淺談數學中導數的概念及導數的應用

譚清華

摘 要：本文以導數概念作為切入點，闡述導數在幾何知識和函數知識中的應用。

關鍵詞：數學 導數概念 導數應用

引言

導數概念是數學分析基本概念，是近代數學的重要基礎，也是學習高等數學的基礎所在。在中學數學中，導數被廣泛應用，是歷年高考數學的重點內容。掌握導數的基礎知識和應用技能，以便更好地解決中學數學問題，一直以來是中學教師和學生的關注的重點所在。但是由于導數具有抽象、復雜等特點，對學生而言仍是學習數學中的一個難點知識，何況導數還與幾何知識、函數知識等其他知識之間有著緊密的聯系。學好導數知識是一線中學數學教師所要面對的重要問題，也是數學教學的基礎要求。

一、導數的概念

導數是數學領域中的重要概念，隸屬于微積分的范疇。導數是函數的局部性質。一個函數在某一點的導數描述了這個函數在這一點附近的變化率[1]。如果函數的自變量和取值都是實數的話，函數在某一點的導數就是該函數所代表的曲線在這一點上的切線斜率。導數的本質是通過極限的概念對函數進行局部的線性逼近。例如在運動學中，物體的位移對于時間的導數就是物體的瞬時速度。當函數y=f（x）的自變量x在一點x0上產生一個增量Δx時，函數輸出值的增量Δy與自變量增量Δx的比值在Δx趨于0時的極限a如果存在，a即為在x0處的導數，記作f（x0）。認識到導數，對于函數的增減性的認識和學習具有重要的意義。一般而言，y=f（x）在（a，b）數值范圍內可導，如果在（a，b）范圍內，f（x）的取值始終大于零

二、導數的應用

1.導數在幾何方面的應用

在幾何學習中，導數具有重要的作用和意義。應用導數概念來認識和學習相關的幾何知識是導數概念的重要拓展，更是數學學習中的重點內容。微積分學習的重點知識便是導數，導數與數軸之間有著緊密的聯系，在一定區域內的x的取值依據相應的規律都有相對應的y值，具體而言便是設函數y=f（x）在點x0的某個鄰域內有著一定的定義，當自變量x在在這個區域取值的時候，都有相應地函數取得增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）。函數y=f（x）在x0點的導數f'（x0）的幾何意義表示函數曲線在點P0（x0，f（x0））處的切線的斜率?？梢?，求導的函數一定是連續的，不連續的函數是不能進行求導的[2]。在幾何知識中，認識曲線的切線時，由于切線方程與坐標數軸之間是一一對應的。在求解曲線方程式，既可以通過導數進行求解，以便得到區現在一直點的切線的斜率，也可以假設已知切線的斜率和對應切點的坐標，是應用點斜式來求出相應的切線方程。

如圖1，曲線C是函數y=f（x）的圖象，P（x0，y0）是曲線C上的任意一點，Q（x0+Δx，y0+Δy）為P鄰近一點，PQ為C的割線，PM//x軸，QM//y軸，β為PQ的傾斜角.

當點Q沿著曲線逐漸向點P接近時，割線PQ繞著點P逐漸轉動的情況，也就是說，當點Q沿著曲線無限接近點P即Δx→0時，割線PQ有一個極限位置PT.則我們把直線PT稱為曲線在點P處的切線。設切線的傾斜角為α，那么當Δx→0時，割線PQ的斜率，稱為曲線在點P處的切線的斜率。這個概念為求曲線上某點切線的斜率提供了一種方法，同時也直接闡述了切線斜率的本質—函數在x=x0處的導數。

如實例：求曲線y=f（x）=x2+1在點P（1，2）處的切線方程.

因此，切線方程為y-2=2（x-1），即y=2x.

可見，要求曲線在某點處的切線方程的時候，可以按照這種思路進行解答，“先利用切線斜率的定義求出切線的斜率，然后利用點斜式求切線方程”。

三、在函數方面的應用

1.函數的單調性問題

在函數的學習過程中，應用導數來認識和判斷函數的增減性，具有重要的現實意義和作用。這也是導數在變化曲線中的一種幾何意義的應用。根據導數的幾何意義，可以用曲線切線的斜率來解釋導數與單調性的關系，如果切線的斜率大于零，則其傾斜角是銳角，函數曲線呈上升的狀態，即函數單調遞增；如果切線的斜率小于零，則其傾斜角是鈍角，函數曲線呈下降的狀態，即函數單調遞減。從函數的某個區間內來看，f′（x）>0（f′（x）<0）是函數f（x）在此區間內為增（減）函數的充分條件，而不是必要條件。若是在求值過程中，出現f′（x）=0的情況，不會影響函數f（x）在包含該點的某個區間內的單調性。例如函數f（x）=x3在定義域（-∞，+∞）上是增函數，但由f′（x）=3x2知，f′（0）=0，即并不是在定義域內的任意一點處都滿足f′（x）>0。可導函數f（x）在（a，b）上是增（減）函數的充要條件是：對任意的x∈（a，b），都有f′（x）≥0（f′（x）≤0），且f′（x）在（a，b）的任何子區間內都不恒等于零。

例 函數（且）的單調性

解：函數定義域為R.

當時，

∴函數在上是增函數.

當時，

∴函數在上是減函數.

2.函數的極值問題

函數的極值是指函數f（x）在x取值范圍內有定義，如果x=x0處的函數值是x取值范圍內的函數值都大，即f（x）f（x0），則稱 f（x0）是函數y=f（x）的一個極小值。最大值和最小值在函數中稱之為極值。極值是一個局部概念，反映了函數在某一點附近的大小情況。應用導數求函數的極值，應該掌握以下幾點：第一點是要明確函數的定義域，第二點能夠求出相應相應的導數，第三定能夠在相應的定義域有效地求出實根，第四組中駐點左右之間的符號。

結語

導數作為數學學學科中的重要組成成分，認識和掌握導數在學習數學過程中有著重要的作用和意義。導數具有抽象性、復雜性等特點，要學好導數，首先就要掌握導數的基本概念，從基本概念出發，掌握求導公式和求導法則，便于有效的解決數學問題。在數學學習過程中，不難發現，導數知識與函數知識、幾何知識有著密切聯系，掌握好導數知識有助于學好其他知識。因而，在數學學習過程中，掌握導數知識顯得尤為重要。

參考文獻

[1]謝楚舒. 高中數學中導數的概念及導數的應用[J]. 環球市場信息導報， 2016，12（33）：98-98.

[2]張孟， 李小春. 導數的定義在考研數學中的應用[J]. 當代教育實踐與教學研究：電子版， 2016，11（06）：159-160.