分析代入法在初中代數中的應用

關樹毅

摘 要：代入法最初是數學解題方法的一種，主要集中運用在解方程組中，發揮著極其重要的作用。讓計算變得更加簡單，并且能夠有效的驗證答案的對錯，減少出錯率。本文主要分析代入法在初中代數中的應用，以供參考。

關鍵詞：代入法；初中數學

代入法是一種基本的解代數題的方法，尤其是解方程組和求代數值時，代入法非常有效，使計算變得簡便、快捷。而其中代數式求值是初中數學中常見的問題，也是中考、競賽中常見的題型。下面通過一些數學解題實例來具體探討一下代入法在初中數學解題中的應用。

1代入法概述

使用代入法的目的是“消元”，常被運用在二元一次的方程當中。通過簡單系統選擇，用X（未知數）來代替的方式進行求解問題。通過代入法運用，把二元一次轉化為簡單的一元一元方程，此時即可求解一元一次方程，把所得的值代入原來的二元一次方程中得出另一個值，此時，二元一次方程的問題就變得非常簡單。

2代入法在初中代數中的應用

2.1整體代入法

“整體代入”是數學中常用的解題方法，其用法是當單個字母的值不能或不用求出時，將“含有字母的式子”看做一個“整體”直接代入到待求的代數式中去求值的一種方法，從而求出結果。通過整體代入，實現降次、歸零、約分的目的，以便快速求得其值。

解題方法：首先應從題設中獲取含字母的代數式（不含常數項）的值，然后利用“整體代入法”求代數式的值。

例1.已知x2+x-1=0，求x3+2x2+3的值。

解：∵x2+x-1=0

∴x2+x=1

∴原式=x（x2+x）+x2+3=x2+x+3=1+3=4

評注：在單個字母取值不確定的情況下，某些代數式的求值要借助于“整體代入法”，即把某個代數式看作一個整體。用“整體代入法”求值的關鍵是確定“整體”。

2.2化簡代入法

化簡代入法是指把所求的代數式先進行化簡，然后再代入求值。這是代數式求值中最常見、最基本的方法。

例2.先化簡，再求值（a2b-2ab2-b3）÷b-（a+b）（a-b），其中a=1/2，b=-1。

解：原式=a2-2ab-b2-（a2-b2）

=a2-2ab-b2-a2+b2

=-2ab

當a=1/2，b=-1時，

原式=-2ab=-2×1/2×（-1）=1

2.3式子變換法

當已知條件或求值的代數式不易化簡時，可以變換已知條件或求值的代數式，使兩者之間建立聯系。

2.3.1變換已知條件

例3.已知α是方程x2+x-1/4=0的根。求α3-1/α5-α4-α3-α2的值。

解：∵α是方程x2+x-1/4=0的根，

∴α2+α=1/4

原式=（α3-1）/（α5-α4-α3-α2）

=[（α-1）（α2+α+1）]/[（α-1）（α2+α）2]

=α2+α+1/（α2+α）2

=（1/4+1）/（1/4）2

=20

說明：把題目給定的條件經過適當變形，使之出現要求值的代數式且沒有其他字母，這樣就可以求出代數式的值。

2.3.2變換求值的代數式

例4已知x2-3x-2=0。那么，代數式[（x-1）3-x2+1]/（x-1）的值為（ ）。

解：[（x-1）3-x2+1]/（x-1）

=（x-1）2-（x+1）

=x2-3x

∵x2-3x-2=0，

∴x2-3x=2

故（x-1）3-x2+1/x-1=x2-3x=2。

說明：變換所求值的代數式，使它成為用已知條件中的式子表示的形式，然后代入求值。

2.4直接代入求值

直接代入法是做選擇題時的一種高效、準確的解題方法，即直接將選項中的答案一一帶入題目要求中，符合題意與題目要求的即為正確答案，因此，直接代入法也被稱為驗證法，可以有效地提高解題的準確性和做題的速度。

例5.求當α=-3，b=2/3時，代數式時代數式α2+ab+3b2的值。

分析：用宇母數值代替代數式中的字母按代數式指明的運算，計算出結果。

解：當α=-3，b=2/3時，

原式=（-3）2+（-3）×2/3+3×（2/3）2

=9-2+3×1/9

=25/3

評注： ①相應數字均應代人相應字母，特別是有兩個或兩個以上字母時，切不要代錯。②代入時除按已知給定的數值，將相應的字母換成相應的數字外，其他的運算符號，運算順序，原來的數值都不改變。③代數式中省去的“×”號或“？”號代入具體數后應恢復原來的“×”號，遇到字母取值是分數或者負數時，應根據實際情況添上括號。④代入時，一定要書寫規范，如當α=-3時，α2=（-3）2，而不是α2=-32，（2/3）2不等于22/3等，只有書寫規范，才能反映出代數式所隱含的運算順序。

2.5取特殊值代入求值

例6.已知-1

A.a+b B.a-b C.a+b2 D.a2+b

分析：取b=-1/2，a=1/2，分別代入四個選擇再計算得：A的值為0；B的值1；C的值為3/4；D的值為3/4。

解：選B。

例7.設（1+x）2（1-x）=a+bx+cx2+dx3，則a+b+c+d=？

分析：a+b+c+d恰好是a+bx+cx2+dx3當x=1時的值。故取x=1分別代入等式（1+x）2（1-x）=a+bx+cx2+dx3左邊是0，右邊是a+b+c+d，所以a+b+c+d=0。

解：填0。

評注：在選擇題與填空題中，由于不用計算過程，也可以用特殊值法來計算，即選取符合條件的字母的值，直接代入代數式得出答案。

3結束語

在初中數學中，經常會用到代入法這種解題方法。而在一些數學解題方法中，除了代入消元法之外，還包括“微元法”、圖像解題法，利用幾何圖形或是函數方法來解答和計算題目。直接代入法、特殊值代入法以及整體代入法都是行之有效的解題方法，可以為學生解題帶來極大的便利。

參考文獻：

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