基于模糊迭代均方根容積卡爾曼濾波的天基非合作目標跟蹤

岳 聰，薄煜明，吳盤龍，田夢楚，陳志敏

（南京理工大學 自動化學院 南京 210094）

基于模糊迭代均方根容積卡爾曼濾波的天基非合作目標跟蹤

岳 聰，薄煜明，吳盤龍，田夢楚，陳志敏

（南京理工大學 自動化學院 南京 210094）

針對非合作航天器相對導航中測量噪聲不確定的問題，提出了一種模糊迭代均方根容積卡爾曼濾波算法，實現對非合作目標相對狀態的測量。該算法利用容積點均方根迭代策略和模糊推理系統實時調整改進容積卡爾曼濾波的量測噪聲協方差陣權值，修正量測噪聲協方差陣，使其接近真實噪聲值，從而提高目標跟蹤算法的自適應能力，提高了濾波精度。通過建立數學仿真模型，分別采用擴展卡爾曼濾波、容積卡爾曼濾波以及模糊迭代均方根容積卡爾曼濾波進行跟蹤仿真，仿真結果表明，與標準容積卡爾曼濾波相比，該改進算法能夠提高13.17%的跟蹤精度。

非合作目標；容積卡爾曼濾波；模糊推理系統；自適應濾波；目標跟蹤

由于人類對于探索未知空間的需求日益迫切，航天器的數量劇增，軌道資源愈發緊缺，促使人們對故障衛星進行空間監測[1-2]。天基空間目標監視不受地球曲率和國家地域的局限，也不易受到復雜大氣環境的影響，使其相對于地基空間目標監視系統有較大優勢。由于在軌目標受到軌道攝動力、誤差模型等復雜因素的影響，往往無法準確地確定量測噪聲。因此，研究自適應濾波算法成為空間目標的跟蹤定軌發展的重要方向[3-5]。

針對航天器呈現高度非線性的特點，精密軌道的確定實質上就是解決非線性系統濾波的問題，即在貝葉斯濾波框架下可以尋求最優解。然而實際應用中后驗概率密度函數難以獲得，因此，學者在此基礎上尋找次優方法以逼近后驗概率密度函數的統計特性。常用的處理方法包括擴展卡爾曼濾波方法(EKF)[6]、容積卡爾曼濾波(CKF)[7-8]、無跡卡爾曼濾波(UKF)[9]等。

針對非合作目標的自主導航問題，本文提出了基于模糊迭代均方根容積卡爾曼濾波算法(FISCKF)來實現非合作航天器的相對狀態測量，利用模糊控制[9]原理調整參數，從而提高精度。該方法直接對容積點均方根進行迭代更新，避免通過求取高斯近似方法來產生容積點，同時引入了模糊自適應算法[10]，實時調整濾波過程中的協方差矩陣，能夠充分利用量測信息，從而提高對狀態的估計精度。仿真結果表明，模糊迭代均方根容積卡爾曼濾波算法估計精度要高于容積卡爾曼濾波%。

1 航天器相對運動學方程

1.1 目標運動的狀態方程

根據理論力學可知，若將地球視為一個密度均勻的正球體，則它對空間目標的吸引可以等效于一個質點，則地球與目標構成一個二體系統，觀測衛星和目標衛星的幾何關系如圖1所示。

圖1 觀測衛星和目標衛星的幾何關系Fig.1 Geometric relationship between observation satellite and target satellite

根據牛頓第二定律，目標運動方程為

其中，μ=GM是地球引力常數，根據第16屆國際大地測量協會和國際天文聯合會推薦，μ=3.986005×1014m3/s2。

其中，J2為地球引力二階帶諧項系數，狀態矢量取為，Re為地球半徑，r=(x, y, z)T。

1.2 目標運動的觀測方程

在t時刻，觀測量為觀測衛星與被觀測衛星之間的方位角θ和俯仰角。本文采用站心赤道坐標系，得到量測方程如下：

2 模糊迭代均方根容積卡爾曼濾波

傳統容積卡爾曼濾波算法由高斯域貝葉斯濾波理論推導而來，在該理論的框架下，非線性濾波問題歸結為非線性函數和高斯概率密度函數乘積的數學積分問題，當其推廣到高階容積卡爾曼濾波時，計算過程十分復雜，擴展性比較差[12]。為了獲得更好的濾波精度及穩定性，本文將容積卡爾曼濾波濾波改進為模糊迭代均方根容積卡爾曼濾波[13-14,16]，利用協方差矩陣的平方根來代替協方差矩陣直接參與遞推運算，引入模糊推理算法，提高濾波算法的計算效率和數值穩定性[15]。

非線性濾波問題狀態向量空間的加性噪聲方程和量測方程如下：

由于容積卡爾曼濾波需要已知系統噪聲和量測噪聲的方差陣Qk-1、Rk，在實際應用中，量測噪聲Rk易受外界環境的干擾，故難以準確獲得，此時容積卡爾曼濾波的性能會大大降低，甚至出現發散，因而須采用一種自適應算法來調節Rk。

在容積卡爾曼濾波中，定義系統新息為

其中，M是累加窗口，本文中M=4。

系統理論新息方差陣為Pzz，定義兩者跡的比值為

當系統噪聲統計特性準確時，新息應為零均值高斯白噪聲序列，新息方差實際值與理論值的比值αk應在1附近。當系統測量噪聲的實際值與給定值不一致時，αk將偏離1，為了使濾波穩定，可通過調節Rk對理論殘差方差陣進行調整：

其中：εk為調節因子。當系統測量噪聲實際值大于給定值時，αk＞1，此時可增大εk，使αk回到1附近；當系統測量噪聲實際值小于給定值時，αk＜1，此時可減小εk。

以αk作為模糊推理系統的輸入，εk為其輸出，以1 為參考，設S表示模糊集合“小”，M表示基本等于1，L表示模糊集合“大”，可建立如下的模糊推理規則：

1）如果αk∈S，那么εk∈S；

2）如果αk∈M，那么εk∈M；

3）如果αk∈L，那么εk∈L。

通過該方法得到的模糊推理容積卡爾曼濾波器[7]能夠克服小范圍內不確定測量噪聲的干擾。

FISCKF的核心思想是在測量更新過程中，利用協方差矩陣的平方根來代替協方差矩陣來改進線性化參考點，即利用測量更新得到的狀態估值來代替狀態預測值，再通過量測更新中進行迭代，計算量測預測值、新息方差和協方差，通過模糊推理系統得到的調節因子ε來調節kRk，計算增益，產生新的，再進行迭代更新，當j=N時，退出迭代。

其算法流程如下：

2）量測更新

① 計算容積點：

② 容積點傳播：

③ 計算量測預測值、新息方差和協方差矩陣：

⑤ 以αk為FIS輸入，通過模糊推理系統計算εk。

⑥ 計算量測更新：

3 仿真實驗與結果分析

假設系統噪聲W(k)均值為0，方差為Q=diag[202m,202m, 202m, 0.052m/s, 0.052m/s, 0.052m/s]，量測噪聲R=diag[0.000052rad, 0.000052rad]，其中初始狀態誤差為δX=diag[1000, 1000, 1000, 5, 5, 5]，μe=3.986005×1014m3/s2，J2=1.0826269×10–3，Re=6.378137×106。

初始軌道要素如表1所示。圖2顯示了模糊迭代均方根容積卡爾曼濾波算法的軌跡。圖3、圖4分別為EKF、CKF、FISCKF的位置誤差和速度誤差。圖5、圖6分別為1000倍R時EKF、CKF、FISCKF的位置誤差和速度誤差。表2顯示3種算法的均方根誤差（RMSE），表3顯示了當濾波器穩定時的速度和位置誤差。

表1 航天器初始軌道要素Tab.1 Key elements of spacecraft’s initial orbit

圖2 FISCKF算法軌跡圖Fig.2 Curve of FISCKF algorithm

通過圖3、圖4可以看出，EKF初始濾波誤差較大，魯棒性差，收斂速度上明顯低于CKF、FISCKF，其原因在于EKF算法對非線性函數采用一階線性近似化的方法，其近似精度不高，從而導致估計精度不高。CKF、FISCKF由于采用三階球面-相徑容積規則近似狀態后驗均值和協方差，其精度高于一階線性近似化的EKF算法，表示其能夠逐漸靠近真實值。從圖5、圖6中可知，當噪聲增大時，EKF算法誤差急劇增大，即使長時間響應后依舊不能穩定，說明其算法不能穩定地跟蹤目標。CKF算法的響應時間變長，差變大，表示其不能有效地快速跟蹤目標。FISCKF的響應時間最短，誤差最小，表明FISCKF實時性最好，能夠提高濾波精度。

圖3 EKF、CKF、FISCKF算法位置誤差Fig.3 Position errors of EKF, CKF, and FISCKF

圖4 EKF、CKF、FISCKF算法速度誤差Fig.4 Speed errors of EKF, CKF, and FISCKF

圖5 1000R時EKF、CKF、FISCKF算法位置誤差Fig.5 Position errors of EKF, CKF, and FISCKF at 1000R

圖6 1000R時EKF、CKF、FISCKF算法速度誤差Fig.6 Speed errors of EKF, CKF, and FISCKF at 1000R

表2 EKF,CKF,FISCKF的RMSETab.2 RMSE of EKF, CKF, and FISCKF

表3 EKF,CKF,FISCKF的穩定誤差Tab.3 Stable errors of EKF, CKF, and FISCKF

由表3可以看出，FISCKF的穩態誤差最小，位置RMSE較EKF提高了42.12%，較CKF提高了13.17%，速度RMSE較EKF提高了37.04%，較CKF提高了18.49%，表明能夠提高精度。

綜上所述，FISCKF算法的位置誤差低于EKF、CKF算法，FISCKF算法的速度誤差明顯低于EKF、CKF算法，表示其能夠更加迅速有效地靠近真實值。可見FISCKF算法能更有效地進行跟蹤。

4 結 論

本文針對非合作航天器跟蹤中出現的噪聲統計特性不確定問題，提出了模糊迭代均方根容積卡爾曼濾波算法，仿真證明該算法能夠有效改善跟蹤精度和時間，滿足非合作目標相對導航的要求。FISCKF算法在解決非線性模型濾波問題時，相對于EKF、CKF算法，計算量小，具有較好的跟蹤精度，而且在非線性嚴重或者高階誤差引入時，會推遲或延緩濾波發散，能夠提高精度。

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Non-cooperative space target tracking based on fuzzy iterative square-root cubature Kalman filter

YUE Cong, BO Yu-ming, WU Pan-long, TIAN Meng-chu, CHEN Zhi-min
(School of Automation, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094, China)

In view of the problem that the statistic characteristics of the measurement noise is uncertain in the relative navigation of non-cooperative spacecraft, a fuzzy iterative RMS (root mean square) cubature Kalman filtering algorithm is proposed to realize the relative state measurement of the non-cooperative target. The measurement noise covariance of cubature Kalman filtering is adjusted in real-time by using the fuzzy inference system to make it closer to the real measurement covariance. And a cubature point RMS iteration strategy is utilized to overcome the limitations of the traditional sampling based on Gaussian approximation and improve the filtering precision. Simulation tracking is conducted with different filtering algorithms, and the results show that the improved algorithm can improve the tracking accuracy by 13.17% compared with the standard cubature Kalman filter.

non-cooperative target; cubature Kalman; fuzzy inference system; adaptive filtering; target tracking

TP391.4

：A

1005-6734(2017)03-0395-04

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2017.03.021

2017-04-15；

：2017-06-10

國家自然科學基金（61473153)；江蘇省“六大人才高峰”項目(2015-XXRJ-006)；航空科學基金（2016ZC59006）

岳聰（1989—），女，博士研究生，從事目標跟蹤技術研究。E-mail: cycongyue@hotmail.com

聯 系 人：薄煜明（1965—），男，教授，博士生導師。E-mail: byming@njust.edu.cn