探究萬(wàn)有引力定律的3種特殊應(yīng)用

王 毅

(保定市第二中學(xué) 河北 保定 071000)

探究萬(wàn)有引力定律的3種特殊應(yīng)用

王 毅

(保定市第二中學(xué) 河北 保定 071000)

萬(wàn)有引力定律是高中物理的一個(gè)重要規(guī)律，雖然教材篇幅較少，卻在歷年高考中常常作為重點(diǎn)考查內(nèi)容出現(xiàn)．萬(wàn)有引力定律相關(guān)題目充分考查了學(xué)生分析問題、建立模型、數(shù)形結(jié)合、空間想象及應(yīng)用數(shù)學(xué)解決物理問題的能力．相關(guān)題目還往往與太空探索、最新科技、最受關(guān)注的新聞熱點(diǎn)及愛國(guó)主義教育結(jié)合，非常符合高考命題方向．但學(xué)生對(duì)這部分考題往往不易把握，特別是一些特殊類型的應(yīng)用學(xué)生不知如何入手．

對(duì)于萬(wàn)有引力定律的一般應(yīng)用可以概括為兩種，如表1所示.

表1 對(duì)萬(wàn)有引力定律的兩種應(yīng)用

這兩類問題很常見，學(xué)生也比較容易理解，經(jīng)過一定練習(xí)較容易掌握．

而一些特殊類型的應(yīng)用不能用以上的方法輕易解決，需要調(diào)動(dòng)更多的物理和數(shù)學(xué)知識(shí)以及更深入的邏輯思維能力，往往讓學(xué)生不知如何入手，成為了很多學(xué)生眼中的難題．下面就對(duì)萬(wàn)有引力定律的3種特殊類型的應(yīng)用作一總結(jié)歸納．

1 雙星和多星問題

雙星或多星互相環(huán)繞的情景在宇宙中非常常見，也是高考考查重點(diǎn)之一，但由于沒有一般應(yīng)用中的“中心天體”，且萬(wàn)有引力公式中的距離R和向心力公式中的軌道半徑r并不相等，導(dǎo)致學(xué)生常常答錯(cuò)．

如圖1所示，雙星問題的幾個(gè)常用結(jié)論：

(1)對(duì)兩星均大小相等的物理量有萬(wàn)有引力(向心力)、周期、角速度，即

F1=F2T1=T2ω1=ω1

(2)對(duì)兩星均與質(zhì)量成反比的物理量有軌道半徑、線速度、向心加速度，即

(3)若兩星體質(zhì)量分別為m1和m2，之間的距離為L(zhǎng)，則互相環(huán)繞的周期為

圖1 雙星問題

進(jìn)一步對(duì)于多星問題，基本關(guān)系是由萬(wàn)有引力的合力提供向心力，同時(shí)注意由幾何關(guān)系確定軌道半徑．常見的是三星系統(tǒng)和四星系統(tǒng)，三星系統(tǒng)常見的有兩種形式.

形式一為3顆質(zhì)量相等的星體環(huán)繞中心運(yùn)動(dòng)，如圖2所示.若三星體質(zhì)量均為m，星體之間的距離為L(zhǎng)，則對(duì)于任意一個(gè)星體核心關(guān)系式為

圖2 三星成正三角形的系統(tǒng)

形式二為兩顆質(zhì)量相等的星體環(huán)繞另一中心星體運(yùn)動(dòng)，如圖3所示.若兩星體質(zhì)量均為m，中心星體質(zhì)量為M，軌道半徑為r，則對(duì)于任意一個(gè)環(huán)繞星體核心關(guān)系式為

圖3 三星成直線的系統(tǒng)

對(duì)于四星系統(tǒng)，一般為4顆質(zhì)量相等的星體環(huán)繞中心運(yùn)動(dòng)，如圖4所示.若四星體質(zhì)量均為m，星體之間的距離為L(zhǎng)，則對(duì)于任意一個(gè)星體核心關(guān)系式為

圖4 四星成正方形的系統(tǒng)

總之，對(duì)于雙星和多星問題需要引導(dǎo)學(xué)生分析清楚向心力的來(lái)源，注意區(qū)分星體距離和圓周運(yùn)動(dòng)軌道半徑的不同，結(jié)合運(yùn)動(dòng)示意圖和幾何關(guān)系細(xì)心求解．

2 橢圓軌道問題

典型應(yīng)用：如圖5所示，衛(wèi)星a環(huán)繞地球勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑為r，周期可由萬(wàn)有引力定律求出為Ta，另一衛(wèi)星b環(huán)繞地球做橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，近地點(diǎn)近似為地球表面，遠(yuǎn)地點(diǎn)為衛(wèi)星a軌道處，地球半徑為R，求衛(wèi)星b的周期．則可由開普勒第三定律得出

即可求解．

圖5 有衛(wèi)星做橢圓軌道運(yùn)動(dòng)

若問題變形為衛(wèi)星b的近地點(diǎn)高度為h1，遠(yuǎn)地點(diǎn)高度為h2，則表達(dá)式相應(yīng)調(diào)整為

仍可求解．另外，衛(wèi)星由遠(yuǎn)地點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到近地點(diǎn)所用時(shí)間為周期的一半，需要注意的是，橢圓軌道運(yùn)動(dòng)與勻速圓周運(yùn)動(dòng)不同，前者速率并非保持不變，所以并不是運(yùn)行任意“半圈”所用時(shí)間都為周期的一半．

3 引力勢(shì)能問題及機(jī)械能問題

一個(gè)典型的應(yīng)用是：推導(dǎo)第二宇宙速度的表達(dá)式．即從地表以某一速度發(fā)射物體，其運(yùn)動(dòng)到距離地球無(wú)窮遠(yuǎn)處時(shí)，速度剛好減為零，把這一速度就稱為地球的第二宇宙速度(脫離速度)．由引力勢(shì)能的概念和機(jī)械能守恒定律可列表達(dá)式

即在地表發(fā)射時(shí)的動(dòng)能和引力勢(shì)能之和等于飛到無(wú)窮遠(yuǎn)處時(shí)的相應(yīng)能量之和(均為零)．

另外，可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考推出環(huán)繞中心天體圓周運(yùn)動(dòng)的物體的機(jī)械能E表達(dá)式，即

利用該式可以解決一些本來(lái)只能定性理解的問題．例如：某一人造地球衛(wèi)星原來(lái)軌道半徑為r1，由于受到外層大氣阻力的作用，軌道半徑降低為r2，已知地球質(zhì)量M和衛(wèi)星質(zhì)量m及引力常量G，求阻力做功W阻為多少？則利用功能關(guān)系和機(jī)械能表達(dá)式可得

類似題目在多省市高考題中出現(xiàn)，是多數(shù)學(xué)生解題的難點(diǎn)之一．

以上就是對(duì)萬(wàn)有引力定律的3種特殊應(yīng)用所做的總結(jié)，在教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生分析和推導(dǎo)出相應(yīng)結(jié)論，不僅方便應(yīng)用結(jié)論解題，還能鍛煉學(xué)生的物理思維能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算技巧．

2017-02-15)