分析山體理論高度建議運(yùn)用錐形建模*
——兼談第33屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽預(yù)賽卷第12題

張懷華

(焦作市第十一中學(xué) 河南 焦作 454000)

分析山體理論高度建議運(yùn)用錐形建模*
——兼談第33屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽預(yù)賽卷第12題

張懷華

(焦作市第十一中學(xué) 河南 焦作 454000)

通過(guò)對(duì)第33屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽預(yù)賽試卷第12題及其參考答案的分析，指出了對(duì)山體柱形建模的瑕疵，通過(guò)對(duì)山體進(jìn)行錐形建模，發(fā)現(xiàn)山體的極限高度為柱形建模下山體極限高度的3倍．

熔化熱 極限高度 山體 星體

自2016年9月3日第33屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽預(yù)賽結(jié)束以來(lái)，很多師生對(duì)試卷第12題展開了激烈的爭(zhēng)論，大家對(duì)試題中提供的山體的柱形建模方式表示質(zhì)疑，筆者對(duì)山體以師生普遍認(rèn)可的錐形進(jìn)行建模，得出了新的結(jié)論．下面就從對(duì)山體錐形建模的角度，談一談對(duì)山體極限高度的分析與求解．

1 試題回放與參考解析

【題目】固體星球可近似看作半徑為R(足夠大)的球形均勻的固體，構(gòu)成星球的物質(zhì)的密度為ρ，引力常量為G．考慮星球表面山體的高度，如果山高超出某一限度，山基便會(huì)發(fā)生流動(dòng)(可以認(rèn)為是山基部分物質(zhì)熔化的結(jié)果，相當(dāng)于超出山的最高限度的那塊物質(zhì)從山頂移走了)，從而使山的高度減低．山在這種情況下，其高度的小幅降低可視為小塊質(zhì)量的物質(zhì)從山頂移到山底．假設(shè)小塊物質(zhì)重力勢(shì)能的減少與其完全熔化所需要的能量相當(dāng)，山體由同種物質(zhì)構(gòu)成，該物質(zhì)的熔化熱為L(zhǎng)，不考慮溫度升到熔點(diǎn)所需的能量，也不考慮壓強(qiáng)對(duì)固體熔化熱的影響，試估算在此條件下由同一種物質(zhì)構(gòu)成的山體高度的上限．

參考答案：由于星體是均勻的球體，且山體的高度遠(yuǎn)小于球體的半徑，按照題設(shè)模型有

mgHmax=mL

(1)

式中Hmax是山體高度的上限，m是會(huì)熔化掉的那一小塊物質(zhì)的質(zhì)量．

在星球表面，由引力產(chǎn)生的加速度為

(2)

式中M是星體的質(zhì)量．

根據(jù)本題對(duì)星體的球形假設(shè)，有

(3)

由以上式(1)、(2)和(3)可得，半徑為R的星體上的山體的高度的上限為

(4)

故該星球上的山體的高度應(yīng)該滿足

(5)

2 錐形建模條件下山體極限高度的分析與求解

上述分析看似合理，但是筆者不能茍同．在本試題的命制中，山體是按照柱形建模的，這與實(shí)際中的山體不相符，因?yàn)閺暮暧^角度看，絕大多數(shù)山體都是錐形的．

如圖1所示，如果將山體抽象為高度為H，底面積為S的錐形，則山體的整體質(zhì)量m1為

(6)

圖1 山體的錐形架構(gòu)

山基被熔化的那部分物質(zhì)的質(zhì)量m2為

m2=ΔHSρ

(7)

若山體整體下降ΔH時(shí)重力勢(shì)能的減少恰好等于山腳下厚度為ΔH的山基物質(zhì)熔化所需要的能量，則有

m2L=m1gΔH

(8)

由式(2)、(3)、(6)、(7)和(8)可得，半徑為R的星體上的山體的高度的上限為

(9)

故該星球上的山體的高度應(yīng)該滿足

(10)

比較(5)、(10)兩式，可以發(fā)現(xiàn)：錐形山體模型的極限高度是柱形山體模型極限高度的3倍．

3 結(jié)束語(yǔ)

由于山體的宏觀外形都是錐形的，以錐形對(duì)山體建模，是符合實(shí)際的．鑒于科學(xué)性是命制試題的首要標(biāo)準(zhǔn)，筆者借助貴刊建議命題人，在命制新型試題時(shí)，一定要盡可能從實(shí)際出發(fā)，多方論證，盡量讓物理建模與實(shí)際情況相吻合．

*2016年河南省基礎(chǔ)教育教學(xué)重點(diǎn)研究項(xiàng)目“基于核心素養(yǎng)的高中物理教學(xué)目標(biāo)的構(gòu)建及實(shí)施研究”，項(xiàng)目編號(hào)：JCJYB16060032，本文為該項(xiàng)目的研究成果.

2017-01-13)