橢圓的法線性質在物理中的幾個應用

(1.江蘇省姜堰中學高二14班，江蘇 泰州 225500；2.江蘇聯合職業技術學院鎮江分院，江蘇 鎮江 212026)

橢圓的法線性質在物理中的幾個應用

顧傲塵1陸旭2

(1.江蘇省姜堰中學高二14班，江蘇 泰州 225500；2.江蘇聯合職業技術學院鎮江分院，江蘇 鎮江 212026)

物理與數學關系緊密，數學作為一種工具，它的原理被賦予不同物理意義后，往往能呈現在不同的物理情境中。橢圓的法線性質在聲學、力學中均有所體現，能解釋多種物理問題，其巧妙運用能體現物理簡潔統一的美妙之處，對解決物理問題有很大幫助。

力學；聲學；橢圓;法線

物理和數學是緊密關聯的兩門學科，數學原理可以應用在不同的物理情境中。橢圓作為解析幾何中的一種重要的圓錐曲線，它的法線性質在物理學中有眾多應用，本文結合力學、聲學中的幾個問題做探討。

1 橢圓的法線性質及其證明

橢圓的法線性質可表述為：橢圓的任一條切線，其法線平分過切點的兩條焦半徑所夾的角。

圖1

2 橢圓的法線性質在物理中的應用

2.1 在聲學中的應用

如圖2所示，如果以橢圓面為反射面，根據反射定律，反射角等于入射角，則從橢圓一個焦點上發出的聲音或光經過反射將匯聚到橢圓的另一個焦點上。

圖2

據說意大利的西西里島上曾建造過一座奇特的巖洞監獄，令人奇怪的是犯人們每次密謀越獄和暴動的計劃，很快就被看守所知曉。原來洞頂和墻壁都是橢圓面，囚犯被關押處正好是橢圓的一個焦點，而看守的位置在橢圓的另一個焦點上，只要犯人們張口說話，哪怕是很輕微的聲音，都會通過橢圓面的反射聚焦到看守的位置，這正是橢圓性質的絕妙應用。當然這個故事很可能只是個傳說，但在醫療確有中類似應用，在用超聲波給結石病人體內碎石時，聲波發射裝置位于橢球反射面的一個焦點上，待碎石部位則位于橢球的另一個焦點上，如圖3所示，這樣超聲波的能量被集中在患處，易于碎石。

圖3

2.2 在力學中的應用

2.2.1 機械能守恒問題

以下為一道有關機械能守恒的問題，特種兵過山谷的一種方法可簡化為圖4所示的情景：將一根長為2d的不可伸長的細繩兩端固定在相距為d的A、B兩等高點，繩上掛一小滑輪P，戰士們相互配合，就可沿著繩子滑到對面，戰士甲用水平力F拉住滑輪，質量為m的戰士乙吊在滑輪上，腳離地處于靜止狀態，此時AP豎直，然后戰士甲將滑輪從靜止狀態釋放，若不計滑輪摩擦及空氣阻力，也不計滑輪的質量，求：

圖4

(1)戰士甲釋放滑輪前對滑輪的水平拉力F；

(2)戰士乙滑動過程中的最大速度。

這道題求解并不復雜，這里不探討其求解。在求解(2)問時需運用機械能守恒定律，戰士乙在滑動過程中，作用在滑輪兩邊的繩子拉力與戰士乙的運動方向均不是垂直關系，也就是說兩側的繩子拉力均做功，那么機械能守恒是如何成立的呢？要說清楚這個問題就得借助橢圓的法線性質了。

如圖5所示，根據幾何關系，戰士乙的運動軌跡為橢圓，A、B分別為橢圓的兩個焦點，戰士乙沿橢圓的切線方向運動；由于滑輪是光滑的，則滑輪兩側的繩子拉力大小始終相等，所以兩側繩子拉力的合力方向沿∠APB平分線方向，根據橢圓的法線性質，該平分線方向與切線方向即戰士乙的運動方向始終垂直，所以滑輪兩側繩子拉力的合力是始終不做功的，戰士乙在運動過程中機械能守恒。

圖5

2.2.2 萬有引力問題

物體在中心天體的萬有引力作用下的運動軌跡為橢圓曲線，如行星的運動以及人造天體的運動軌跡大多為橢圓，利用橢圓的法線性質可方便處理某些萬有引力作用下的運動問題，如下面的導彈落地點問題。

圖6

如圖6所示，橢圓的一個焦點在地心O處，另一個焦點設為F，發射點位置設為A，落地點位置設為B，過A點的法線為AC。

因為發射方向仰角為α，那么發射方向與豎直方向的夾角為90°-α，而法線AC與初速度v的方向垂直，所以∠OAC=α，又因為法線AC平分∠OAF，則∠OAF=2α。

3 結語

橢圓的法線性質是平面解析幾何中的一個普通性質，但它在物理中的體現應用卻是多方面的，充分體現了物理世界的豐富多彩以及物理規律的簡潔統一。在平時物理學習中，我們除了要學會處理問題的方法外，還要學習和體驗物理規律的美妙之處，從而激發探索自然奧秘的興趣。

[1] 張憲華.高中知識清單數學[M].北京：首都師范大學出版社，2011：82-83.

[2] 程稼夫.中學奧林匹克競賽物理教程力學篇[M].合肥：中國科學技術大學出版社，2002：225-226.