淺析分數(shù)階微分方程三點共振邊值問題正解的存在

王婷+++張麗娟+++達佳麗

【摘要】本文運用了增算子的不動點理論，研究了分數(shù)階微分方程三點邊值問題在共振條件下正解的存在性。

【關(guān)鍵詞】分數(shù)階微分方程 共振 增算子的不動點定理 正解

【基金項目】甘肅省高等學(xué)校科研項目，編號（2015B-203）。

【中圖分類號】G64 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）32-0133-02

1.引言

分數(shù)階微分方程描述了許多領(lǐng)域的現(xiàn)象，而現(xiàn)在有許多方法來解決分數(shù)階微分方程的可解性，關(guān)于共振條件下分數(shù)階微分方程邊值問題的可解性的研究也比較多。

目前對于分數(shù)階微分方程共振問題的研究工作比較少。Wang Feng在文獻[1]中運用了增算子的不動點理論研究了常微分方程邊值問題。

（p（t）u（t）′）′=f（t，u（t））

u′（0）=0，u（1）=u（？濁i）

在共振條件 ai=1下正解的存在性。

本文運用文獻[1]中的方法對分數(shù)階微分方程

Du（t）=f（t，u（t），Du（t），…，Du（t））+e（t），t∈（0，1）

Iu（0）=Du（0）=Du（0）=0，u（1）=？啄u（？濁） （1）

在共振條件？啄？濁=1下解得存在性。

2.預(yù)備知識

下面我們簡單地介紹一些記號和一些需要用到的工具定理。

記X、Y是Banach空間，K是X的錐，K∩domL≠？覫.

考慮方程 Lx=Nx （2）

其中L：dom（L）？奐X→Y線性算子，N是非線性算子。如果dimKerL=codimlml（L）<+∞且lm（L）在Y中是緊的，則L是Fredholm算子，同時存在連續(xù)的投影算子P：X→X和Q：Y→Y，使得lm（P）=Ker（L），Ker（Q）=lm（L），從而X=Ker（L）？茌Ker（P），Y=lm（L）？茌lm（Q）.由以上可以知道L|dom（L）∩Ker（p）：dom（L）∩Ker（P）→lm（L）是可逆的。現(xiàn)在定義它的逆算子為Kp：lm（L）→dom（L）∩Ker（P），如果QN（？贅）是緊的并且Kp（l-Q）（？贅）是緊的，則N在？贅是L-緊的。

記H=L+J-1P，從而H：dom（L）？奐X→Y是一個線性的雙射，并且存在有界逆滿足。

（JQ+Kp（I-Q））（L+J-1P）=（L+J-1P）（（JQ+Kp（I-Q））=I

引理2.1[1]令L|dom（L）∩Ker（p）=Lp，如果N在？贅是L-緊的，并且J是從投影算子P到Q的線性同構(gòu)，則Nx+J-1Px=H，這里=（P+JQN）x+Lp-1（I-Q）Nx=0+1，并且是唯一的。

引理2.1在文獻[1]中有具體的證明。我們由文獻[1]知道K1=H（K∩dom（L））是Y上的錐，并且以下兩條等價：

（1）P+JQN+Kp（I-Q）N：K∩dom（L）→K∩dom（L）；

（2）N+J-1P：K∩dom（L）→K1.

性質(zhì)2.1 F是一個列緊集當(dāng)且僅當(dāng)F一致有界并且等度連續(xù)。

定義2.1 令u0，v0∈K∩dom（L）是方程（2）的下解和上解，即Lu0≤Nu0，Lv0≥Nv0

定理2.1 令L：dom（L）？奐X→Y是一個零指標的Fredholm算子。K是X上的正規(guī)錐。u0，v0∈K∩dom（L），u0≤v0和N：[uo，vo]→Y是連續(xù)的并L-緊的，且滿足 （c1）uo，vo 是方程（2）的下解和上解； （c2）：N+J-1P：K∩dom（L）→K1是增算子，從而方程（2）在[u0，v0]上有一個最小的不動點u？鄢和最大的不動點v？鄢；并且u？鄢=un，v？鄢=vn，其中：

un=（L+J-1P）-1（N+J-1P）un-1，vn=（L+J-1P）-1（N+J-1P）vn-1，n=1，2，3…

以及 u0≤u1≤u2≤…≤un≤vn≤…≤v2≤v1≤v0.

3.主要結(jié)果

由定理2.1可以證明問題（1）在共振條件下正解的存在性。

令X=C[0，1]∩In-a0+u（0）=Du（0）=…=Du（0）=0，u（1）=？啄u（？濁），Du（0）≥0}，Y=C[0，1].

對于任意的x∈X，y∈Y定義它們的范數(shù)分別為

‖x‖X=maxt∈[0.1]x（t），‖y‖Y=maxt∈[0.1]y（t）

可以證明X和Y都是Banach空間。

令K={x∈X：x（t）≥0，t∈[0，1]}因為 X上的范數(shù)是單調(diào)的， 所以由文獻[2]中的定理1.1.1可知K是X上的正規(guī)錐。

定義L：dom（L）→Y，Lu（t）=Du（t），其中dom（L）=X∩C[0，1].這里C[0，1]是一個Banach空間。

定義N：K→Y.Nu（t）=f（t，u（t），Du（t），…Du（t）

則邊值問題（1）可以轉(zhuǎn)化為Lu=Nu，u∈K∩dom（L）.

引理3.1 如果L是如上定義的線性算子，則有：

Ker（L）={u∈X：u（t）=cta-1，c∈R}，

lm（L）={y∈Y：（l-s）a-2y（？子）d？子ds=0}.

以上引理的證明詳情見[2]， 并且有dimKerL=codimlmL=1成立， 顯然L是一個零指標的Fredholm算子。

注：由邊界條件和共振條件知道， 線性算子Lu（t）=Du（t）是不可逆的，所以分數(shù)階微分方程三點邊值問題（1）是一個共振問題。endprint

定義投影算子P、Q分別為

P：X→X，Pu=Du（0）t，Q：X→X，Qy=г0（1-s）y（？子）d？子ds，（3）

其中г0=>0.

進一步，定義線性同構(gòu)為J：lm（Q）→lm（P）為. J（c）=cta-1，c∈R

定義L|dom（L）∩Ker（p）：dom（L）∩Ker（P）→lm（L）的逆算子Kp：lm（L）→dom（L）∩Ker（P）為

Kpy=ly（t）=（t-s）y（s）ds （4）

因此對于y∈lm（L）有（LKpy）=Dly=y.

對于u ∈dom（L）∩Ker（P），有

（KpL）u（t）=Dlu（t）=u（t）+c1ta-1+c2ta-2+…+cnta-n，c1，c2，…cn∈R.

考慮到u∈dom（L）∩Ker（P），Du（0）=0和邊界條件，可以得到 c1=c2=…=cn=0，從而（KpL）u（t）=u（t），即Kp=（Ldom（L）∩Ker（P））-1.

由性質(zhì)2.1得到以下引理.

引理3.2 Kp（l-Q）Nu：dom（L）→dom（L）是全連續(xù)映射。

定理3.1 假設(shè)下列條件成立

（H1）存在u0（t），v0（t）∈K∩dom（L），使得u0（t）≤v0（t），且

Du0（t）≤f（t，u0（t），Duo（t），…Du0（t）），t∈[0，1]，

Dv0（t）≤f（t，v0（t），Dv0（t），…Dv0（t）），t∈[0，1]，

（H2）對于任意的x，y∈K∩dom（L）

f（t，x（t），Dx（t），…Dx（t））-f（t，y（t），Dy（t），…Dy（t））≥-（Dx（0）-Dy（0））

則問題（1）在[u0，v0]上有一個最小的不動點u？鄢和最大的不動點v？鄢.定義{un（t）2}為un（t）=（гota-1-）（1-s）a-1

[f（t，un-1（？子），Dun-1（？子），…Dun-1（？子）+Dun-1（0）]d？子ds+（t-s）a-1f（t，un-1（？子），Dun-1（？子），…Dun-1（？子））ds.

同理可定義vn（t），其中t∈[0，1]，n=1，2，3，…，則{un（t）}和{vn（t）}在[0，1]一致收斂于u？鄢（t），v？鄢（t），并且u0≤u1≤u2≤…≤vn≤…≤v2≤v1≤v0.

證明 由條件（H1），得到Lu0≤Nu0，Lv0≥Nv0所以定理2.2中的條件（c1）滿足。

由引理3.2知在K∩dom（L）的任意有界開集？贅上N是L-緊的。

對每個x∈K∩dom（L），可以得到：

P+JQN+Kp（I-Q）Nu=Du（0）ta-1+（1-s）a-2f（t，u（？子），Du（？子），…Du（？子））d？子ds+（t-s）a-1[f（s，u（s），Du（s），…Du（s））-г0（1-s）a-2f （？子，u（？子），Du（？子）…Du（？子））d？子ds]ds≥0.

從而p+JQN+kP（I-Q）（K）？奐K，由預(yù)備定理中的等價條件知N+J-1P：K∩dom（L）→K1

由條件（H2），不難證明N+J-1P：K∩dom（L）.→K1是單調(diào)遞增的算子，所以定理2.2中的條件（C2）也滿足。且（L+J-1P）-1（N+J-1P）un-1（t）=un（t）.定理2.2中的條件都滿足，得證。

參考文獻：

[1]Bai Z.B.，On positive splutions of a nonlocal fractional boundary value problem.Nonlinear Anal.TMA 72，916-924（2010）.

[2]Han X L；Wang T.：The existence of nonnegative solution for a nonlinear fractional muti-point boundary value problem at resonance.Int.J.Dendprint