考慮載荷變化的準零剛度隔振器動態特性*

程 春，李舜酩，王 勇，江星星

(南京航空航天大學能源與動力學院 南京，210016)

考慮載荷變化的準零剛度隔振器動態特性*

程 春，李舜酩，王 勇，江星星

(南京航空航天大學能源與動力學院 南京，210016)

為了研究載荷變化對準零剛度隔振器動態特性及隔振性能的影響，首先,分析具有分段非線性特性的準零剛度隔振器靜力學特性;其次，引入光滑函數，應用增量諧波平衡法得到準零剛度隔振器的周期解，分析載荷與激勵幅值對隔振器動態特性的影響；最后，定義準零剛度隔振器的力傳遞率，分析載荷與激勵幅值對其隔振性能的影響。研究結果表明：當激勵幅值較大時，載荷變化會導致響應的常數項在共振區附近出現交叉折疊的現象；載荷與激勵幅值的變化會改變隔振系統的共振頻率、傳遞率峰值以及有效隔振頻帶,但該準零剛度隔振器的隔振性能仍優于線性隔振器。

隔振器； 準零剛度； 分段非線性； 增量諧波平衡法

引 言

筆者建立準零剛度隔振器模型，將系統恢復力展開成五階泰勒級數來提高分析的可靠性。由于傳統解析法無法得到系統的周期解，應用增量諧波平衡法求解系統在力激勵下的響應并分析載荷變化對系統動力學特性的影響。分析準零剛度隔振器的力傳遞率，并與線性隔振器進行比較。

1 準零剛度隔振器模型

具有分段非線性的準零剛度隔振器示意圖如圖1所示。豎直彈簧的剛度為kv，主要用于支撐載荷m。凸輪滾輪彈簧裝置由半圓形凸輪、自由運動的滾輪以及水平彈簧組成，凸輪與滾輪的半徑分別為r2和r1，水平彈簧的剛度為kh。x為載荷從靜平衡位置開始的位移。隔振系統的阻尼為線性黏性阻尼，阻尼系數為c。系統受到垂向簡諧力激勵fe=Fecosωt，其中：Fe和ω分別為激勵幅值和頻率。當準零剛度隔振器工作時，滾輪沿著凸輪表面上下滾動，水平彈簧則沿著水平方向運動并為隔振器在豎直方向提供負剛度。隔振器的剛度是否表現出分段非線性取決于激勵幅值的大小。

圖1 準零剛度隔振器示意圖Fig.1 Schematic diagram of the QZS vibration isolator

當激勵幅值較小時，系統振幅小于臨界位移xc，滾輪僅沿凸輪表面運動，如圖2(a)所示。隔振系統的恢復力與位移之間的關系為

(1)

圖2 凸輪滾輪在不同狀態下的受力分析圖Fig.2 Schematic diagrams of static analysis of cam and roller in different states

恢復力可以表示為

(2)

當激勵幅值較大時，系統振幅大于臨界位移xc，則滾輪可能脫離凸輪表面，如圖2(c)所示。此時載荷僅由豎直彈簧支撐，故恢復力為

f(x)=kvx

(3)

將式(2),(3)寫成無量綱的形式

(4)

(5)

將u=0代入式(5)，得到系統在靜平衡位置處的無量綱剛度為

ks=1-2βδ

(6)

若系統在靜平衡位置處的剛度為零，則可以實現準零剛度特性。令ks=0，得到準零剛度條件

(7)

系統在uc=0.6，β=1時，無量綱力-位移及剛度-位移曲線隨δ的變化規律如圖3所示。可以看出，靜平衡位置的剛度隨著δ的增大而減小。當δ=δqzs時，靜平衡位置的剛度為零，系統實現準零剛度特性。若δ繼續增加，靜平衡位置附近的剛度將小于零，系統變得不穩定，這在工程實際中是不允許出現的。筆者選擇δ=δqzs。

圖3 無量綱力-位移及剛度-位移曲線(uc=0.6,β=1)Fig.3 Non-dimensional force-displacement and stiffness-displacement curves (uc=0.6,β=1)

h(u)=λu+γ1u3+γ2u5

(8)

(9)

完整的無量綱恢復力近似表達式為

(10)

無量綱恢復力的精確表達式(4)與近似表達式(10)的對比曲線如圖4所示。可見，近似曲線與精確曲線具有較好的一致性，只在分段點處誤差較大。

圖4 無量綱恢復力精確表達式與近似表達式對比曲線(δ=0.5,β=1,σ=50)Fig.4 Comparison of the exact and approximate non-dimensional restoring force curves (δ=0.5,β=1,σ=50)

2 增量諧波平衡法

額定載荷為m，載荷變化后為m2，載荷變化后系統的運動微分方程為

(11)

引入如下無量綱參數

將以上無量綱參數代入式(11)，并將恢復力用近似表達式代替，則式(11)可以改寫為

(12)

對具有一般形式的非線性系統

(13)

增量諧波平衡法的第1步為增量過程：令u0和Ω0為系統某一時刻的解，其鄰近的狀態可以表示成增量的形式

(14)

將式(14)代入式(13)并按泰勒級數展開，忽略高階小量，得到增量方程為

(15)

設u和Δu的形式為

其中：N為解中包含的諧波項數；ai，bi，Δai及Δbi分別為各諧波項的傅里葉系數。

第2步為諧波平衡過程：應用伽遼金平均過程，式(15)轉變為

(18)

將式(16)和(17)代入式(18)，得到2N+1個關于Δai和Δbi的線性代數方程為

R=CΔa+QΔΩ

(19)

為了方便迭代計算，利用頻率Ω作為控制變量，每個迭代過程中Ω保持為常量，即ΔΩ=0，得到迭代方程為

(21)

其中：ε1，ε2為給定誤差。

3 計算結果

周期解包含的諧波項數N越大，則計算精度越高，但耗費時間越長。N過小則計算精度無法滿足，故參考文獻[15]選擇N=12。其他參數為： 亞諧階數v=1，δ=0.5，β=1，uc=0.6，us=0.1，σ=50，ζ=0.02，ε1=ε2=10-6。增量諧波平衡法結合路徑跟蹤法[17]得到完整的幅頻曲線。

μ=1.1，f1=0.04，Ω=0.6925時響應的時間歷程如圖5所示。其中：umax為響應的最大幅值；umin為響應的最小幅值。可以看出，載荷變化時umax與umin的絕對值不相等。μ=1.1，f1=0.04時準零剛度隔振器的幅頻響應曲線如圖6所示。其中：A0為常數項，幅值Amax=umax-A0，Amin=umin-A0。數值解1為未引入光滑函數時采用龍格-庫塔法求解得到的數值解，數值解2為引入光滑函數求解得到的數值解。可以看出,兩數值解之間吻合的較好，并與IHB法結果一致，表明引入光滑函數及使用IHB法求解的合理性。

圖5 響應的時間歷程(μ=1.1,f1=0.04,Ω=0.692 5)Fig.5 Time history of the response(f1=0.005,μ=1.1,Ω=0.278 5)

圖6 準零剛度隔振器幅頻響應曲線 (μ=1.1,f1=0.04)Fig.6 Amplitude-frequency curves of QZS vibration isolator (μ=1.1,f1=0.04)

圖7 不同載荷時的幅頻曲線 (f1=0.005)Fig.7 Amplitude-frequency curves for various loads (f1=0.005)

當激勵幅值較大時(f1=0.03)，凸輪與滾輪會周期性地接觸和分離，載荷的變化對系統共振頻率及動力學響應的影響如圖8所示，表現出復雜的動態特性。過載情況下A0在剛度轉變點附近出現負值，輕載時結果相反。A0在共振區域附近出現交叉折疊的現象，這與連續系統的動力學響應不同[13]。另外，隨著載荷的增加，共振頻率逐漸向低頻移動；Amax的峰值隨之增加，Amin的最小值則相應減小。

μ=1.1時，激勵幅值對系統共振頻率及動力學響應的影響如圖9所示。隨著激勵幅值的增大，A0在共振區域附近先是出現負值再逐漸產生交叉折疊的現象；Amax的峰值隨之增大，Amin的最小值則相應地減小；共振頻率先是快速向高頻移動，然后緩慢趨向于1，而共振區域則趨向于線性系統。

4 力傳遞率

現有大多數研究中非線性隔振系統的傳遞率是根據線性振動理論來定義的[8-10]，即假設周期解中包含的諧波項數只有一個且響應頻率與激勵頻率相同。但是當周期解中包含多個諧波項時，線性系統所定義的傳遞率不再適用。非線性隔振器的力傳遞率定義[18]為

圖8 不同載荷時的幅頻曲線 (f1=0.03)Fig.8 Amplitude-frequency curves for various loads (f1=0.03)

圖9 不同激勵幅值下的幅頻曲線 (μ=1.1)Fig.9 Amplitude-frequency curves for various excitation amplitude (μ=1.1)

(22)

圖10為f1=0.005時載荷的變化對隔振系統力傳遞率的影響。可以看出：過載情況下，隨著載荷的增加，力傳遞率曲線逐漸向左彎曲并向高頻移動；起始隔振頻率隨之增加，有效隔振頻帶相應地減小，隔振頻帶內的傳遞率增加；力傳遞率峰值也相應地增大。輕載情況下同樣會減小系統的有效隔振頻帶。雖然載荷變化導致準零剛度隔振器的隔振性能變差，但總體性能仍優于線性隔振器，因為準零剛度隔振器仍然具有更寬的隔振頻帶和更低的傳遞率峰值。

圖10 不同載荷時的力傳遞率 (f1=0.005)Fig.10 Force transmissibility for various loads (f1=0.005)

圖11 不同載荷時的力傳遞率 (f1=0.03)Fig.11 Force transmissibility for various loads (f1=0.03)

當激勵幅值增加到f1=0.03時，載荷的變化對系統力傳遞率的影響如圖11所示。可以看出，力傳遞率曲線比較復雜，主要由上下兩支構成。隨著載荷的增加，傳遞率峰值隨之增大，共振頻率向低頻移動。過載情況下，下支曲線有效隔振頻帶內的傳遞率隨載荷的增加而增大；輕載情況也會導致有效隔振頻帶內的傳遞率增大，但明顯具有比線性隔振器更低的傳遞率。因此當激勵頻率大于系統的向下跳躍頻率時，系統便能起到隔振效果。顯然準零剛度隔振器仍有著比線性隔振器更寬的隔振頻帶，傳遞率峰值則與線性隔振器相當，并無明顯地增加。

圖12 不同激勵幅值下的力傳遞率 (μ=1.1)Fig.12 Force transmissibility for various excitation amplitude (μ=1.1)

μ=1.1時激勵幅值對系統力傳遞率的影響如圖12所示。可以看出：隨著激勵幅值的增加，準零剛度隔振器的共振頻率先是迅速增加，然后緩慢趨向于1，曲線在共振區域趨向于線性系統；傳遞率峰值先迅速增加然后逐漸與線性系統相當；起始隔振頻率隨著激勵幅值的增加而增大，隔振性能變差。值得注意的是，即使激勵幅值很大(f1=0.08)，準零剛度隔振器的性能仍要優于線性隔振器，因為有著較寬的隔振頻帶而傳遞率峰值則與線性系統相當。

5 結 論

1) 激勵幅值較小時，增加載荷導致共振頻率先減小再向高頻移動，載荷變化量增加使系統由漸硬特性向漸軟特性轉變。激勵幅值較大時，響應的常數項在共振區域附近出現交叉折疊的現象，共振頻率隨載荷的增加向低頻移動。增大激勵幅值使系統共振頻率向高頻移動并趨向于1，共振區域趨向于線性系統。

2) 激勵幅值較小時，載荷變化導致系統力傳遞率曲線向高頻移動，有效隔振頻帶變窄，隔振效果變差。激勵幅值較大時，載荷的增加使系統的共振頻率減小，傳遞率峰值緩慢增加。增加激勵幅值導致有效隔振頻帶變窄，傳遞率峰值增加。

3) 載荷變化和激勵幅值的增加均會導致準零剛度隔振器的隔振性能變差，但是與線性隔振器相比仍具有更寬的隔振頻帶。因此該準零剛度隔振器的隔振性能仍要優于線性隔振器。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2017.04.017

* 機械結構強度與振動國家重點實驗室開放課題資助項目(SV2015-KF-01)；中央高校基礎研究基金資助項目(XZA15003)；江蘇省研究生培養創新工程資助項目(KYLX15_0256)

2015-11-07；

2015-12-03

TH113.1； TB535； O322

程春，男，1991年1月生，博士生。主要研究方向為非線性振動分析與控制。曾發表《On the analysis of a piecewise nonlinear-linear vibration isolator with high-static-low-dynamic-stiffness under base excitation》(《Journal of Vibroengineering》2015，Vol.17,No.7)等論文。 E-mail:chengchun987@163.com