

注：**在0.01水平（雙側）上顯著相關；*在0.05水平（雙側）上顯著相關

3.2 分數概念語義理解水平對分數乘法應用題表征的總體預測

以所有應用題得分總分為因變量，以分數概念測驗總分為預測變量．回歸分析結果表明，回歸方程整體顯著，，(1, 293)=22.32，<0.001，回歸系數=0.21，標準化回歸系數=0.49，=9.60，<0.001．該結果說明，兒童分數概念語義理解可以整體預測其乘法應用題表征水平．

3.3 不同分數語義理解對不同類型分數乘法應用題表征的影響

以分數概念的5種語義理解水平為自變量，分別以3種不用語義性質任務的得分為因變量進行分層回歸，由于不同語義含義間可相互解釋，為了消除共線性，從而分析某種語義理解對計量應用題表征的單獨影響，將該語義理解水平放入回歸方程第二層，而其它4種語義理解放入回歸方程的第一層．從而估計出在控制其他4種含義的條件下，該種語義理解對特定性質應用題表征水平的單獨解釋率（2），一共得到15組分層回歸方程，各方程2見表2．

結果表明，（1）在控制其它4種語義理解的前提下，分數概念部分—整體和測量含義的語義理解水平，對計量、比較和轉換應用題表征的單獨解釋率均顯著；（2）分數“比”含義理解水平，僅對比較應用題表征的單獨解釋率顯著，而對計量和轉換應用題的單獨解釋率不顯著；（3）分數“商”含義理解水平，僅對轉換應用題表征的單獨解釋率顯著，而對計量和比較應用題的單獨解釋率不顯著；（4）分數“算子”含義理解水平，對3類應用題表征的單獨解釋率均不顯著．

表2 分數概念語義理解對不同語義性質應用題的單獨解釋率

注：*<0.05；**<0.01

4 討 論

通過探討兒童分數概念語義理解對于乘法應用題表征的影響．結果發現，當不考慮分數概念不同語義間差異時，分數概念理解在整體上可以預期乘法應用題表征水平，與這一結論不同的是，當考慮了分數概念不同語義含義間差異，和分數乘法應用題不同情境特征時，可以發現，兒童對部分整體含義和測量含義的理解水平可以預測各類型分數乘法應用題的表征，同時，“比”和“商”含義只能單獨預測特定情境的乘法應用題，“算子”對乘法應用題表征沒有單獨預測作用．這些結果說明，兒童分數概念語義理解有助于其表征應用題中的事實關系．且這種影響既具有廣泛性，也存在特異性．

上述研究結果不僅支持了Hecht的研究[18]，而且得到更為豐富的結論．首先，兒童分數概念語義理解可以預測兒童分數乘法應用題表征水平，這一結論支持了原有的研究預期，并與Hecht等的研究結果相一致．Hecht等認為，分數的概念性知識，是理解分數數量“所指”（refer to）的知識，這種知識可以幫助兒童將分數概念和具體問題情境聯系在一起，從而促進兒童對于分數應用題的表征[17~18]．

其次，在控制了其它語義理解的條件下，部分—整體含義和測量含義的理解水平可以廣泛預測3類分數乘法應用題表征，而并不針對于特定性質的問題．這可能是由于，在5種分數語義含義中，這兩種分數語義知識具有基礎性地位．理解分數的部分—整體含義，意味著兒童能將分數/表示為“把整體等分為份，選出其中份”．以往研究表明，部分—整體含義是較為基礎的分數概念理解方式．在許多語言中，分數一詞都具有“分割”之意．例如英語中的fraction來自拉丁文“fangere”，意為“一個被分開的全體之各部分”．小學數學教材也會從部分—整體的角度解釋分數的意義．更重要的是，部分—整體含義是小學兒童理解分數概念的基本方式，其它4種含義的理解是在理解部分—整體基礎上建構而成[11，20]．兒童在解決分數問題時，常常會將其他分數含義還原為部分—整體含義來理解，問題難度越大，這種還原的傾向就越明顯[21]．

同部分—整體含義一樣，兒童對分數測量含義理解也能單獨預測3類乘法應用題表征水平．理解分數測量含義，意味著兒童能將分數/表示為數字線上個1/的長度，其關鍵是識別單位分數“1/”．Siegler等發現，數字線模型是兒童表征分數數量的心理模型[22]，而分數數量表征和分數運算和應用題表征能力都高度相關[23~24]．進一步可以發現，兒童在數字線上表征分數的能力對于兒童解決各類分數乘法應用題都具有促進作用．這可能是由于在表征各類分數乘法應用題中，兒童常以線段形式，對題目中的“份—總”關系進行圖式表征，并在線段上確定“一份”（即測量含義中的單位1），而數字線表征和“單位1累加”恰恰是分數概念測量含義的核心，因此對于分數測量含義掌握較好的兒童，以數字線表征分數和確定“單位1”的能力較強，各類乘法應用題的表征水平也較高．

最后，在5個分數概念中，兒童對于“比”含義的理解可以預測他們在比較任務上的表現，這可能是由于分數概念的“比”含義表示兩個量的相對大小，而比較任務則表示兩個量的倍數關系，二者在語義含義上具有內在一致性．同時，兒童對“商”含義的理解可以預測兒童在轉換任務上的表現．這可能是由于二者均與測度空間的變換有關，以往研究表明，兒童常用分數的“商”含義來理解兩個不同的測度空間相“除”，如路程除以時間[25]，而轉換應用題也表示不同測度空間的轉換（即單位的變換）．與其它4種含義不同，算子含義對所有應用題表征都沒有單獨的預測作用．實際教學中，學生很少理解分數概念的算子含義，教師也少有涉及[26]，同時也發現，兒童對分數概念算子含義的理解水平低于其它4種分數語義含義．因此兒童很少運用分數算子含義解決乘法應用題．

綜上所述，兒童分數概念語義理解對乘法應用題表征具有顯著的預測作用．因此，要達成“學以致用”的數學教學目標，克服分數應用題這一教學難點，幫助學生有效理解分數概念的語義含義就顯得至關重要．分數概念是一個符號工具，其內容是關于分數符號“所指何物”的知識，是分數符號系統和不同情境中兩個量的具體關系所組成的符號指稱系統．兒童要很好的理解和使用這一工具，就不僅僅需要掌握分數符號體系本身（包括分數符號運算法則），更要理解和把握這一符號在現實世界中指稱的多種語義含義．

5 結 論

第一，兒童分數概念語義理解可以影響兒童分數乘法應用題表征水平；第二，這種影響具有廣泛性，部分—整體含義和測量含義的理解水平可以廣泛預測3類分數乘法應用題表征，而并不針對于特定性質的問題．第三，這種影響也表現出特異性，兒童對“比”的理解，可單獨預測比較應用題表征水平；對“商”的理解，可單獨預期轉換應用題表征水平；算子含義不能單獨預測任何應用題表征水平．

[1] Dong-Il K, Kim B, ???, et al. Analysis of Error Types in Fraction Word Problems According to Achievement Levels: Focusing on the 5th Grade Elementary Students [J]., 2015, 15(5): 207-227.

[2] Mattarella-Micke A, Beilock S L. Situating Math Word Problems: The Story Matters [J]., 2010, 17(1): 106-111.

[3] Xin Z. Fourth-Through Sixth-Grade Students’ Representations of Area-of-Rectangle Problems: Influences of Relational Complexity and Cognitive Holding Power [J]., 2008, 142(6): 581-600.

[4] 賴穎慧，陳英和．代數應用題視覺化表征的理論模型及影響因素[J]．心理科學進展，2010，（1）：75-83．

[5] 陳英和，仲寧寧，耿柳娜．關于數學應用題心理表征策略的新理論[J]．心理科學，2004，（1）：246-247．

[6] 辛自強．問題解決中圖式與策略的關系：來自表征復雜性模型的說明[J]．心理科學，2004，（6）：1?344-1?348．

[7] 王成營．淺談數學符號意義獲得能力及其在問題解決中的培養[J]．課程·教材·教法，2012，（11）：74-78．

[8] Steinbring H. What Makes a Sign a Mathematical Sign? An Epistemological Perspective on Mathematical Interaction [J]., 2006, 61(1): 133-162.

[9] Castro-Rodríguez E, Pitta-Pantazi D, Rico L, et al. Prospective Teachers’ Understanding of the Multiplicative Part-Whole Relationship of Fraction [J]., 2016, 921(1): 129-146.

[10] 辛自強，張睆．兒童的分數概念理解的結構及其測量[J]．心理研究，2012，（1）：13-20．

[11] ?Charalambous C Y, Pitta-Pantazi D. Drawing on a Theoretical Model to Study Students’ Understandings of Fractions [J]., 2007, 64(3): 293-316.

[12] 張梅玲，周新林．加減文字題解決研究概述[J]．心理科學進展，2003，（6）：642-650．

[13] 張睆，辛自強，陳英和，等．集合關系特征對小學生分數乘法應用題表征的影響[J]．數學教育學報，2016，25（1）：43-46．

[14] 辛自強．關系—表征復雜性模型的檢驗[J]．心理學報，2003，（4）：504-513．

[15] ?Kintsch W, Greeno J G. Understanding and Solving Word Arithmetic Problems [J]., 1985, 92(1): 109-129.

[16] Hardiman P T, Mestre J P. Understanding Multiplicative Contexts Involving Fractions [J]., 1989, 81(4): 547-557.

[17] Hecht S A. Toward an Information-Processing Account of Individual Differences in Fraction Skills [J]., 1998, 90(3): 545-559.

[18] Hecht S A, Close L, Santisi M. Sources of Individual Differences in Fraction Skills [J]., 2003, 86(4): 277-302.

[19] 張睆．小學生分數概念理解及其在乘法應用題解決中的作用[D]．北京師范大學，2011．

[20] ?Pitkethly A, Hunting R. A Review of Recent Research in the Area of Initial Fraction Concepts [J]., 1996, 30(1): 5-38.

[21] 張睆，辛自強．分數概念的個體建構——起點與機制及影響因素[J]．數學教育學報，2013，22（1）：27-32．

[22] ?Schneider M, Siegler R S. Representations of the Magnitudes of Fractions [J]., 2010, 36(5): 1?227-1?238.

[23] ?Siegler R S, Thompson C A, Schneider M. An Integrated Theory of Whole Number and Fractions Development [J]., 2011, 62(4): 273-296.

[24] ?Orrantia J, Munez D. Arithmetic Word Problem Solving: Evidence for a Magnitude-Based Mental Representation [J]., 2013, 41(1): 98-108.

[25] ?Behr M J, Harel G, Post T R, et al. Rational Number, Ratio, and Proportion[A]. In: Grouws D.[C]. NY: Macmillan Publishing Company, 1992.

[26] ?Carraher D W. Lines of Thought: A Ratio and Operator Model of Rational Number [J]., 1993, 25(4): 281-305.

Influence of Semantic Understanding of Fractional Concept on Children’ Multiplicative Word Problem Representation

ZHANG Huan1, 4, XIN Zi-qiang2, CHEN Ying-he3, HU Wei-ping4

(1. School of Teacher Education, Shanxi Normal University, Shanxi Linfen 041004, China;2. School of Sociology and Psychology, Central University of Finance and Economics, Beijing 100081, China;3. Institute of Developmental Psychology, Beijing Normal University, Beijing 100875, China;4. MOE Key Laboratory of Modern Teaching Technology, Shaanxi Normal University, Shaanxi Xi’an 710062, China)

Fraction, an abstract symbol, had five different meanings in different contests, which might under the basis of children’ difficulties in fraction problem representation. Based on a sample of 295 six graders. The study explored the contribution of children's semantic understanding of fractional concept in word problem representation. The data revealed that: (1) Children’s performance on fraction problem representation could be predicted by their understanding of the semantic meaning of fraction, (2) students’ understanding of part-whole and measure meaning of fraction was independent contribution to representation of all three kinds of fraction problems. (3) understanding of ratio meaning of fraction uniquely predicted representation of convert word problem, and understanding of quotient meaning could uniquely predict representation of compare word problem. Meanwhile, operator meaning could not uniquely predict representation of any kinds of word problem. The results indicated that the fractional semantic understanding was help for children to understanding the semantic relation in word problems.

fractional concept; understanding of semantic meaning; word problems involved fraction; representation of word problem

[責任編校：周學智]

G620

A

1004–9894（2017）04–0076–04

2017–03–10

國家社科基金重大項目——中國兒童青少年思維發展數據庫建設及其發展模式的分析研究（14ZDB160）；國家自然科學基金項目——分數概念的發展及其空間表征特點研究（30970909）；山西師范大學教育科學基金項目——頂崗支教背景下師范生教師職業認同的發展研究（YJ1311）

張睆（1979—），男，山西陽泉人，山西師范大學講師，陜西師范大學博士生，主要從事認知發展與數學學習研究．