變限積分函數(shù)的求導(dǎo)和應(yīng)用

朱忠華

摘要：變限積分函數(shù)是微積分中一類具有特殊形式的函數(shù)，它是聯(lián)結(jié)眾多知識點(diǎn)的紐帶，是學(xué)生學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在微積分中有廣泛的應(yīng)用。本文介紹了積分上限函數(shù)的概念及其特有的求導(dǎo)性質(zhì)，并結(jié)合實(shí)例深入講解變限積分函數(shù)的求導(dǎo)以及其在微積分各主要內(nèi)容中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：變限函數(shù)；不定積分；定積分；導(dǎo)數(shù)；連續(xù)

中圖分類號：G642.41 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）38-0211-03

一、前言

一元函數(shù)微積分[1-3]部分主要涉及六個(gè)概念，即極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、不定積分、定積分以及三個(gè)定理即微分中值定理、積分中值定理、微積分基本定理（牛頓—萊布尼茲公式）。在這六個(gè)概念中，除了不定積分，其他五個(gè)概念都是某種形式的極限，所以它們由極限聯(lián)系了起來。為了要說明不定積分與其他概念的聯(lián)系時(shí)，引入了積分上限函數(shù)，得出了牛頓—萊布尼茲公式，從而揭示了不定積分與定積分、微分與積分的內(nèi)在聯(lián)系，不但解決了定積分的計(jì)算問題，同時(shí)微積分的六個(gè)重要概念也就相互聯(lián)系了起來[4]。

二、變限積分函數(shù)的定義與性質(zhì)

1.定義。對于閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f（x），設(shè)x為[a，b]上的任一點(diǎn)，定積分f（t）dt顯然存在，當(dāng)x在[a，b]上任意變動(dòng)時(shí)，對于每一個(gè)取定的x的值，

f（t）dt就有一個(gè)對應(yīng)的值，這樣就在[a，b]上定義了一個(gè)新的函數(shù)，稱為變上限積分，又稱為積分上限函數(shù)，一般記為Φ（x）=f（t）dt，x∈[a，b]。

這個(gè)概念是一個(gè)較抽象的概念，我們可以結(jié)合幾何解釋：Φ（x）表示一個(gè)以f（x）為曲邊的曲邊梯形的面積，當(dāng)x給一個(gè)確定的值，Φ（x）有一個(gè)確定的值，所以又稱Φ（x）=f（t）dt為面積函數(shù)。

記Ψ（x）=f（t）dt，x∈[a，b]稱為變下限積分，又稱為積分下限函數(shù)。Φ（x），Ψ（x）統(tǒng)稱為變限積分函數(shù)。因Ψ（x）=f（t）dt=-f（t）dt也可化為積分上限函數(shù)，所以本文主要討論積分上限函數(shù)的情況。

積分上限函數(shù)，這是一類特殊的函數(shù)，具有與普通函數(shù)相同的特征；又由于它的上限是變化的，變限積分是一種特殊的定積分，它具有很多特殊的性質(zhì)。特殊性決定了它的重要性，變限積分內(nèi)容也是各類考試經(jīng)常要考到的一個(gè)重要知識點(diǎn)，本文就只介紹它的求導(dǎo)的性質(zhì)，證明略。

2.變限積分函數(shù)的求導(dǎo)性質(zhì)。

定理1：如果函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則變上限函數(shù)Φ（x）=f（t）dt在[a，b]內(nèi)連續(xù)、可導(dǎo)，且

Φ′（x）=f（t）dt=f（x）。

注：其中區(qū)間a可為-∞，b可為+∞。

由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，積分上限函數(shù)的求導(dǎo)可得如下一般形式：

推論1：[f（t）dt]′=f（t）dt=f（g（x））·g′（x）

此定理是變限積分的最重要的性質(zhì)，掌握此定理需要注意兩點(diǎn)：第一，下限為常數(shù)，上限為參變量x或只含x的表達(dá)式g（x）；第二，被積函數(shù)f中只含積分變量t，不含參變量x。

求導(dǎo)計(jì)算舉例：

例1：設(shè)Φ（x）=dt，求Φ'（x）.

解：在的連續(xù)區(qū)間內(nèi)任選一點(diǎn)，比如取t=0，可得

dt=dt+dt

=-2+2x.

注：由此題，可得對變限積分函數(shù)的求導(dǎo)更一般的結(jié)論：

推論2：[f（t）dt]′=[f（t）dt+∫f（t）dt]′=f（g（x））·g′（x）-f（h（x））·h′（x）.

例2：設(shè)f（x）可導(dǎo)，求∫tf（2x-t）dt.

分析：在學(xué)習(xí)積分上限函數(shù)時(shí)，要注意區(qū)分積分上下限變量與積分變量，不要混淆。這里被積函數(shù)f中除含積分變量t外，還含參變量x，不能直接使用變限積分函數(shù)的求導(dǎo)性質(zhì)，通常要通過變量替換消去被積函數(shù)f中參數(shù)x，則令u=2x-t即可.

解：令u=2x-t，則tf（2x-t）dt=（2x-u）f（u）du

=2xf（u）du-uf（u）du

∴（tf（2x-t）dt）=2f（u）du+2x[2f（2x）-

f（x）][-2xf（2x）·2-xf（x）]

=2f（u）du-xf（x）.

處理這類問題的關(guān)鍵是：變限積分作積分變量替換同普通定積分一樣，必須對變限積分的上下限作相應(yīng)地替換，即仍然遵循定積分的“不換元不換限，換元必?fù)Q限”的原則。

三、變限積分函數(shù)求導(dǎo)應(yīng)用的典型例題

掌握好變限積分的求導(dǎo)運(yùn)算是非常重要的，當(dāng)我們碰到變限積分的題目時(shí)，不是想辦法去求出這個(gè)變限積分的函數(shù)表達(dá)式，而是應(yīng)該想到用求導(dǎo)性質(zhì)去解決具體的問題，下面分情況來討論變限積分求導(dǎo)的應(yīng)用。

1.討論變限積分函數(shù)的極限問題。

例3：求.

解：是未定型，用洛比達(dá)法則，

原式====-.

注：通常這類或的未定型極限都可用洛比達(dá)法則來計(jì)算，在計(jì)算過程中可用等價(jià)無窮小量來進(jìn)行因式替換，簡化計(jì)算。

2.討論變限積分函數(shù)的連續(xù)性問題。

例4：討論f（x）=，x>0 2，x=0，x<0的連續(xù)性.

解：（1）當(dāng)x>0時(shí)，f（x）顯然是連續(xù)。

（2）當(dāng)x<0時(shí)，對任何t，cost是連續(xù)的，可得

costdt是x的連續(xù)函數(shù)，

故f（x）=是連續(xù)的.

（3）當(dāng)x=0時(shí)，f（x）===1，

而f（x）=2=f（0），因此f（x）在x=0處不連續(xù)，但它是右連續(xù)的

3.討論變限積分的隱函數(shù)與參數(shù)方程求導(dǎo)問題。

例5：已知edt+costdt=0，求.endprint

解：隱函數(shù)方程，兩邊對x求導(dǎo)，得

e·y′+cos（xy）·（y+xy′）=0，整理得y′==。

4.討論變限積分函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性等問題。

例6：設(shè)f（x）為奇函數(shù)，在（-∞，+∞）內(nèi)連續(xù)且單調(diào)遞增，F(xiàn)（x）=（x-3t）f（t）dt

求證：（1）F（x）為奇函數(shù)；（2）F（x）在[0，+∞]上單調(diào)遞減.

證：（1）∵F（-x）=（-x-3t）f（t）dt

（-x+3u）f（-u）d（-u）

=-（x-3u）f（u）du=-（x-3t）f（t）dt=-F（x）

故F（x）為奇函數(shù)。

（2）∵F（x）=xf（t）dt-3tf（t）dt

∴F（x）=f（t）dt+xf（x）-3xf（x）=f（t）dt-2xf（x）

=f（t）dt-f（x）dt-xf（x）

=f（t）dt-f（x）dt-xf（x）

=[f（t）-f（s）]dt-xf（x）

∵f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)為增函數(shù)與奇函數(shù)，

∴f（t）-f（x）<0，xf（x）>0

∴[f（t）-f（x）]dt<0，-xf（x）<0

于是：F（x）=[f（t）-f（x）]dt-xf（x）<0，

x∈（0，+∞）

故：F（x）在[0，+∞]上單調(diào)遞減。

5.討論含變限積分方程的根的情況。

例7：已知函數(shù)f（x）=dt+dt，求

f（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

解：f′（x）=-+2x=0，得駐點(diǎn)x=.

當(dāng)x<時(shí)，f′（x）<0，f（x）單調(diào)減少；當(dāng)x>時(shí)，f′（x）>0，f（x）單調(diào)增加.

因f（1）=0，所以f（x）在x>時(shí)存在唯一零點(diǎn)且

f（）<0.

又f（x）=+∞，f（）<0，所以f（x）在x<時(shí)也存在唯一零點(diǎn).

綜上，f（x）有且僅有2個(gè)零點(diǎn)。

6.求被積函數(shù)為變限積分函數(shù)的定積分。

例8：設(shè)f（x）=dt，求f（x）dx.

解：因f（0）=0，f（π）=dt，f′（x）=，

所以f（x）dx=[xf（x）]-xf′（x）dx

=πf（π）-dx=πf（π）+sinxdx=πf（π）+sinxdx-πf（π）=[cosx]=2.

7.求解積分方程。

例9：設(shè)函數(shù)f（x）具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，且滿足

f（x）=（x-t）f′（t）dt+x，求f（x）的表達(dá)式.

解：f（x）=xf′（t）dt-tf′（t）dt+x，且f（0）=0，

兩邊求導(dǎo)得，f′（x）=2xf′（t）dt+xf′（x）-

xf′（x）+2x=2xf′（t）dt+2x

=2x[f（x）-f（0）]+2x=2xf（x）+2x

即f′（x）-2xf（x）=2x，求解一階線性微分方程，得

f（x）=e（-e+C），又f（0）=0，得C=1，所以f（x）=e-1.

注：這類問題總是通過兩端求導(dǎo)，將所給的積分方程化為微分方程，然后求解，注意初值條件隱含在積分方程內(nèi)。

9.在證明不等式題中的應(yīng)用。

例10：設(shè)函數(shù)f（x），g（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且

f（x）單調(diào)增加，0≤g（x）≤1.

證明：（I）0≤g（t）dt≤x-a，x∈[a，b]；

（II）f（x）dx≤∫f（x）g（x）dx.

證明（I）：因0≤g（x）≤1，所以x∈[a，b]時(shí)，有

0dt≤g（t）dt≤1dt，

即0≤g（t）dt≤x-a，x∈[a，b].

證明（II）：令F（x）=f（t）dt-f（t）g（t）dt，x∈[a，b]，F(xiàn)（a）=0

因設(shè)函數(shù)f（x），g（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，所以

F（x）在[a，b]上可導(dǎo)，且F′（x）=[f（a+g（u）du）-f（x）]g（x）。

由（I）知，a+g（u）du≤x，又已知f（x）單調(diào)增加且g（x）≥0，所以F′（x）≤0，從而F（x）在[a，b]上單調(diào)減少，F(xiàn)（b）≤F（a）=0，即∫f（x）dx≤∫f（x）g（x）dx.

以上例題中的例7、例9、例10都是近幾年考研的試題。總之，變限積分函數(shù)是一個(gè)非常重要而又特殊的一類函數(shù)，它的求導(dǎo)性質(zhì)必須熟練掌握并能進(jìn)行各方面的應(yīng)用。

參考文獻(xiàn)：

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