高等數學競賽試題分析

摘 要：通過對高等數學競賽試題的分析，加強基礎知識的訓練，側重多角度問題的綜合求解，將與專業有關的實際應用問題與數學知識相結合，培養學生的創新思維和實踐能力。

關鍵詞：數學競賽；洛必達法則；極限；創新

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2017.18.235

1 高等數學競賽試題方法總結

為了強化高等數學的學習，我校每年將舉辦一次校內的高等數學競賽，一方面激發學生學習高等數學的熱情，一方面為數學建模等國家級競賽選拔人才，賽前授課教師大力宣傳，有長春工程學院理學院及教務處共同承辦，對成績優異的同學給予獎勵。作為一名高數教師，需要從數學競賽的舉辦中了解學生學習的薄弱環節，從而很好的總結教學經驗，為日常的教學工作做好準備，為此，我就長春工程學院近幾屆高數競賽的試題作以分析，總結學生答題情況，對試題中存在的問題加以指正，并對試題的改進加以說明。

在歷屆的高等數學競賽中，賽題的分布主要包含以下幾部分：極限的應用，一元，多元微積分的求解，空間解析幾何，級數等幾部分，其中極限的求解，一元多元微積分的求解最為重要。

常用求極限的方法有：約去零因子法，對于有理式型，直接約去零因式，對于含根式型，應先有理化，再約去零因式，含三角函數式的未定式，首先對函數進行恒等變換，常用的手法有有理化，和差化積，變量替換等。其他方法有等價無窮小代換法，導數定義法，洛必達法則和泰勒公式等。

（1）（2016年長春工程學院高等數學競賽試卷（一）（4），選擇題，4分）

難度分析：利用有界函數和無窮小的乘積仍是無窮小，很多同學出現錯誤誤認為是特殊極限而選擇1，在應用特殊極限解題時要注意應用的條件。

（2）（2016年長春工程學院高等數學競賽試卷（三）（1），計算題，7分）

難度分析：很多同學沒有掌握等價無窮小代換的條件，人為的將式子錯誤簡化了，進而導致錯誤。本題將分母通分后應用幾次洛必達法則來求解，洛必達法則是計算函數極限的主要方法。

我們總結一下求未定式函數極限的一般方法：

考查所求極限是否為未定式，如果不是未定式，則按通常極限的四則運算和復合運算求出極限，如果是未定式：將分子，分母乘積因子中無窮小量用等價無窮小代替。檢查函數表達式中是否有非零極限的乘積因子，如果有的話，應將其從求極限的函數中分離出來，使極限分成二個極限乘積，其中一個有確定極限，另一個是未定式。如留下的未定式不能確定極限值，則用洛必達法則使分子，分母的無窮小階數降低，然后再求極限。即總結起來，先用等價無窮小替換，否則再用洛必達法則，直接求得答案。

（3）（2016年長春工程學院高等數學競賽試卷（二）（1），填空題，4分）

難度分析：此題是洛必達法應用的問題，為滿足應用洛必達法則的條件，分子分母極限同時為零，分子分母分別求導再求極限求解。

微積分的計算和應用也是考查的重點，其中利用定積分性質證明不等式問題，利用積分中值定理證明不等式，利用柯西不等式證明定積分不等式，利用介值定理，積分中值定理或微分中值定理來證明方程的根問題。在試卷中積分上限函數與證明函數的單調性，求極限相結合的綜合題也是考查的重點。

（4）（2016年長春工程學院高等數學競賽試卷（四）（1），證明題，11分）

難度分析：此題是一道綜合證明問題，將積分上限函數與函數單調性結合起來，與積分上限函數有關的問題在歷屆數學競賽甚至研究生入學試卷中都有體現，此種類型題計算不難，但技巧性較強，很容易與其他相關的數學知識相結合起來出些綜合題目。比如將積分上限函數與洛必達法則求極限聯系起來，根據洛必達法則計算出極限來，關鍵在于積分上限函數的求導。此外還有帶有變限積分函數的積分方程的求解，當函數滿足帶變限積分的方程時，要解出函數，通常是對方程兩端求導，下限積分，從而得到關于函數的微分方程，用微分方程的解法可解出函數。還有很多與積分上限函數有關的問題，變上限函數作為一個函數，具有單調性，有界性，奇偶性，凹凸性，最值問題和零點問題等，解題方法同普通函數求解這些性質所用的方法是一樣的。

此外對于第二類曲線積分計算題目，在競賽試卷中也有所體現，也是考查學生綜合性解題的一個方面。對于這類問題，先分析其是否滿足格林公式，1）閉區域由分段光滑的曲線圍成，2）函數具有一階連續偏導數。如果這兩個均滿足，若曲線取正向，則利用格林公式，若曲線取負方向，格林公式前要加負號。若曲線不是閉曲線，則可引入輔助線，使成為取正向的封閉曲線，進而采用格林公式，然后再減去輔助曲線上的曲線積分。若曲線為閉曲線，但函數不具有一階連續性質，則可采用“挖洞”法來利用格林公式求解。格林公式的應用非常的廣泛，它解釋了二重積分和曲線積分的聯系。

2 對高等數學競賽提出的建議

對于高等數學的競賽試題，可以適當的加入一些與數學建模，與各專業的學習相結合的實際應用問題，我們倡導高等數學的學習要為專業知識的學習服務，為專業的學習保駕護航，將數學知識應用與各專業的學習中，例如在工程力學專業，可以利用微分，定積分的計算來解決圓軸扭轉時橫截面上的應力和強度，利用導數求極值及二階導計算來解決剪力圖與彎矩圖問題，利用定積分求慣性矩合力，利用二階常系數線性微分方程來求解梁的變形的計算，壓桿的臨界載荷等問題，還可以應用二階常系數線性微分方程來研究機械振動現象。

通過對高等數學競賽試題的分析，一方面要加強學生基本知識，基本技巧的訓練，另一方面將數學知識與各專業的學習相結合起來，使得將高等數學的學習應用于實踐中去，真正做到為生產生活服務，使高等數學的學習真正做到實用化，趣味化，將高等數學的學習和教學工作提上一個新的臺階！

參考文獻：

[1]張林，羅來珍.大學生數學競賽的教學實踐與探索[J].教育教學論壇，2016（26）.

基金項目：2016年長春工程學院校級教學改革立項“數學競賽模式下高等數學教學的改革與實踐”

2016年長春工程學院校級教研立項課題“數學競賽模式下高等數學教學的改革與實踐”

作者簡介：付向南（1983-），女，吉林長春人，碩士，講師，主要研究方向：數學基礎課的教學與實踐理論。endprint