淺談數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)的概念及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

譚清華

摘 要：本文以導(dǎo)數(shù)概念作為切入點(diǎn)，闡述導(dǎo)數(shù)在幾何知識(shí)和函數(shù)知識(shí)中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué) 導(dǎo)數(shù)概念 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

引言

導(dǎo)數(shù)概念是數(shù)學(xué)分析基本概念，是近代數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)，也是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)所在。在中學(xué)數(shù)學(xué)中，導(dǎo)數(shù)被廣泛應(yīng)用，是歷年高考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容。掌握導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)和應(yīng)用技能，以便更好地解決中學(xué)數(shù)學(xué)問題，一直以來是中學(xué)教師和學(xué)生的關(guān)注的重點(diǎn)所在。但是由于導(dǎo)數(shù)具有抽象、復(fù)雜等特點(diǎn)，對(duì)學(xué)生而言仍是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)知識(shí)，何況導(dǎo)數(shù)還與幾何知識(shí)、函數(shù)知識(shí)等其他知識(shí)之間有著緊密的聯(lián)系。學(xué)好導(dǎo)數(shù)知識(shí)是一線中學(xué)數(shù)學(xué)教師所要面對(duì)的重要問題，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)要求。

一、導(dǎo)數(shù)的概念

導(dǎo)數(shù)是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的重要概念，隸屬于微積分的范疇。導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的局部性質(zhì)。一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)描述了這個(gè)函數(shù)在這一點(diǎn)附近的變化率[1]。如果函數(shù)的自變量和取值都是實(shí)數(shù)的話，函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)就是該函數(shù)所代表的曲線在這一點(diǎn)上的切線斜率。導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)是通過極限的概念對(duì)函數(shù)進(jìn)行局部的線性逼近。例如在運(yùn)動(dòng)學(xué)中，物體的位移對(duì)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)就是物體的瞬時(shí)速度。當(dāng)函數(shù)y=f（x）的自變量x在一點(diǎn)x0上產(chǎn)生一個(gè)增量Δx時(shí)，函數(shù)輸出值的增量Δy與自變量增量Δx的比值在Δx趨于0時(shí)的極限a如果存在，a即為在x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f（x0）。認(rèn)識(shí)到導(dǎo)數(shù)，對(duì)于函數(shù)的增減性的認(rèn)識(shí)和學(xué)習(xí)具有重要的意義。一般而言，y=f（x）在（a，b）數(shù)值范圍內(nèi)可導(dǎo)，如果在（a，b）范圍內(nèi)，f（x）的取值始終大于零

二、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1.導(dǎo)數(shù)在幾何方面的應(yīng)用

在幾何學(xué)習(xí)中，導(dǎo)數(shù)具有重要的作用和意義。應(yīng)用導(dǎo)數(shù)概念來認(rèn)識(shí)和學(xué)習(xí)相關(guān)的幾何知識(shí)是導(dǎo)數(shù)概念的重要拓展，更是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)內(nèi)容。微積分學(xué)習(xí)的重點(diǎn)知識(shí)便是導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)與數(shù)軸之間有著緊密的聯(lián)系，在一定區(qū)域內(nèi)的x的取值依據(jù)相應(yīng)的規(guī)律都有相對(duì)應(yīng)的y值，具體而言便是設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有著一定的定義，當(dāng)自變量x在在這個(gè)區(qū)域取值的時(shí)候，都有相應(yīng)地函數(shù)取得增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）。函數(shù)y=f（x）在x0點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)f'（x0）的幾何意義表示函數(shù)曲線在點(diǎn)P0（x0，f（x0））處的切線的斜率。可見，求導(dǎo)的函數(shù)一定是連續(xù)的，不連續(xù)的函數(shù)是不能進(jìn)行求導(dǎo)的[2]。在幾何知識(shí)中，認(rèn)識(shí)曲線的切線時(shí)，由于切線方程與坐標(biāo)數(shù)軸之間是一一對(duì)應(yīng)的。在求解曲線方程式，既可以通過導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解，以便得到區(qū)現(xiàn)在一直點(diǎn)的切線的斜率，也可以假設(shè)已知切線的斜率和對(duì)應(yīng)切點(diǎn)的坐標(biāo)，是應(yīng)用點(diǎn)斜式來求出相應(yīng)的切線方程。

如圖1，曲線C是函數(shù)y=f（x）的圖象，P（x0，y0）是曲線C上的任意一點(diǎn)，Q（x0+Δx，y0+Δy）為P鄰近一點(diǎn)，PQ為C的割線，PM//x軸，QM//y軸，β為PQ的傾斜角.

當(dāng)點(diǎn)Q沿著曲線逐漸向點(diǎn)P接近時(shí)，割線PQ繞著點(diǎn)P逐漸轉(zhuǎn)動(dòng)的情況，也就是說，當(dāng)點(diǎn)Q沿著曲線無限接近點(diǎn)P即Δx→0時(shí)，割線PQ有一個(gè)極限位置PT.則我們把直線PT稱為曲線在點(diǎn)P處的切線。設(shè)切線的傾斜角為α，那么當(dāng)Δx→0時(shí)，割線PQ的斜率，稱為曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率。這個(gè)概念為求曲線上某點(diǎn)切線的斜率提供了一種方法，同時(shí)也直接闡述了切線斜率的本質(zhì)—函數(shù)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)。

如實(shí)例：求曲線y=f（x）=x2+1在點(diǎn)P（1，2）處的切線方程.

因此，切線方程為y-2=2（x-1），即y=2x.

可見，要求曲線在某點(diǎn)處的切線方程的時(shí)候，可以按照這種思路進(jìn)行解答，“先利用切線斜率的定義求出切線的斜率，然后利用點(diǎn)斜式求切線方程”。

三、在函數(shù)方面的應(yīng)用

1.函數(shù)的單調(diào)性問題

在函數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)來認(rèn)識(shí)和判斷函數(shù)的增減性，具有重要的現(xiàn)實(shí)意義和作用。這也是導(dǎo)數(shù)在變化曲線中的一種幾何意義的應(yīng)用。根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可以用曲線切線的斜率來解釋導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，如果切線的斜率大于零，則其傾斜角是銳角，函數(shù)曲線呈上升的狀態(tài)，即函數(shù)單調(diào)遞增；如果切線的斜率小于零，則其傾斜角是鈍角，函數(shù)曲線呈下降的狀態(tài)，即函數(shù)單調(diào)遞減。從函數(shù)的某個(gè)區(qū)間內(nèi)來看，f′（x）>0（f′（x）<0）是函數(shù)f（x）在此區(qū)間內(nèi)為增（減）函數(shù)的充分條件，而不是必要條件。若是在求值過程中，出現(xiàn)f′（x）=0的情況，不會(huì)影響函數(shù)f（x）在包含該點(diǎn)的某個(gè)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性。例如函數(shù)f（x）=x3在定義域（-∞，+∞）上是增函數(shù)，但由f′（x）=3x2知，f′（0）=0，即并不是在定義域內(nèi)的任意一點(diǎn)處都滿足f′（x）>0。可導(dǎo)函數(shù)f（x）在（a，b）上是增（減）函數(shù)的充要條件是：對(duì)任意的x∈（a，b），都有f′（x）≥0（f′（x）≤0），且f′（x）在（a，b）的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒等于零。

例 函數(shù)（且）的單調(diào)性

解：函數(shù)定義域?yàn)镽.

當(dāng)時(shí)，

∴函數(shù)在上是增函數(shù).

當(dāng)時(shí)，

∴函數(shù)在上是減函數(shù).

2.函數(shù)的極值問題

函數(shù)的極值是指函數(shù)f（x）在x取值范圍內(nèi)有定義，如果x=x0處的函數(shù)值是x取值范圍內(nèi)的函數(shù)值都大，即f（x）f（x0），則稱 f（x0）是函數(shù)y=f（x）的一個(gè)極小值。最大值和最小值在函數(shù)中稱之為極值。極值是一個(gè)局部概念，反映了函數(shù)在某一點(diǎn)附近的大小情況。應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，應(yīng)該掌握以下幾點(diǎn)：第一點(diǎn)是要明確函數(shù)的定義域，第二點(diǎn)能夠求出相應(yīng)相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)，第三定能夠在相應(yīng)的定義域有效地求出實(shí)根，第四組中駐點(diǎn)左右之間的符號(hào)。

結(jié)語

導(dǎo)數(shù)作為數(shù)學(xué)學(xué)學(xué)科中的重要組成成分，認(rèn)識(shí)和掌握導(dǎo)數(shù)在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中有著重要的作用和意義。導(dǎo)數(shù)具有抽象性、復(fù)雜性等特點(diǎn)，要學(xué)好導(dǎo)數(shù)，首先就要掌握導(dǎo)數(shù)的基本概念，從基本概念出發(fā)，掌握求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則，便于有效的解決數(shù)學(xué)問題。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，不難發(fā)現(xiàn)，導(dǎo)數(shù)知識(shí)與函數(shù)知識(shí)、幾何知識(shí)有著密切聯(lián)系，掌握好導(dǎo)數(shù)知識(shí)有助于學(xué)好其他知識(shí)。因而，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，掌握導(dǎo)數(shù)知識(shí)顯得尤為重要。

參考文獻(xiàn)

[1]謝楚舒. 高中數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)的概念及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用[J]. 環(huán)球市場(chǎng)信息導(dǎo)報(bào)， 2016，12（33）：98-98.

[2]張孟， 李小春. 導(dǎo)數(shù)的定義在考研數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J]. 當(dāng)代教育實(shí)踐與教學(xué)研究：電子版， 2016，11（06）：159-160.