脈沖微分方程m-點邊值問題的多重正解

李海艷, 王 敏, 李利玫

( 1. 四川大學 錦城學院, 四川 成都 611731; 2. 成都工業學院 人事處, 四川 成都 611730;3. 四川師范大學 數學與軟件科學學院, 四川 成都 610066)

脈沖微分方程m-點邊值問題的多重正解

李海艷1, 王 敏2, 李利玫3

( 1. 四川大學 錦城學院, 四川 成都 611731; 2. 成都工業學院 人事處, 四川 成都 611730;3. 四川師范大學 數學與軟件科學學院, 四川 成都 610066)

利用錐上的不動點指數定理研究一類脈沖微分方程的多點邊值問題,獲得了該問題多重正解的存在性新結果.

不動點指數定理; 脈沖微分方程;m-點邊值問題; 全連續; 正解

帶有脈沖的微分方程邊值問題主要描述了一些現象在某一瞬時時刻的突變過程,在人口動態、物理學、生物學、工程學、神經網絡等學科有著廣泛的應用[1-3].微分方程作為一個重要的分支有著大量的研究成果[4-17],其中脈沖微分方程在數學方面有著更加豐富的內容[11-17].

文獻[11]研究了多點邊值問題

其中,J=[0,1],f∈C(J×R+,R+),Ik∈C(R+,R+),0<ξ1<ξ2<…<ξm-2<1,ai,bi∈(0,+∞),i=1,2,…,m-2,應用錐上的不動點定理獲得了多個正解的存在性定理.

考察二階脈沖微分方程的多點邊值問題(BVP)

(1)

當φ=1,a=c=1,b=d=0時,邊值問題將退化為文獻[11]研究的方程.本文利用錐上的不動點指數定理研究了一類脈沖微分方程的多點邊值問題,獲得了該問題多重正解的存在性新結果.

1 預備知識及主要引理

‖x‖=max{‖x‖PC,‖x′‖PC}.

顯然,PC[J,R]在‖·‖PC下構成一個Banach空間,PC1[J,R]在‖·‖下構成一個Banach空間.

1) 如果x∈?Pr,有‖x‖≤‖Tx‖,則i(T,Pr,P)=0;

2) 如果x∈?Pr,有‖x‖≥‖Tx‖,則i(T,Pr,P)=1.

本文假設：

(H1)f∈C(J×R+,R+),Ik∈C(R+,R+);

(H2) △≠0,ρ=ac+ad+bc,其中

定義 1.1x稱為BVP(1)的一個解,若x∈PC[J,R+]∩C2(J′),x(t)>0,t∈J且x滿足(1)式.

引理 1.2 假設(H1)和(H2)成立,那么,x∈PC1[J,R+]∩C2(J′)是BVP(1)的解,當且僅當x是脈沖積分方程(2)的解.

(2)

其中

證明 為了方便證明,先驗證問題

(3)

的解滿足的脈沖積分方程.

設x∈PC1[J,R+]∩C2(J′)是BVP(3)的解,對(3)式積分可得

(4)

再次對(4)式兩端積分可得

(5)

在(4)和(5)式中分別令t=1有

(6)

(7)

由(6)和(7)式,再結合邊值條件可得

將x′(0)和x(0)代入(5)式有

則

因此有

(8)

(9)

所以,由(8)和(9)式有

令

即可得方程(3)的解滿足積分方程

故BVP(1)的解滿足積分方程

反過來,假定x是脈沖微分方程(2)的解,當t≠tk時,對(2)式微分2次可得

易知

故x∈C2(J′),可以驗證

引理得證.

引理 1.3 假設(H1)成立,并且滿足

證明 由引理1.2,顯然G(t,s)≥0,且

故x(t)≥0,t∈J.

注 1.1 由G(t,s)的定義有

注 1.2 對?t∈Jθ,θ∈(0,1/2),Jθ=[θ,1-θ],s∈(0,1)有

其中

且0<σ<1.

注 1.3 對?t,s∈Jθ,?ε>0,使得G(t,s)≥ε.

建立PC1[0,1]上的空間K,K={x∈PC1[0,1]:x≥0,t∈J}.

定義算子T:K→K如下

(10)

引理 1.4 假設(H1)和(H2)成立,則T(K)?K,且T:K→K是全連續算子.

證明 對x∈K,由算子T的定義及引理1.3,有Tx≥0,Tx∈PC1[0,1],且

另一方面,由注1.2及0<σ<1有

所以,T(K)?K.此外由Ascoli-Arzela定理知T:K→K是全連續算子.

2 主要結論

為了方便,首先引入幾個記號:

定理 2.1 假設(H1)～(H3)成立.此外,f、Ik滿足下列條件：

(H6) 存在正數η>0,使得對任意x≥η,t∈J,有f(t,x)>l,其中l>0,

證明 令δ=εl(1-2θ)/η,k0=maxG(s,s),0

由(H4)可知,存在正數r滿足0

其中

因此,對任意x∈?Kr,由(10)式、注1.1和注1.2知

故對于任意x∈?Kr,得‖Tx‖<‖x‖,由引理1.1有

(11)

由(H5)知,存在m>0,使得對任意的x>m,t∈J有

令

則

取

從而對任意x∈?KR,由(10)式、注1.1和注1.2知

故對于任意x∈?KR,得‖Tx‖<‖x‖,由引理1.1有

(12)

另外,對任意

由上面的推導可知

(13)

另一方面,由(11)～(13)式并結合不動點指數的可加性

和

定理得證.

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2010 MSC：35Q55

(編輯 李德華)

Multiple Positive Solutions tom-point Boundary Value Problem for a Class of Impulsive Differential Equations

LI Haiyan1, WANG Min2, LI Limei3

( 1.JinchengCollege,SichuanUniversity,Chengdu611731,Sichuan; 2.DepartmentofPersonnel,CollegeofChengduTechnological,Chengdu611730,Sichuan; 3.CollegeofMathematicsandSoftwareScience,SichuanNormalUniversity,Chengdu610066,Sichuan)

Using the fixed point index theory, in this paper, we study them-point value problem for a class of impulsive differential equation. A new result for the existence of multiple positive solutions is given.

fixed point index theory; impulsive differential equation;m-point boundary value condition; completely continuous; positive solutions

2016-01-27

四川省教育廳自然科學青年基金(12ZB108)

李海艷(1983—),女,講師,主要從事非線性泛函分析的研究,E-mail:jclihaiyan2012@163.com

O175.8

A

1001-8395(2017)04-0457-07

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.04.005