自然與數學的完美結合

湯明坤

摘 要：世界上最著名的數列之一——斐波那契數列，是從兔子繁殖問題引申出的一個數學模型。兔子在出生兩個月后就具有繁殖能力，一對兔子每個月能生出一對小兔子。如果所有兔子都不死，那么一年后可以繁殖的兔子的對數會成斐波那契數列。它說明了一些線性數列所具有的規律。本文綜述了斐波那契數列的發現、斐波那契數列與自然、生活方面的聯系。

關鍵詞：斐波那契數列；線性數列；規律；自然；生活

中圖分類號：O1-0 文獻標識碼：A 文章編號：1671-2064（2017）15-0220-02

1 斐波那契數列

問題是這樣的：一般而言，兔子在出生兩個月后就具有繁殖能力，一對兔子每個月能生出一對小兔子。如果所有兔子都不死，那么一年后可以繁殖多少兔子？如表1。

對此，我們列一個簡單的表格以理清我們的思路。

不難發現，幼仔對數、成兔對數、總對數都各自形成了一個數列，這個數列是：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34......而這個數列有一個很明顯的特征，那就是，后一項等于前面相鄰兩項之和。如：3=1+2，13=5+8......

這便是斐波那契在《算盤全書》所說的：斐波那契數列。他還特別指出，此數列中，第0項為0，第1項為第一個1，數列從第2項開始，每一項都等于前兩項之和。

此數列的遞推公式為：Fn=Fn-1+Fn-2（其中F1=F2=1）

2 斐波那契數列與黃金分割的關系（如表2）

斐波那契的每一項都是自然數，但通項公式卻使用無理數來表達的。而且當n趨向于無窮大時，后一項與前一項的比值小數部分越來越逼近0.618。

我們不妨來用計算器驗證一下：

更奇妙的是，如果任意從斐波那契數列中選取兩個數，構成與斐波那契數列原理相同的數列，也可以得到這個結果。

比如我們選取192和16這兩個數，構成192，16，208，224，…，7408，11984，19392，31376...這個數列。如表3。

同時，我們也可以利用黃金分割率來計算任意一個斐波那契數。公式如下。

比如，我們來計算第六個斐波那契數是多少。

我們得到的實際答案是8.00000033，但四舍五入就取8。

3 斐波那契數列的應用

3.1 與楊輝三角

將楊輝三角左對齊，成如圖1所示排列，將同一斜行的數加起來，即得一數列1、1、2、3、5、8、……

公式表示如下：

f⑴=C（0，0）=1

f⑵=C（1，0）=1

f⑶=C（2，0）+C（1，1）=1+1=2

f⑷=C（3，0）+C（2，1）=1+2=3

f⑸=C（4，0）+C（3，1）+C（2，2）=1+3+1=5

f⑹=C（5，0）+C（4，1）+C（3，2）=1+4+3=8

F⑺=C（6，0）+C（5，1）+C（4，2）+C（3，3）=1+5+6+1=13

3.2 與自然

斐波那契數列在自然科學的其他分支，有許多應用。例如，樹木的生長，由于新生的枝條，往往需要一段“休息”時間，供自身生長，而后才能萌發新枝。所以，一株樹苗在一段間隔，例如一年，以后長出一條新枝；第二年新枝“休息”，老枝依舊萌發；此后，老枝與“休息”過一年的枝同時萌發，當年生的新枝則次年“休息”。這樣，一株樹木各個年份的枝椏數，便構成斐波那契數列。這個規律，就是生物學上著名的“魯德維格定律”。

3.3 斐波那契螺旋線

斐波那契螺旋線，也稱“黃金螺旋”，是根據斐波那契數列畫出來的螺旋曲線，自然界中存在許多斐波那契螺旋線的圖案，是自然界最完美的經典黃金比例。斐波那契螺旋線，以斐波那契數為邊的正方形拼成的長方形，然后在正方形里面畫一個90度的扇形，連起來的弧線就是斐波那契螺旋線。

3.4 電影、攝影構圖

最近有一部很火的電視劇-《瑯琊榜》，其實仔細觀察會發現里面很多的構圖都與斐波那契數列有關，讓其在視覺上產生美感。

4 結語

斐波那契數列的神秘面紗被今人所揭開，古人的智慧同樣也流傳至今。其中不僅有學術上的奇跡，同時也闡述了數學與自然甚至是人體的完美結合，讓我們感受到了數學世界的奇妙。endprint