基于Bayes的導彈加速貯存試驗參數估計

盧明章，宋永軍，趙海軍

?

基于Bayes的導彈加速貯存試驗參數估計

盧明章，宋永軍，趙海軍

（中國人民解放軍91049部隊 博士后科研工作站，山東 青島 266102）

目的研究導彈加速貯存壽命試驗中的參數估計問題。方法擬在小子樣的情況下，設計一系列反復連續的導彈加速貯存仿真試驗，將前一試驗的結果作為之后試驗的先驗分布，基于Bayes方法建立導彈加速貯存壽命模型，給出貯存壽命參數估計算法，探討導彈貯存可靠性評估方法。結果算例給出貯存壽命參數的極大似然估計，利用RBA方法對參數估計值進行降偏修正，得出參數的修正似然估計值，給出導彈貯存可靠度。給出的參數估計在均方誤差意義下結果較優。結論序列試驗Bayes算法易行、精度高，可有效對導彈貯存可靠性進行評估。

導彈；貯存試驗；極大似然估計

導彈在經過一段時間的貯存、檢測和故障修復等狀態后，其內部材料性能的變化是導致貯存可靠性下降的主要原因[1—2]。由于工業部門的工作重點放在導彈的任務飛行可靠性，其環境試驗中心主要是開展“導彈飛行環境模擬與驗證試驗”，而針對導彈貯存環境適應性研究較少[3]，這就需要研究惡劣環境下的導彈加速貯存壽命試驗，對導彈的貯存可靠性進行有效評估。迄今為止，我國對原材料、元器件的加速貯存試驗已經有了一些研究成果及應用信息，國內有專家在導彈的加速貯存試驗方面做了探索性的工作，并給出了整機（伺服機構）加速貯存試驗的工作程序[4]，但真正開展整機加速貯存試驗的工程應用不多，缺乏相應的試驗方法[5]。

文中擬在故障數據有限的情況下，設計一系列反復連續的導彈加速貯存壽命試驗，基于Bayes估計，將前一試驗的結果作為之后試驗的先驗分布，得出導彈貯存壽命的參數估計。該研究對小子樣情況下（對導彈進行統計試驗時，由于受到樣本少、試驗成本高、且貯存期比較長，一般不可能對其進行連續不斷的檢測，從而導致試驗數據較少）如何對導彈貯存壽命進行有效的評估具有實際意義。

1 加速貯存壽命試驗方法

加速壽命試驗的最優設計包括：在給定應力范圍、樣品數量等條件下，如何確定加速應力水平的大小及如何分配各應力水平下樣品的數量，以獲得對可靠性指標更準確的估計[6—7]。Bayes方法解決統計問題的思路不同于經典統計方法，其顯著特點就是在保證決策風險盡可能小的情況下，盡量應用所有可能的信息，包括現場試驗的信息、現場試驗前的信息，而真正的現場試驗數據可以是很少的[8—9]。

導彈加速貯存壽命試驗如圖1所示。一共進行個加速貯存試驗，每個試驗中包括個子試驗。每次試驗之后，未淘汰裝備貯存可靠度提升，通過這一系列反復的試驗，可以給出導彈貯存可靠度。利用每次試驗中第子試驗中的壽命密度函數()，可以計算出貯存可靠度()。將每次加速貯存試驗得出的可靠度值連起來，就可以建立貯存壽命模型。加速貯存壽命試驗步驟如下：假定導彈裝備壽命服從威布爾分布；試驗目的是為了得出故障率和平均剩余壽命MTTF，在小子樣條件下，合理的參數值是未知的，就需要求出其后驗分布，進行參數估計；在小子樣條件下，很難保證參數估計值的無偏性，要對估計值進行修正，以保證可信性；基于Bayes理論，在試驗中，上一階段得出的后驗分布作為下一階段試驗的先驗分布。

圖1 加速貯存試驗

2 導彈貯存壽命模型

2.1 參數分布

導彈加速貯存試驗符合浴盆曲線中的早期故障規律，通常用威布爾分布來描述這一時期部件壽命分布規律，此時<1，威布爾分布的失效率是單調遞減的[10]。因此，假設部件壽命服從威布爾分布(,)，部件壽命的概率密度函數為：

滿足≥0，>0，0<<1時，

部件壽命的期望值為()，平均剩余壽命MTTF（Mean Time to Failure）為：

(2)

代入式(1)，可得期望值為：

此外，可得方差為：

(4)

將式(2)代入式(4)，可得：

因此，貯存壽命參數的概率密度函數()可以通過下列步驟得出：

(6)

若是總體均值的一個無偏估計，是總體方差的無偏估計，由公式可計算出的值。既然，，，根據式(6)，和的測量值可用來推導。此外，根據式(1)，利用平均剩余壽命可計算出參數的值，參數和可以得出：

若進行小子樣試驗，為樣本數，利用統計分析可計算出樣本均值和方差。

2.2 先驗分布

2.3 后驗分布

利用貝葉斯估計來推導參數的后驗分布，假設0為先驗分布，1為后驗分布，為似然概率。由貝葉斯分析所得的后驗分布也是一個參數為和的威布爾分布。

在一系列試驗中，一些部件會發生故障，一些會生存下來，此時的失效率遵循二項分布。

(10)

因此，壽命函數的后驗分布服從威布爾分布：

在第一個試驗中不需要對參數值進行修正，從第二個開始，試驗的先驗分布即為最后試驗的后驗分布。在每一個試驗里，可用式(9)—(11)直接計算出后驗分布。

2.4 貯存可靠度

如前所述，在每個試驗中壽命函數被修正，每個試驗中的后驗分布即為下一試驗的先驗分布，導彈貯存可靠度可由式（12）得出：

將每個試驗的后驗分布統計起來，最后可以建立貯存可靠性增長模型。3個試驗得出的3種失效率模型如圖2所示，可以看出，失效率和失效率方差一步步降低。

3 參數估計

3.1 極大似然估計

參數和的估計值得到之后，部件壽命服從威布爾壽命分布。根據密度函數可得第個試驗階段中第個子試驗的第個樣本壽命的極大似然函數為：

3.2 參數估計修正

針對小子樣條件，文獻[12]提出了一種Reduces Bias Adjustment(RBA)方法，對壽命參數的估計值進行降偏差修正，并利用蒙特卡羅仿真驗證了可用性，而且樣本數越大，無偏性越好。

威布爾分布的參數至關重要，決定著樣本失效率和方差的大小，為了降低參數值的偏離度，式(14)可變為：

校正后的極大似然函數為：

4 實例仿真

以某型導彈發動機為例，進行仿真分析。由于裝備試驗耗資較大，抽樣量一般都比較小。實現小子樣加速貯存可靠性建模，反映裝備實際情況，是非常必要的。

首先要確定參數和的初始值，由于發動機的樣本數很小，值可以適當取高一點。提取5組發生在安全點火裝置的故障數據，其貯存時間分別為314，289，357，378，415 h。其壽命服從威布爾分布，進行仿真試驗，條件如下。

1）進行5組試驗（=5），每組試驗包含5個子試驗（=5）。

2）5組仿真試驗參數和初始值為：(314, 0.9)，(289, 0.86)，(357, 0.75)，(378, 0.56)和(415, 0.2)。

3）5組試驗中樣本的平均壽命為618.3，827.1，1134.8，1329.3，1780.5 h。

4）當樣本的壽命小于試驗用時，即將樣本視為故障。

5）采取定時截尾試驗，5組試驗用時為700，700，700，300，5 h。

仿真結果如圖3所示，可以看出，可靠性隨試驗的進行而逐步得到增長。

圖3 仿真結果

5 結論

1）Bayes算法易行、精度高，該加速貯存試驗參數估計方法可有效對導彈貯存可靠性進行評估。

2）算例給出了貯存壽命參數的極大似然估計，利用RBA方法對參數估計值進行降偏修正，得出參數的修正似然估計值。文中給出的參數估計在均方誤差意義下結果較優，算法中對壽命參數估計值的修正也很重要。

[1] 張建榮, 孫臣良, 冷江. 海防導彈貯存可靠性研究淺談[J]. 海軍航空工程學院學報, 2004, 19(4): 463-466.

[2] 劉天放, 吳進煌, 劉海波, 等. 導彈貯存可靠性試驗中右刪失數據的分布選擇方法[J]. 四川兵工學報, 2015(1): 91-94.

[3] 洪亮, 胡小國, 崔旭濤. 海軍導彈環境適應性試驗條件建設方案研究[J]. 裝備環境工程, 2012, 9(6): 97-99.

[4] 李久祥. 整機加速貯存壽命試驗研究[J]. 質量與可靠性, 2004(4): 14-17.

[5] 陳兵, 李星. 加速壽命試驗技術在國內外的工程應用研究[J]. 強度與環境, 2010, 37(6): 31-38.

[6] CHERNOFF H. Optimal Accelerated Life Designs for Estimation[J]. Technometrics, 1962,4(3): 223-235.

[7] MIL-STD-810G, Test Method Standard for Environmental Engineering Considerations and Laboratory Tests Test[S].

[8] 徐廷學, 甄偉, 陳紅. 基于Bayes理論的導彈貯存可靠性試驗研究[J]. 海軍航空工程學院學報, 2006, 21(6): 672-674.

[9] WALLS L, QUIGLEY J. Building Prior Distributions to Support Bayesian Reliability Growth Modeling Using Expert Judgement[J]. Reliability Engineering and System Safety, 2001, 74: 117-128.

[10] KUMAR U D. 可靠性、維修性與后勤保障——壽命周期方法[M]. 劉慶華, 宋寧哲, 譯. 北京: 電子工業出版社, 2009.

[11] LAWLESS J F. Statistical Models and Methods for Lifetime Data[M]. New York: John Wiley & Sons, Inc, 1982.

[12] Abemethy R B. An Irish Odyssey Leads to Improved Maximum Likelihood Estimates[M]. WeiiullNEWS, 14 “ Edition. North Palm Beach: Wes Fulton, Torrance, 1999.

Estimation of Parameters for Missile Accelerated Storage Life Tests Based on Bayes Theory

LU Ming-zhang, SONG Yong-jun, ZHAO Hai-jun

(Postdoctoral Programme of PLA, No. 91049 Troop, Qingdao 266102, China)

Objective To study the question of parameter estimation for missile accelerated storage life tests. Methods A series of repeated and continuous accelerated simulation tests for missile storage life were designed with insufficient data. The results of previous test was taken as prior distribution of the next test. An accelerated storage life model of missile was established based on Bayes method to propose the algorithm of estimation of storage life parameters and discuss methods for reliability assessment of missile storage. Results The example provided the maximum likelihood estimation of parameters. The value of estimation was adjusted with RBA method and the storage reliability of missile was proposed. The mean square errors of the new estimation are less. Conclusion Bayes algorithm of sequence tests is simple and precise, which will be applicable to evaluation of missile storage reliability.

missile; storage test; maximum likelihood estimation

10.7643/ issn.1672-9242.2017.08.005

TJ760.6+23

A

1672-9242(2017)08-0025-05

2017-03-21；

2016-04-15

飛行器海上測量與控制聯合實驗室開放基金資助項目（FOM2014OF15）

盧明章（1959—），男，山東蓬萊人，博士，高級工程師，主要研究方向為固體火箭發動機及壽命可靠性。