波形鋼腹板PC簡支箱梁橋的扭轉振動頻率分析*

冀 偉，藺鵬臻，鄧 露，劉世忠，李愛軍

(1．蘭州交通大學土木工程學院 蘭州，730070)(2．湖南大學土木工程學院 長沙，410082)

波形鋼腹板PC簡支箱梁橋的扭轉振動頻率分析*

冀 偉1，藺鵬臻1，鄧 露2，劉世忠1，李愛軍1

(1．蘭州交通大學土木工程學院 蘭州，730070)(2．湖南大學土木工程學院 長沙，410082)

為精確計算波形鋼腹板預應力混凝土(prestressed concrete,簡稱PC)簡支箱梁橋的扭轉振動頻率，在考慮箱梁自由扭轉扭矩與約束扭轉扭矩的基礎上，運用D′Alembert 原理推導了波形鋼腹板PC箱梁橋的扭轉振動頻率方程，給出了與該橋型扭轉振動頻率求解相關的極慣性矩、扭轉常數及扇形慣性矩的計算方法，并根據簡支梁的邊界條件求得了該橋型扭轉振動頻率的計算公式。制作了波形鋼腹板PC簡支試驗梁，對其進行了動力特性測試獲得自振頻率和振型，在建立試驗梁的ANSYS有限元模型時提出波形鋼腹板與混凝土翼板實現剛性連接的方法，結合試驗梁的實測值和有限元計算值驗證了波形鋼腹板PC簡支箱梁橋扭轉振動頻率計算公式的正確性。分析了自由扭轉扭矩和約束扭轉扭矩單獨作用時對波形鋼腹板PC簡支箱梁橋扭轉振動頻率的影響，研究表明，約束扭轉扭矩對其扭轉振動頻率的影響較大，而自由扭轉扭矩對其扭轉振動頻率的影響很小。

波形鋼腹板；組合箱梁；扭轉振動頻率；模型試驗；有限元分析

引 言

波形鋼腹板PC箱梁橋是一種新型的鋼-混組合橋梁結構，其特點是以10mm左右厚的波形鋼腹板取代30～80mm厚的混凝土腹板[1]，通過體內和體外預應力筋對梁體施加預應力。該橋型大幅度減輕了梁體的自重，提高了梁體的預應力施加效率。由于波形鋼腹板的特殊構造，其抗剪強度較平腹鋼板有較大提高。由于該橋型具有諸多優點，在國內外橋梁建設中得到了廣泛應用。

目前，國內外學者對波形鋼腹板I型鋼梁和波形鋼腹板PC箱梁橋靜力學性能方面的研究較多。Hassanein等[2]研究了波形鋼腹板I型鋼梁的剪切屈曲性能。Oh等[3]研究了波形鋼腹板的手風琴效應對其力學性能的影響。Jáger等[4]研究了波形鋼腹板I型鋼梁在彎矩、剪力及局部荷載作用下的力學行為。K?vesdi等[5]研究了波形鋼腹板I型鋼梁翼緣板的應力分布。Lee等[6]研究了體外預應力筋的布置、焊接方式及剪力連接件對波形鋼腹板I型組合梁結構性能的影響。江克斌等[7]研究了波形鋼腹板PC箱梁在扭轉作用下的力學行為。劉保東等[8]對波形鋼腹板PC箱梁橋的撓度計算問題進行了分析。聶建國等[9]研究了波形鋼腹板剪切變形對波形鋼腹板組合梁力學行為的影響。文獻[10-11]雖然在波形鋼腹板PC箱梁橋動力特性方面取得一些研究成果，但主要針對其彎曲振動特性，對扭轉振動特性方面的研究相對滯后[12]。文獻[12]并未給出與波形鋼腹板PC箱梁扭轉振動頻率計算相關的極慣性矩、扭轉常數及扇形慣性矩的計算方法。波形鋼腹板PC箱梁橋以波形鋼板作為其腹板，相對傳統的PC箱梁其腹板較薄，抗扭剛度受到較大削弱，使得該橋型在動力荷載作用下的扭轉振動處于不利狀態。因此，對波形鋼腹板PC箱梁橋的扭轉振動進行研究具有現實意義。

為精確計算波形鋼腹板PC箱梁橋的扭轉振動頻率，筆者給出了與其扭轉振動頻率計算相關的極慣性矩、扭轉常數及扇形慣性矩的計算方法。在考慮箱梁自由扭轉扭矩和約束扭轉扭矩的基礎上，運用D′Alembert原理推導了波形鋼腹板PC箱梁橋扭轉振動的頻率方程。為求得波形鋼腹板PC簡支箱梁橋扭轉振動頻率方程的解，根據其邊界條件得到扭轉振動頻率方程的特解，將特解代入扭轉振動頻率方程，獲得波形鋼腹板PC簡支箱梁橋扭轉振動頻率的計算公式，模型試驗和有限元方法也驗證了計算公式的正確性。

1 箱梁的扭轉振動理論

為分析箱梁的扭轉振動，取如圖1所示的箱梁和坐標系，箱梁的壁厚為t，在扭矩T作用下，距離梁端x處的箱梁截面發生扭轉角φ時，得到其微元體dx的受力圖[13]，如圖2所示。

圖1 梁的坐標系及扭轉角示意圖Fig.1 Coordinate system and torsion rotation angle of the girder

圖2 梁的微元體受力示意圖Fig.2 Force acting on the element

根據微元體受力圖，運用D′Alembert原理得到箱梁扭轉振動的平衡方程為

(1)

其中：T為梁所受的扭矩；φ為梁截面的扭轉角；ρ為梁的質量密度；Ip為梁截面的極慣性矩。

化簡式(1)可得

(2)

在一般情況下，薄壁桿件受扭后，桿件輪廓線上各點不僅在平面內產生相對位移，而且出平面產生翹曲(凹凸)。使桿件輪廓線上各點自由翹曲的扭轉稱作自由扭轉或圣維南扭轉，若其橫截面的縱向翹曲受到約束(或阻礙)，此類扭轉稱為約束扭轉[14]。如圖3所示的簡支箱梁，邊界條件一端為固定鉸支座，另一端為活動鉸支座。

圖3 簡支梁的邊界條件Fig.3 Boundary conditions of simply supported beam

當簡支箱梁發生扭轉振動時，其橫截面的縱向翹曲受到約束，會同時產生自由扭轉扭矩Mt和約束扭轉扭矩Mω[14]，計算公式分別為

(3)

(4)

其中：E和G分別為材料的彈性模量和剪切模量；It和Iw分別為截面的扭轉常數和扇形慣性矩。

總扭矩T為自由扭轉扭矩Mt和約束扭轉扭矩Mω的代數和[14]，可表示為

(5)

將式(5)代入式(2)，得到箱梁考慮自由扭轉和約束扭轉的振動方程為

(6)

設扭轉振動曲線φ(x,t)為

(7)

將式(7)代入式(6)，可得

(8)

振型函數的解[15]可表達為

C3sinh(λx)+C4cosh(λx)

(9)

其中：C1，C2，C3，C4和特征值λ(相應于自振頻率ω)由梁的邊界條件確定。

簡支梁的邊界條件為

(10)

滿足邊界條件的一個特解為

(11)

將式(11)代入式(8)，得到簡支箱梁扭轉振動頻率的計算公式為

(12)

2 波形鋼腹板PC箱梁扭轉截面特性

2.1 波形鋼腹板的構造與剪切模量修正

波形鋼腹板的構造如圖4所示，波形鋼腹板剪切模量的計算值與其波形的幾何形狀有關[16]，其剪切模量Gs的計算公式為

(13)

其中：α=(L1+L2)/(L1+L3)為剪切模量的修正系數；Es與vs分別為鋼材的彈性模量和泊松比；L1，L2與L3分別為平板長度、斜板投影長度及斜板長度。

圖4 波形鋼腹板的尺寸示意圖Fig.4 Dimension of corrugation profile

2.2 波形鋼腹板PC箱梁扭轉常數計算

波形鋼腹板PC箱梁由波形鋼腹板與混凝土上、下翼板構成，其扭轉常數的計算需要同時考慮兩種不同性質材料的組合，如圖5所示。文獻[1]給出波形鋼腹板PC箱梁扭轉常數的計算公式，分別為

(14)

α=0.400h1/b1-0.060

(15)

圖5 波形鋼腹板PC箱梁扭轉常數的計算參數Fig.5 Calculation parameters of torsion constant for the PC box girder with corrugated steel webs

文獻[1]計算波形鋼腹板PC箱梁扭轉常數時，未考慮箱梁上翼板懸臂段對扭轉常數的貢獻(如圖5所示的b2)。筆者對文獻[1]提出的扭轉常數計算公式進行了修正，考慮了箱梁懸臂段對扭轉常數的貢獻，即

(16)

2.3 波形鋼腹板PC箱梁的極慣性計算

波形鋼腹板PC箱梁的極慣性矩Ip的計算需要同時考慮兩種不同性質材料的組合，計算方法如式(17)所示。式(18)，(19)分別為混凝土翼板和波形鋼腹板的極慣性矩Ipc，Ips的計算公式

其中：Ec為混凝土的彈性模量；Ixc和Ixs分別為混凝土翼板和波形鋼腹板的對x軸的慣性矩；Iyc和Iys分別為混凝土翼板和波形鋼腹板的對y軸的慣性矩。

2.4 波形鋼腹板組合箱梁的扇形慣性矩計算

波形鋼腹板PC箱梁的扇形慣性矩Iw的計算考慮了兩種不同性質材料的組合，計算方法為

(20)

其中：Iwc和Iws分別為混凝土翼板和波形鋼腹板對波形鋼腹板PC箱梁扭轉中心的扇形慣性矩。

至此，波形鋼腹板PC箱梁扭轉振動頻率計算公式中所需要的截面特性已全部給出了計算方法。

3 模型試驗梁的制作與動力特性測試

3.1 試驗梁的制作

為驗證筆者求解波形鋼腹板PC簡支箱梁橋扭轉振動頻率計算公式的正確性，以所建的波形鋼腹板PC連續箱梁橋-鄄城黃河公路大橋的跨中箱梁截面設計尺寸為依據，按照1/10的比例縮尺制作 了6 m波形鋼腹板PC簡支箱梁橋的模型試驗梁。試驗梁的截面尺寸如圖6所示，試驗梁邊界條件為梁的一端為活動鉸支座，另一端為固定鉸支座。試驗梁所用混凝土材料28天齡期測得的抗壓強度平均值為51.2MPa，按JTG D62-2004《公路鋼筋混凝土及預應力混凝土橋涵設計規范》的規定為C50混凝土，其彈性模量和泊松比按規范規定取值。

圖6 箱梁截面的基本尺寸(單位:mm)Fig.6 Main dimensions of model (unit:mm)

采用Q235鋼板在工廠制作完成試驗梁的波形鋼腹板，截面尺寸示意圖如圖7所示。彈性模量和泊松比分別為206GPa和0.3。制作好的室內試驗梁模型如圖8所示。

圖7 波形鋼腹板尺寸(單位:mm)Fig.7 Dimensions of corrugated steel web (unit:mm)

圖8 模型試驗梁Fig.8 Test girder model

3.2 動力測試

選用自振法測試試驗梁的自振頻率和振型，使用突然加載與突然卸載的方式使梁體產生自由振動。本試驗采取力錘敲擊的方式進行突然加載，激振點和測點的布置如圖9所示，采樣頻率為512Hz。實際敲擊時敲擊點位置不動，把傳感器放置在指定測點上，對每個位置記錄激勵信號(力錘沖擊力)和梁體響應信號，將測試得到的信號輸入東華DHDAS信號測試分析系統軟件進行分析，完成室內模型試驗梁的自振頻率測試和振型識別。

圖9 頂板傳感器布置圖(單位:mm)Fig.9 Measurement locations on the bridge deck in the modal test (unit:mm)

4 波形鋼腹板PC箱梁橋的三維有限元模型

采用ANSYS 14.0有限元分析軟件建立了波形鋼腹板PC箱梁橋的有限元模型。根據波形鋼腹板PC箱梁橋的特點，采用實體單元、殼單元及桿單元3種不同的單元模擬其空間結構。波形鋼腹板PC組合箱梁的上、下翼板及橫隔板均為鋼筋混凝土結構，采用實體單元Solid45來建立；采用殼單元Shell63模擬波形鋼腹板；采用Link8單元模擬波形鋼腹板PC箱梁橋的體外預應力筋，通過設置初應變的方法施加預應力。波形鋼腹板與混凝土上、下翼板的連接處采用剛性連接，即波形鋼腹板的節點與翼板的節點在相應位置處耦合豎向、橫向及縱向自由度，形成剛性連接，如圖10所示。

圖10 波形鋼腹板與混凝土翼板的連接Fig.10 Connection between the corrugated steel webs and concrete flange

波形鋼腹板PC簡支箱梁橋的邊界條件為梁端一端為活動鉸支座，約束梁體的豎向和橫向兩個方向的位移；另一端為固定鉸支座，約束梁體的豎向、縱向和橫向3個方向的位移。建立完成的波形鋼腹板PC簡支箱梁橋的有限元模型如圖11所示。

圖11 波形鋼腹板PC箱梁橋的有限元模型Fig.11 Finite element model of the PC box girder bridge with corrugated steel webs

5 計算結果對比分析

將試驗梁動力特性測試獲得的實測頻率值和振型采用ANSYS有限元軟件計算所得的試驗梁頻率值和振型與本研究所得的試驗梁扭轉振動頻率值進行對比分析，結果如表1所示。

表1 模型試驗梁的自振頻率和振型對比Tab.1 Comparison of natural frequencies and mode shapes for the test girder

由表1可以看出，本計算公式所得的扭轉振動頻率值與實測值及有限元值吻合良好，可以用于實際工程中波形鋼腹板PC簡支箱梁橋扭轉振動頻率的計算。

為了對比分析自由扭轉扭矩和約束扭轉扭矩各自對波形鋼腹板PC簡支箱梁橋扭轉振動頻率的影響，在式(12)中計算了兩種扭矩單獨作用下產生的扭轉振動頻率值，如表2所示?？梢钥闯觯诩s束扭轉扭矩單獨作用下，計算所得的波形鋼腹板PC簡支箱梁橋扭轉振動頻率值與總頻率值較為接近，而在自由扭轉扭矩單獨作用下得到的扭轉振動頻率值與總頻率值相差較大，說明約束扭轉扭矩對波形鋼腹板PC簡支箱梁橋扭轉振動頻率的影響較大，而自由扭轉扭矩對其扭轉振動頻率的影響很小。

表2 自由扭轉扭矩與約束扭轉扭矩產生的扭轉振動頻率對比Tab.2 Comparison of torsional vibration frequencies between the Saint-Venant torque and warping torque

6 結 論

1) 本研究所得的波形鋼腹板PC簡支箱梁橋扭轉振動頻率計算公式的正確性得到了實測值和有限元計算值的驗證，可以用于實際工程中波形鋼腹板PC簡支箱梁橋扭轉振動頻率的計算。

2) 提出的波形鋼腹板PC箱梁的極慣性矩、扭轉常數及扇形慣性矩的計算方法可以用于該橋型箱梁扭轉截面特性的計算。

3) 在建立波形鋼腹板PC箱梁橋的ANSYS有限元模型時，筆者提出的在波形鋼腹板與混凝土翼板的交界處耦合豎向、橫向及縱向自由度，形成剛性連接的方法更符合實際情況，計算所得的頻率值與實測值吻合良好。

4) 約束扭轉扭矩對波形鋼腹板PC簡支箱梁橋扭轉振動頻率的影響較大，而自由扭轉扭矩對其扭轉振動頻率的影響很小，可忽略不計。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2017.04.021

* 國家自然科學基金資助項目(51368032);中國博士后科學基金資助項目(2014M562103);甘肅省高等學校科研資助項目(2015A-053);蘭州交通大學優秀平臺資助項目(201601)

2015-12-16；

2016-04-06

U448.21+6；TH113.1

冀偉，男，1982年6月生，博士、副教授。主要研究方向為橋梁結構設計理論。曾發表《波形鋼腹板簡支箱梁豎向頻率的影響因素分析》(《振動、測試與診斷》2013年第33卷第6期)等論文。 E-mail:jiwei1668@163.com