攔截高超聲速飛行器的三維有限時間制導律設計

司玉潔，宋申民

（哈爾濱工業大學 控制理論與制導技術研究中心，哈爾濱 150001）

攔截高超聲速飛行器的三維有限時間制導律設計

司玉潔，宋申民

（哈爾濱工業大學 控制理論與制導技術研究中心，哈爾濱 150001）

由于高超聲速飛行器具有飛行速度快、機動能力強等特點，因此，傳統的制導方式難以保證攔截彈攔截高超聲速飛行器時的制導精度。為了減小彈目相對速度，降低對攔截彈的過載能力要求，按照前向制導方式，設計了有限時間收斂的三維前向滑模制導律。該制導律采用了連續的快速雙冪次趨近律，不僅保證收斂速度快，同時削弱了傳統制導律中存在的抖振現象。在此基礎上為了處理系統擾動的上界未知的問題，又設計了自適應滑模制導律，該制導律既可以處理未知上界的外部擾動又可以保證第一種制導律所具有的良好特性。運用李雅普諾夫穩定性理論對所設計的滑模制導律進行了理論證明，最后，通過數值仿真驗證了所設計制導律的有效性及優越性。

高超聲速飛行器；前向制導；滑模制導律輸入受限；三維導引律；自適應方法

高超聲速飛行器具有飛行速度快、探測難度大、突防能力強等特點，給攔截高超聲速飛行器目標任務帶來了巨大的困難。針對此問題，以往的攔截方式可以劃分為逆軌攔截和順軌攔截兩種類型。當攔截彈速度大于目標速度時通常采用順軌攔截。然而，當目標的速度過大時，這將對攔截彈的性能提出很高的要求，為攔截任務帶來極大的困難。相反的，當目標速度大于攔截彈的速度時，通常采用逆軌攔截，這在一定程度上降低了對攔截彈的速度要求，但增大了彈目相對速度，減小了攻擊區域。在制導律選取方面，傳統的做法大多是基于比例制導(Proportional Navigation,PN)，比例制導又分為經典比例制導律和改進的比例制導律。Tardioli等人[1-2]設計了兩種改進的比例制導律。Yu[3]等人設計了三維純比例制導律并推導了捕獲區域。黃等[4]針對以一定角度攻擊運動目標問題，提出一種采用偏置比例導引的間接撞擊角度控制方法。近年來，滑模控制的提出為制導律設計提供了新的思路，一種基于滑模控制形式的比例制導律被提出[5]。隨著武器事業的迅速發展，高超聲速飛行器在速度以及其他各方面性能均在不斷提升。與高超聲速飛行器目標相比，攔截彈不再具有速度上的優勢，并且提高攔截彈的速度不僅是對各項技術的巨大考驗，還會提高經濟成本。綜上，采用傳統的制導方式以及制導律是很難保證攔截精度的。因此，有效且高精度的制導方式與制導律的提出是迫切需要的。

為了解決上述問題，Golan[6]于2004年第一次提出了攔截高超聲速飛行器的前向制導方法。在該種攔截方式下，導彈和目標的相對速度較小，使得末制導時間相對變長，給攔截彈提供了充分的調整時間，增大了攻擊區域，并且可以解決攔截彈導引頭氣動加熱問題。在文獻[6]中，Golan等給出了前向制導的概念以及需要滿足的條件，并在此基礎上設計了二維滑模制導律。在文獻[7-8]中，基于前向制導設計了滑模制導律，但是該文章并沒有考慮三維場景，然而在實際中，攔截場景是三維的。大多數文獻在建模過程中不考慮耦合項，直接將三維模型分解為相互正交的二維模型，并分別根據二維模型設計制導律，這在很大程度上限制了制導律實際應用范圍。文獻[9-10]提出了考慮系統動態特性的直接力氣動力復合的三維制導律。但文獻[9]與[10]均將外部擾動上界視作是已知的，然而，外部擾動通常是不能被精確測量或估計的。

高超聲速飛行器飛行速度快，導致末制導階段時間較短，因此，快速收斂的制導律是迫切需要的。有限時間制導律的提出使得末制導段時間短的問題得到了很好解決。文獻[11]根據有限時間收斂控制理論，應用滑模控制方法設計了一種考慮導彈自動駕駛儀二階動態特性的有限時間收斂導引律，該制導律的最終表達式中不含有視線角速率的高階導數，更易于實際應用。文獻[12-14]給出了有限時間收斂的滑模制導律。文獻[15]給出了一種帶有攻擊角約束的二維自適應終端滑模制導律。文獻[16]提出了一種三維自適應滑模制導律。然而文獻[11-16]針對的均是非機動目標或者是非高超聲速目標進行制導律設計的，并且該類文獻在采用所設計的制導律時要求攔截彈的速度高于目標速度，這對攔截導彈的性能提出了很高的要求。

本文以攔截高超聲速飛行器目標為背景，進行了三維制導律的設計。根據以上分析，采取了前向制導方式，這在一定程度上降低了對攔截彈的自身速度要求，并降低了彈目相對速度，增大了攻擊區域。考慮到高超聲速目標速度過大導致的末制導段時間較短，設計了有限時間制導律，并通過選取連續的快速雙冪次趨近律使得所設計制導律為連續的有限時間制導律，這在一定程度上削弱了抖振現象。同時考慮到外部擾動的上界往往是未知的或者是很難被精確測量的，又設計了有限時間收斂的自適應滑模制導律。

1 問題描述

如圖1，前向制導過程[6]分為三個階段：逼近段、變軌段、末制導攔截段。發射攔截彈后，首先導引攔截彈接近目標，并在目標前方的適當位置進行逆向變軌，然后保持攔截彈在目標前方進行低于目標速度同向飛行，根據目標的運動情況，攔截彈做出相應的機動逐漸接近目標的飛行軌道，最終在目標飛行軌道上與目標發生碰撞摧毀目標，達到攔截目的。該方法能夠降低彈目接近速度，使得攔截彈有充分時間進行觀察調整，增大了攻擊區域，并且可以解決攔截彈導引頭氣動加熱問題。而本文的目的是在末制導攔截段設計快速收斂的制導律，導引攔截彈接近并最終到達導彈目標飛行軌道，到達后與目標保持同向飛行，最終成功攔截目標。

圖1 高超聲速飛行器攔截示意圖Fig.1 Schematic of intercepting a hypersonic vehicle

圖2 三維幾何示意圖Fig.2 Three-dimensional engagement geometry

文獻[6]給出了二維前向制導模型，并沒有研究三維前向制導問題。根據前向制導攔截方式，三維的彈目相對運動幾何關系如圖2所示，圖中：T為高超聲速目標飛行器，M為攔截彈，為參考坐標系，T- XTYTZT為目標速度坐標系，M- XmYmZm為攔截彈速度坐標系[17]；Vt和Vm分別是目標的速度和攔截彈的速度，在本文中目標和導彈保持常速飛行，并且攔截彈的速度始終小于目標的速度；θL和φL分別是視線關于參考坐標系的仰角和方位角；θt和φt是目標速度矢量關于視線坐標系的方向角，即目標速度矢量前置角；θm和φm是攔截彈的速度關于視線坐標系的方向角，也即攔截彈速度矢量前置角；ayt和azt是目標的加速度，aym和azm是攔截彈的加速度。以末制導段目標的初始位置為參考坐標系原點建立三維攔截高超聲速飛行器的彈目相對運動學模型[17]，如下：

根據文獻[6]，在末制導階段，為了使得攔截彈按照前向制導方式成功攔截目標，不僅需要在攔截點滿足R=0，還需要攔截彈和目標的方向一致，也即：

前向制導攔截方式是使得攔截彈在攔截點滿足

式(8)和(9)，根據文獻[6]，為了滿足該條件，在設計過程中要求如下公式成立：

其中，n1和n2均是大于1的常數。式(10)和(11)保證了θm和φm隨著θt和φt衰減而衰減。

引理1[6]：如果制導過程中系統(1)～(7)滿足式(10)和(11)這兩個公式時，則可以成功攔截目標。

根據文獻[6]以及引理1分析可得，本文的主要目的是設計有限時間制導律使得系統在有限時間內滿足制導條件(10)和(11)。

2 制導律設計

本部分的目的是設計滑模制導律，其過程分為兩個階段。第一階段：設計制導律使得系統狀態由任意初始狀態向滑模面等于零運動。第二階段：系統狀態進入滑模面并沿著滑模面運動，也即滑動模態，此時的設計任務是使滑動模態具有期望的性能。而本文所設計滑模制導律在第一階段使得系統收斂到前向制導條件，根據文獻[6]，第二階段按照前向制導條件即可使得系統狀態收斂到零。因此本文主要關于第一階段進行設計。首先給出即將用到的引理。

2.1 基礎知識

2.2 基于快速雙冪次趨近律的滑模制導律設計

20世紀80年代，高為炳[20]提出了趨近律的概念，并設計了單冪次趨近律：

其中：h1＞0；h2＞0；α＞1；0＜β＜1。雙冪次趨近律的優點是削弱抖振現象，缺點是收斂速度較慢。

快速雙冪次趨近律是指數趨近律和雙冪次趨近律的線性結合，既能削弱抖振現象，又能提高收斂速度，其方程如下：

其中：h1＞0；h2＞0；α＞1；0＜β＜1；k＞0。當系統遠離滑模面時，和-ks起主要作用；當系統靠近滑模面時，和-ks起主要作用。-ks在分界點處可以緩解分界點的不連續性，削弱系統的抖振現象，同時可以加快收斂速度。

為了滿足前向制導條件(10)(11)，選取滑模面(22)：

從式(22)可得，當S=0時，滿足前向制導條件(10)(11)。因此，僅需設計可以保證滑模面在有限時間內收斂的制導律，根據引理1即能成功攔截目標。

對滑模面沿著系統軌線(16)(17)進行求導可得：

綜合以上分析，結合趨近律(24)以及式(23)設計快速雙冪次趨近律制導律為式(25)：

注1：從定理1的結論可得，滑模面在有限時間內收斂，并能收斂到一個小的鄰域內，該鄰域如式(28)所示。從式(28)可得，該鄰域大小與參數n、h1、h2、、β以及干擾上界m有關。當選取n=2，m=0.3時（α＞1，為了便于畫圖，圖4僅選取了10≥α＞1），的數值大小分別隨著β、的變化如圖3、圖4所示。從圖中不難看出，的數值分別隨著β、的增大而增大，分別隨著h2、h1的增大而減小。因此，可以通過改變參數對滑模面的收斂區域進行有效調節在合理的范圍內。

2.3 自適應滑模制導律設計

在定理1中，滑模面僅能收斂到一個小的鄰域內，并且該鄰域的形式如式子(28)所示，其大小跟干擾上界是有關系的。因此，對系統的外部擾動M的上界進行了假設，即，且m為一已知正常數。然而，M包含目標的加速度以及角度信息，其上界通常是不能被精確測量或估計的。另外，定理1不能保證滑模面有限時間收斂到零，而僅僅保證收斂到零的一個小的鄰域內。為了解決這些問題，下面將設計魯棒自適應滑模制導律，該制導律可以保證在上界未知的情況下使得滑模面(22)有限時間內收斂到零。由于具有上界，且，因此均是有界的，假設。

圖3 (nm h2)β-1的數值曲線圖Fig.3 Numerical curves of (nm h2)β-1

圖4 (nm h1)α-1的數值曲線圖Fig.4 Numerical curves of (nm h1)α-1

滑模面的導數為：

然后，設計自適應制導律對ε1與ε2進行估計，設，假設ε1與ε2的估計值分別為，并且設，誤差值為與。

根據快速雙冪次趨近律以及滑模面(29)設計快速雙冪次趨近律自適應制導律(30)：

定理2：針對系統(1)～(7)，在外部干擾有界，但上界未知的情況下，利用制導律(30)可以使得滑模面(22)在有限時間內收斂到零，即該系統可以在有限時間內滿足前向制導條件(10)(11)。

根據引理2可得滑模面S是有限時間收斂的。定理2的結論得證。

注2：本文所設計的制導律(25)和(30)采用了快速雙冪次趨近律，該趨近律相較于雙冪次趨近律多了一項-k S，使得證明過程中成立，而雙冪次趨近律僅能保證成立，故從理論上可以證明快速雙次冪趨近律可以加快收斂速度。

注3：本文針對攔截高超聲速飛行器設計了有限制導律，與傳統攔截制導律不同之處在于，本文所設計制導律是通過保證攔截彈的前置角與目標的前置角保持一定的倍數，然后隨著目標的前置角減小而減小直至為零從而攔截目標，并且相對于傳統的制導律，在一定程度上加快了收斂速度，削弱了抖振。

3 數字仿真

為了驗證制導律的有效性，在本部分進行了仿真驗證。首先給出系統模型的初始化參數，彈目初始相對距離為5000 m，目標的初始位置為(0 m, 0 m, 0 m)，攔截彈的初始位置為(4816.4 m, 1023.8 m, -868.2 m)，視線角初始值為θL=-10°和φL=-12°，導彈的初始前置角為θm(0)=-20°和φm(0)=-15°，導彈的初始前置角θt=-20°和φt=-15°。導彈的速度為1500 m/s，目標的速度為2100 m/s，目標的加速度為2 g。

3.1 制導律U1的仿真驗證

制導律(25)中的參數為：k=10，h1=5，h2=1，。

為了驗證制導律的優越性，選取比例導引律（PNGL）、指數趨近律制導律[21]以及雙冪次趨近律制導律[22]作比較，其中比例導引律的導航比選取為35。指數趨近律制導律即采用指數趨近律(19)，其具體形式如下：

其中，h=0.2，其他參數選取與制導律(25)相同。

雙冪次趨近律制導律即采用雙冪次趨近律(20)，其具體形式如下：

其中，參數選取與制導律(25)相同。

仿真結果如圖5～11所示。圖5給出了在分別應用比例導引律PNGL、指數趨近律制導律U3、雙冪次趨近律制導律U4以及快速雙冪次趨近律制導律U1的情況下，目標和攔截彈的位置變化信息。從圖中可以看出，四種制導律均可以保證成功攔截目標，并且，采用U3、U4和U1時導彈飛行軌跡相似，采用PNGL時導彈的飛行軌跡卻大不相同。圖6是攔截彈與目標之間的相對距離R，從圖中可以看出，應用四種類型制導律的情況下，R均可在8 s之內收斂到零，但采用PNGL，攔截時間明顯較長。圖7給出了在四種制導律的情況下滑模面s1的變化曲線，從圖中可以看出：與U4相比，在U1的作用下，s1收斂速度較快；應用U3的情況下，滑模面會出現嚴重的抖振現象，相反的，采用U1的情況下滑模面的曲線良好。因此，U1既加快了收斂速度又削弱了抖振現象。圖8是滑模面s2的變化曲線，情況與圖7類似。圖9給出的是θm和θt的變化曲線，從圖中可以看出：在應用U3與U1的情況下，大約3 s之后，θm保持為2倍的θt，并隨著θt收斂到零；在應用U4情況下，θt收斂相對較慢；然而，比例導引律無法保證相同的性能。同樣的，圖10給出了φm和φt的曲線，情況與圖9類似，不再贅述。圖11為導彈加速度曲線圖：在應用U3、U4以及U1的情況下，三者對導彈的過載能力要求相似，但U3會導致嚴重的抖振現象。

圖5 相對運動軌跡Fig.5 Relative movement trajectory

圖6 彈目相對距離RFig.6 Relative distance R between target and missile

圖7 滑模面(s1)Fig.7 Sliding mode surface (s1)

圖8 滑模面(s2)Fig.8 Sliding mode surface (s2)

圖9 φm和φt的變化曲線Fig.9 Curves of φmand φt

圖10 θm和θt的變化曲線Fig.10 Curves of θmand θt

圖11 導彈加速度Fig.11 Missile acceleration profiles

綜合以上分析，采用U1，既能保證收斂速度，又能削弱指數趨近律制導律U3帶來的較大的抖振現象。

3.2 制導律U2的仿真驗證

制導律(30)參數選擇為k=10，h1=5，h2=1，，自適應率中的參數選擇為δ=2.1。

同樣的，為了驗證制導律的優越性，仍然選取比例導引律（PNGL）、指數趨近律自適應制導律[21]以及雙冪次趨近律自適應制導律[21]作比較，其中比例導引律的導航比選取為35。指數趨近律自適應制導律即采用指數趨近律(19)，其具體形式如下：

其中，h=0.2，其他參數選取與制導律(30)相同。

雙冪次趨近律自適應制導律即采用雙冪次趨近律(20)，其具體形式如式(39)所示：

圖12 彈目運動軌跡（比例導引律）Fig.12 Relative movement trajectory (PNGL)

其中，參數選取與制導律(30)相同。

仿真結果如圖12～19。圖12給出了分別應用比例導引律PNGL、指數趨近律自適應制導律U5、雙冪次趨近律自適應制導律U6以及快速雙冪次趨近律自適應制導律U2的情況下，目標和攔截彈的位置信息，四種制導律均能保證成功攔截。圖13是攔截彈與目標之間的相對距離R。圖14～15給出的是滑模面s1和s2的曲線信息。圖16給出的是θm和θt的變化曲線。相似的，圖17給出了φm和φt的曲線，圖18是導彈加速度曲線。圖12～18中，應用四種制導律情況下，曲線變化對比結果與圖5～11的情況類似，U2快速雙冪次趨近律制導律仍然具有收斂速度快與抗抖振的優點，這里不再一一贅述。圖19給出的是自適應值曲線，從圖中可以看出，三種情況下均可在有限時間內收斂到一定的數值，并且數值近似。

從圖12～19比較可知，對于目標信息未知的情況下，U2的優越性能依然有效，U2與U5、U6相比，既保證了收斂速度，又能削弱抖振現象，驗證了本文所提出方法的有效性及優越性。

圖13 彈目相對距離RFig.13 Relative distance R between target and missile

圖14 滑模面(s1)Fig.14 Sliding mode surface (s1)

圖15 滑模面(s2)Fig.15 Sliding mode surface (s2)

圖16 φm和φt的變化曲線Fig.16 Curves of φmand φt

圖17 θm和θt的變化曲線Fig.17 Curves of θmand θt

圖18 導彈加速度Fig.18 Missile acceleration profiles

圖19 自適應數值Fig.19 Adaptive values

4 結 論

本文針對高超聲速飛行器的攔截問題，利用前向制導方法，對以下問題進行了深入研究：

1）為了更符合實際，建立了三維前向制導系統模型；

2）針對擾動上界未知的情況，設計了有限時間收斂到前向制導條件的滑模制導律，既保證了快速收斂，又削弱了抖振現象，并對收斂域做出了數值分析；

3）針對擾動上界未知的情況，設計了有限時間收斂的自適應滑模制導律；

4）進行了仿真驗證，驗證了所設計制導律的有效性和優越性。

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Design of three-dimensional finite-time guidance law for intercepting hypersonic vehicle

SI Yu-jie, SONG Shen-min
(Center for Control Theory and Guidance Technology, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China)

Traditional guidance method is difficult to ensure the interceptor’s guiding accuracy in intercepting a hypersonic vehicle due to the vehicle’s fast flight speed and high maneuverability. To reduce the relative velocity between the target vehicle and the interceptor, and lower the overload requirement of the interceptor, a three-dimensional head-pursuit sliding mode guidance law is presented. The guidance law adopts continuous fast double-power reaching law, which can ensure the convergence speed and weaken the chattering phenomenon caused by traditional guidance laws. Based on these, a three-dimensional head-pursuit adaptive sliding mode guidance law is designed to deal with the problem of unknown upper bound of the external disturbance. The guidance law can not only deal with this problem, but also can ensure the good characteristics of the first controller. The sliding mode guidance laws are proved by the theoretical perspective based on Lyapunov stability theory. Finally, the correctness and effectiveness of the methods are verified by numerical simulation.

hypersonic vehicle; head pursuit; sliding mode guidance law; three dimensional guidance law;adaptive method

V448.133

：A

1005-6734(2017)03-0405-10

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2017.03.023

2017-02-04；

：2017-05-22

國家自然科學基金（61333003）；國家自然科學基金創新群體項目（61021002）

司玉潔（1989—），女，博士研究生，研究方向為高超聲速飛行器攔截，制導與控制。E-mail: siyujiehit@126.com

聯 系 人：宋申民（1968—），男，教授，博士生導師，研究方向為非線性系統的穩定性分析、魯棒控制、導彈制導與飛行器控制。E-mail: songshenmin@hit.edu.cn