剛體轉(zhuǎn)動(dòng)方程的矢量式
——兼談其與質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的“內(nèi)在統(tǒng)一性”

黃亦斌 曾建平

(江西師范大學(xué)物理與通信電子學(xué)院 江西 南昌 330022)

彭榮榮

(南昌工學(xué)院 江西 南昌 330022)

剛體轉(zhuǎn)動(dòng)方程的矢量式
——兼談其與質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的“內(nèi)在統(tǒng)一性”

黃亦斌 曾建平

(江西師范大學(xué)物理與通信電子學(xué)院 江西 南昌 330022)

彭榮榮

(南昌工學(xué)院 江西 南昌 330022)

就剛體動(dòng)力學(xué)中角動(dòng)量公式和轉(zhuǎn)動(dòng)方程進(jìn)行了分析，指出轉(zhuǎn)動(dòng)慣量張量不是常量，得到了相關(guān)的矢量式，并分析了一些對(duì)公式L=Jω和M=Jβ的常見誤解．

剛體動(dòng)力學(xué) 定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 矢量式

1 緣起

本刊2016年第10期刊文“剛體與質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)關(guān)系的內(nèi)在統(tǒng)一性”[1]，把剛體力學(xué)與質(zhì)點(diǎn)力學(xué)的相似性上升到某種理論高度．該文的一些理解是正確的，如“牛頓第二定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定理所描述的都是在外因作用下，適用對(duì)象運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變化與外因量之間的關(guān)系”，兩套力學(xué)之間確有一定的相似性和平行

2.2.2 從表示某點(diǎn)的振動(dòng)方程角度理解3個(gè)波函數(shù)的等價(jià)性

我們知道當(dāng)波函數(shù)中x變量一定時(shí)，波函數(shù)轉(zhuǎn)化為質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程．下面用3個(gè)波函數(shù)來描寫波線上P點(diǎn)的振動(dòng)方程．如果以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為xP=u+d，代入A的波函數(shù)得到P點(diǎn)的振動(dòng)方程為

如果以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為xP1=u，代入B的波函數(shù)得到P點(diǎn)的振動(dòng)方程為

如果以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為

xP2=u+2d

代入C的波函數(shù)得到P點(diǎn)的振動(dòng)方程為

1 馬文蔚，等.物理學(xué)(下冊(cè)).北京：高等教育出版社，2006.48～54

2 夏崢嶸，等. 關(guān)于駐波的直觀教學(xué). 大學(xué)物理，2012(12)： 42～44

性．但這種相似性是有限的，故而將該相似性上升到理論高度的基礎(chǔ)也就不存在了．

該文的核心問題在于低估了剛體力學(xué)的復(fù)雜性．誠(chéng)然，文獻(xiàn)[1]對(duì)此確有警覺，始終談?wù)摰氖莿傮w運(yùn)動(dòng)的特殊情形——定軸轉(zhuǎn)動(dòng)．但即便如此，該文仍未能對(duì)此有充分警覺，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤．

如果僅討論剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的軸向分量，那么所述的跟質(zhì)點(diǎn)力學(xué)的相似性沒有問題．設(shè)轉(zhuǎn)軸為z軸，此時(shí)的相關(guān)公式(或方程)有

Lz=JωMz=Jβ

(1)

其中J是剛體對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量．(該量是下文轉(zhuǎn)動(dòng)慣量張量的zz分量，故而其嚴(yán)格記法是Jzz．但在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)情形，常省略一些，記為Jz，甚至更省略地記為J．)如果喜歡矢量式，那么只能得到

Lzez=JωMzez=Jβ

(2)

其中已考慮到了角速度和角加速度都只有z分量．顯然，式(1)和(2)包含完全相同的內(nèi)容．但如果將其推廣為

L=Jω

(3)

M=Jβ

(4)

那么就錯(cuò)了：兩式一般并不成立，且式(4)比式(3)錯(cuò)得更多．這種錯(cuò)誤在一些大學(xué)物理教材中屢有出現(xiàn)，故值得提醒注意．

2 剛體角動(dòng)量的矢量式

一般理論力學(xué)教材都對(duì)剛體角動(dòng)量有詳細(xì)論述，例如文獻(xiàn)[2]．具體的，剛體角動(dòng)量L(對(duì)定點(diǎn)或質(zhì)心)與角速度ω存在線性關(guān)系，其矢量式是

(5)

(6)

式(5)只表明角動(dòng)量L與角速度ω有線性關(guān)系，而式(3)則進(jìn)一步要求L與ω方向相同．許多教材[3,4]都舉例指出二者的方向并不一定相同．也許會(huì)問：式(5)針對(duì)的是一般情形，如果限制為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，結(jié)果是否會(huì)簡(jiǎn)單？不會(huì)．實(shí)際上，前述L與ω不同向的例子正屬于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)．定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)雖然ω只有z分量，但L的x,y和z分量都存在．式(1)和(2)只告訴我們了L的z分量，但未涉及其x,y分量．實(shí)際上它們也跟角速度成正比

Lx=AωLy=Bω

(7)

注意角速度只有z分量，但它決定了角動(dòng)量的x,y分量．所以，式(3)一般是錯(cuò)的．

3 剛體角動(dòng)量定理(轉(zhuǎn)動(dòng)定律)的矢量式

如果把式(3)修正為式(5)，那么新的式子

(8)

r=xex+yey+zez=ξeξ+ζeζ+ηeη

(9)

那么，動(dòng)力學(xué)方程(8)該如何修改？通常是結(jié)合歐勒運(yùn)動(dòng)學(xué)方程寫出其分量形式[2]，未見其矢量式．其實(shí)，該矢量式并不復(fù)雜，為

(10)

文獻(xiàn)[2]“軸上的附加壓力”一節(jié)中，所得方程中出現(xiàn)了ω2項(xiàng)，這正來自式(10)第一項(xiàng)．

式(10)證明如下：根據(jù)角動(dòng)量定理和式(5)，有

(11)

(12)

而(eξ,eζ,eη)三者恰好固連于剛體，故而式(11)右邊第一項(xiàng)為

另一證法是，當(dāng)ω是常矢量時(shí)，剛體的角動(dòng)量L一定固連于剛體，故而由式(12)有

把式(5)代入，即得式(10)右邊的第一項(xiàng)．

也許會(huì)問：一般情況復(fù)雜，但定軸轉(zhuǎn)動(dòng)會(huì)簡(jiǎn)單一些吧？不會(huì)，文獻(xiàn)[2]處理的軸上附加壓力正是定軸轉(zhuǎn)動(dòng)情形．那難道沒有簡(jiǎn)化情形嗎？有，而且是兩種．第一種是定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，且只關(guān)心動(dòng)力學(xué)方程的z分量．此時(shí)結(jié)果就是式(1)和(2)．第二種是剛體的轉(zhuǎn)軸恰為其慣量主軸，此時(shí)矢量式(3)和(4)都成立．

文獻(xiàn)[5]、[6]也談及了剛體力學(xué)和質(zhì)點(diǎn)力學(xué)的平行性，但只是把定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的z分量公式與質(zhì)點(diǎn)一維運(yùn)動(dòng)情形做了對(duì)比，未推廣到矢量式．文獻(xiàn)[6]著重提醒：這種平行性可以幫助記憶，但并非基本．在邏輯上，先有質(zhì)點(diǎn)力學(xué)；加上牛頓第三定律得到質(zhì)點(diǎn)系力學(xué)；再加入剛體假設(shè)，才有剛體力學(xué)．如果覺得剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)與平動(dòng)(或質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng))在非常基本的層面上平行，就有可能將已有結(jié)果貿(mào)然推廣到三維矢量情形，犯下錯(cuò)誤．

最后要說明的是，本文所謂的“矢量式”，僅指其坐標(biāo)無關(guān)性，形式上抽象、緊湊，并非真的僅指矢量，因?yàn)楸疚闹羞€涉及二階張量．

參 考 文 獻(xiàn)

1 張明鐸，郝長(zhǎng)春，莫潤(rùn)陽，等.剛體與質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)關(guān)系的內(nèi)在統(tǒng)一性.物理通報(bào)，2016(10)：25～28

2 周衍柏.理論力學(xué)教程(第3版).北京：高等教育出版社，128～144

3 漆安慎，等.普通物理學(xué)教程·力學(xué)(第二版).北京：高等教育出版社，2005.221

4 張漢壯，等.力學(xué)(第三版).北京：高等教育出版社，2015.153

5 黃亦斌，等.大學(xué)物理(上冊(cè)).北京：高等教育出版社，2012.52～53

6 黃亦斌，等.新編大學(xué)物理教程.北京：科學(xué)出版社，2017.51～52

Vector Formula on Rotation Equation of Rigid Body——Also on the “inner consistence” with mass point dynamics

Huang Yibin Zeng jianping

(Jiangxi Normal University,Nanchang,Jiangxi 330022)

Peng rongrong

(Nanchang Institute of Science and Technology,Nanchang,Jiangxi 330022)

The angular momentum formula and equation of rotation in rigid body mechanics are analyzed.It is pointed out that the tensor of the moment of inertia is not constant,and some related vectorial formulas are obtained.The common misunderstanding of the formulas L=Jω and M=Jβ are analyzed.

rigid-body dynamics;rotation around a fixed axis;the moment of inertial;vectorial formula

2017-01-09)