剛體轉動方程的矢量式
——兼談其與質點動力學的“內在統一性”

黃亦斌 曾建平

(江西師范大學物理與通信電子學院 江西 南昌 330022)

彭榮榮

(南昌工學院 江西 南昌 330022)

剛體轉動方程的矢量式
——兼談其與質點動力學的“內在統一性”

黃亦斌 曾建平

(江西師范大學物理與通信電子學院 江西 南昌 330022)

彭榮榮

(南昌工學院 江西 南昌 330022)

就剛體動力學中角動量公式和轉動方程進行了分析，指出轉動慣量張量不是常量，得到了相關的矢量式，并分析了一些對公式L=Jω和M=Jβ的常見誤解．

剛體動力學 定軸轉動 轉動慣量 矢量式

1 緣起

本刊2016年第10期刊文“剛體與質點動力學關系的內在統一性”[1]，把剛體力學與質點力學的相似性上升到某種理論高度．該文的一些理解是正確的，如“牛頓第二定律和轉動定理所描述的都是在外因作用下，適用對象運動狀態的變化與外因量之間的關系”，兩套力學之間確有一定的相似性和平行

2.2.2 從表示某點的振動方程角度理解3個波函數的等價性

我們知道當波函數中x變量一定時，波函數轉化為質點的振動方程．下面用3個波函數來描寫波線上P點的振動方程．如果以A為坐標原點，則P點的坐標為xP=u+d，代入A的波函數得到P點的振動方程為

如果以B為坐標原點，則P點的坐標為xP1=u，代入B的波函數得到P點的振動方程為

如果以C為坐標原點，則P點的坐標為

xP2=u+2d

代入C的波函數得到P點的振動方程為

1 馬文蔚，等.物理學(下冊).北京：高等教育出版社，2006.48～54

2 夏崢嶸，等. 關于駐波的直觀教學. 大學物理，2012(12)： 42～44

性．但這種相似性是有限的，故而將該相似性上升到理論高度的基礎也就不存在了．

該文的核心問題在于低估了剛體力學的復雜性．誠然，文獻[1]對此確有警覺，始終談論的是剛體運動的特殊情形——定軸轉動．但即便如此，該文仍未能對此有充分警覺，從而導致錯誤．

如果僅討論剛體定軸轉動的軸向分量，那么所述的跟質點力學的相似性沒有問題．設轉軸為z軸，此時的相關公式(或方程)有

Lz=JωMz=Jβ

(1)

其中J是剛體對z軸的轉動慣量．(該量是下文轉動慣量張量的zz分量，故而其嚴格記法是Jzz．但在定軸轉動情形，常省略一些，記為Jz，甚至更省略地記為J．)如果喜歡矢量式，那么只能得到

Lzez=JωMzez=Jβ

(2)

其中已考慮到了角速度和角加速度都只有z分量．顯然，式(1)和(2)包含完全相同的內容．但如果將其推廣為

L=Jω

(3)

M=Jβ

(4)

那么就錯了：兩式一般并不成立，且式(4)比式(3)錯得更多．這種錯誤在一些大學物理教材中屢有出現，故值得提醒注意．

2 剛體角動量的矢量式

一般理論力學教材都對剛體角動量有詳細論述，例如文獻[2]．具體的，剛體角動量L(對定點或質心)與角速度ω存在線性關系，其矢量式是

(5)

(6)

式(5)只表明角動量L與角速度ω有線性關系，而式(3)則進一步要求L與ω方向相同．許多教材[3,4]都舉例指出二者的方向并不一定相同．也許會問：式(5)針對的是一般情形，如果限制為定軸轉動，結果是否會簡單？不會．實際上，前述L與ω不同向的例子正屬于定軸轉動．定軸轉動時雖然ω只有z分量，但L的x,y和z分量都存在．式(1)和(2)只告訴我們了L的z分量，但未涉及其x,y分量．實際上它們也跟角速度成正比

Lx=AωLy=Bω

(7)

注意角速度只有z分量，但它決定了角動量的x,y分量．所以，式(3)一般是錯的．

3 剛體角動量定理(轉動定律)的矢量式

如果把式(3)修正為式(5)，那么新的式子

(8)

r=xex+yey+zez=ξeξ+ζeζ+ηeη

(9)

那么，動力學方程(8)該如何修改？通常是結合歐勒運動學方程寫出其分量形式[2]，未見其矢量式．其實，該矢量式并不復雜，為

(10)

文獻[2]“軸上的附加壓力”一節中，所得方程中出現了ω2項，這正來自式(10)第一項．

式(10)證明如下：根據角動量定理和式(5)，有

(11)

(12)

而(eξ,eζ,eη)三者恰好固連于剛體，故而式(11)右邊第一項為

另一證法是，當ω是常矢量時，剛體的角動量L一定固連于剛體，故而由式(12)有

把式(5)代入，即得式(10)右邊的第一項．

也許會問：一般情況復雜，但定軸轉動會簡單一些吧？不會，文獻[2]處理的軸上附加壓力正是定軸轉動情形．那難道沒有簡化情形嗎？有，而且是兩種．第一種是定軸轉動，且只關心動力學方程的z分量．此時結果就是式(1)和(2)．第二種是剛體的轉軸恰為其慣量主軸，此時矢量式(3)和(4)都成立．

文獻[5]、[6]也談及了剛體力學和質點力學的平行性，但只是把定軸轉動的z分量公式與質點一維運動情形做了對比，未推廣到矢量式．文獻[6]著重提醒：這種平行性可以幫助記憶，但并非基本．在邏輯上，先有質點力學；加上牛頓第三定律得到質點系力學；再加入剛體假設，才有剛體力學．如果覺得剛體的轉動與平動(或質點運動)在非?；镜膶用嫔掀叫?，就有可能將已有結果貿然推廣到三維矢量情形，犯下錯誤．

最后要說明的是，本文所謂的“矢量式”，僅指其坐標無關性，形式上抽象、緊湊，并非真的僅指矢量，因為本文中還涉及二階張量．

參 考 文 獻

1 張明鐸，郝長春，莫潤陽，等.剛體與質點動力學關系的內在統一性.物理通報，2016(10)：25～28

2 周衍柏.理論力學教程(第3版).北京：高等教育出版社，128～144

3 漆安慎，等.普通物理學教程·力學(第二版).北京：高等教育出版社，2005.221

4 張漢壯，等.力學(第三版).北京：高等教育出版社，2015.153

5 黃亦斌，等.大學物理(上冊).北京：高等教育出版社，2012.52～53

6 黃亦斌，等.新編大學物理教程.北京：科學出版社，2017.51～52

Vector Formula on Rotation Equation of Rigid Body——Also on the “inner consistence” with mass point dynamics

Huang Yibin Zeng jianping

(Jiangxi Normal University,Nanchang,Jiangxi 330022)

Peng rongrong

(Nanchang Institute of Science and Technology,Nanchang,Jiangxi 330022)

The angular momentum formula and equation of rotation in rigid body mechanics are analyzed.It is pointed out that the tensor of the moment of inertia is not constant,and some related vectorial formulas are obtained.The common misunderstanding of the formulas L=Jω and M=Jβ are analyzed.

rigid-body dynamics;rotation around a fixed axis;the moment of inertial;vectorial formula

2017-01-09)