滲透數學模型思想，促進學生思維發展

劉軍吉

【摘要】“數學建模”的過程就是實現“數學化”的過程。在小學數學課堂上，教師需要有效把握滲透數學模型思想的四大原則：激發學生探究欲望的原則、搭建臺階輔助支撐的原則、歸納概括抽象表達的原則、激發主動有序研究的原則。只有長期堅持在課堂上滲透數學模型思想，才能促進學生的數學思維向更高級別發展，聯結數學解題與生活實際的關系。

【關鍵詞】模型思想 思維發展核心素養

《義務教育數學課程標準（2011年版）》中把數學模型思想歸結為數學十大核心內容之一，強調建立數學模型思想就是讓學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。同時，還提出要幫助學生建立數學模型思想的過程，即從現實生活或者具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果、并討論結果的意義。可見教師在課堂上滲透數學模型思想有助于學生初步形成模型思想，提高學習數學的興趣和應用意識。

因此，我結合自己的數學課堂，努力在數學建模教學中建立以下四個基本原則：激發學生探究欲望的原則，搭建臺階輔助支撐的原則，歸納概括抽象表達的原則，激發主動有序研究的原則。

一、在數學模型中設計生活情境，激發學生探究欲望的原則

《義務教育數學課程標準（2011年版）》中指出：數學源自生活，又高于生活。當我們把生活實際問題帶進數學課堂時，不僅能讓學生感受到數學有用，還能激發他們的探究欲望和學習欲望。如在教學蘇教版六年級上冊第一單元“長方體和正方體表面積”的知識后，我結合生活中的包裝設計了操作實踐活動課“表面積的變化”，讓學生借助學具操作，探索發現多個相同正方體、長方體拼搭后表面積的變化規律，體驗解決問題的基本過程、方法與策略，并且總結出包裝問題的模型。

師：同學們，今天我們來研究包裝拼搭問題中“表面積的面積”，想一想現在老師給你2個小正方體，它們的表面積有什么變化。

生：用2個小正方體可以拼成1個長方體，我們發現可以左右疊，也可以上下疊。當它們拼出來后和原來相比少了2個面的面積。

教師結合學生的回答畫表格板書：

師：如果有3個、4個、5個這樣的正方體拼成一個長方體，表面積又會怎么變化呢？請你自己拼一拼，并填寫表格。

（學生自己操作填表，教師巡視并指導）

師：同學們，在你們剛才的動手拼搭中，你們覺得正方體個數和減少的表面積之間有什么規律？

生：如果把n個正方體排成一排拼出長方體后，我們發現表面積會減少2（n-1）個面的面積。

師：剛才老師看到同樣是4個正方體拼出來的長方體，但是它們的形狀不一樣，表面積會怎么樣呢？

生：我們用4個正方體拼出了兩種不同的長方體，一種長方體的表面積減少了6個面，另一種長方體的表面積減少了8個面。

師：看來把多個正方體拼成長方體的拼法不同，拼成后減少的面的面積也不相同。重疊的面越多，拼成的長方體的表面積就會越小。

在這個教學片段中，教師設計的數學活動由易到難，符合學生的年齡特點和認知水平，讓他們在動手操作中不僅體會到成功的喜悅，還建立了正方體個數和減少的表面積、同樣的正方體和減少的面不同等數學模型，為后續探究更多的正方體個數積累了數學活動經驗。

二、在數學模型中拓展數學題組，搭建臺階輔助支撐的原則

數學模型思想的育人價值在于為學生搭建適合他們數學思維的輔助支撐，并且激發學生頭腦中已有的生活經驗，讓他們感受到隱含抽象的數學問題，總結歸納出數學模型。如在教學蘇教版四年級的“植樹問題”一課時，教師把“兩端不栽”“兩端都栽”“只栽一端”這幾種數學模型以題組的形式呈現，讓學生在比較和遷移中發現這兩種相似的數學模型之間的聯系和區別。

師：[課件出示題目：綠化隊要在相距60米的小路一邊植樹（兩端都栽），相鄰兩棵樹之間的距離是3米。一共要栽多少棵樹？]同學們，請你先讀一讀題目，再解決這道題目。

生1：60+3=20（棵）。因為60米里面有3個20米，所以答案是20棵。

生2：60+3+1=21（棵）。我通過畫圖數出來答案是21棵，而且我們知道60米里面有20個3米，我們還要算上最后1棵樹。

（師帶著全班同學一起畫圖數數，并總結出“兩端都栽”的數學模型）

師：如果用一個公式來表示“兩端都栽”的棵數，你會怎么表示？

生：棵數一間隔數+1。

師：剛才我們解決了“兩端都栽”的數學模型，現在我們還看看“兩端都不栽”又會是怎么樣呢？[課件出示題目：綠化隊要在相距60米的小路一邊植樹（兩端不栽），相鄰兩棵樹之間的距離是3米。一共要栽多少棵樹？]

生：60+3-1—19（棵）。因為這道題目兩端都不栽，當我們種到最后一棵時，正好是末端，這棵樹不能算。

師：現在我們一起想一想，剛才我們在解決“兩端都不栽”的問題時，你發現了什么？

生：棵數=間隔數-1。

在這個教學片段中，教師通過把相近的“植樹問題”以數學題組的方式呈現，層次清晰，引導學生由表及里地認識“植樹問題”的各種規律，通過前面鋪墊里的數學規律讓學生發現一一間隔排列的規律，在此基礎上，讓學生自己畫一畫的過程中發現兩端都栽的情況下會多1，兩端都不栽的情況會少1。這樣的數學活動設計既能讓學生更加直觀地發現不同類型“植樹問題”之間的異同點，還能為學生解決數字更大和更加復雜的“植樹問題”提供數學公式模型。

三、在數學模型中增加動手操作。歸納概括抽象表達的原則

動手操作的實踐活動有助于讓數學活動更加直觀且富有個性，還能讓教師更加清晰地看到學生的思考過程。因此，我們在數學課堂教學時倡導動手操作、自主探索、合作交流等學習活動，讓學生在彼此交流中碰撞出數學的思維火花，努力構建出讓更多人能理解的數學模型。如我在教學蘇教版六年級下冊“圓錐的體積”一課時，在課堂上讓學生借助圓柱、長方體、正方體和圓柱等學具進行倒滿沙子的活動，從而發現圓錐和圓柱體積之間的關系。endprint

師：同學們，我們在上一節課學習圓柱的體積時用了轉化的數學思想方法，這一節課我們要來學習圓錐的體積，想一想你們能把它轉換為我們學過的什么圖形？

（學生有的說長方體，有的說正方體，有的說圓柱等）

師：接下來，請大家4人一組，利用桌上的學具進行操作，研究出圓錐體積的計算方法。

（教師巡視，并觀察學生的操作情況）

生1：我們組選擇了長方體和圓錐進行裝沙，我們把圓錐里的沙倒進長方體容器里，沒有發現什么聯系。

生2：我們組選擇了圓柱和圓錐進行裝沙，把圓錐里的沙倒進圓柱里，我們倒了3次才把圓柱裝滿。所以我們組認為圓柱的體積是圓錐體積的3倍，我們知道了圓柱的體積，想要知道圓錐體積只要除以3就可以了。

師：那請大家仔細觀察這個圓柱和圓錐的底面和高，你覺得它們有什么關系？

生：這個圓柱和圓錐的底面積相等，高也相等。

師：看來等底等高的圓柱和圓錐，圓錐的體積是圓柱的體積的1/3。那是不是所有等底等高的圓柱和圓錐都有這樣的規律呢？

（學生動手挑選等底等高的圓柱和圓錐進行驗證，發現它們之間都存在著圓錐體積是圓柱體積的1/3的規律）

師：在數學上，我們可以用字母來表示圓錐體積，就是V=1/3。

在這個教學片段中，教師為學生提供了豐富的操作學具，學生需要從這些學具里挑選出自己需要的學具進行創造性學習，而且在動手操作中他們通過不斷的猜想、分析、調整、試驗、總結尋找到最合適的學具，從而歸納概括出圓錐體積和圓柱體積之間的聯系。這樣的教學設計讓學生充分體驗到建立數學模型的過程，豐富了他們的數學活動經驗。

四、在數學模型中嘗試化大為小，激發主動有序研究的原則

“化大為小”是數學建模中的一種數學思想方法，通過把題目中的數目變小有助于尋找到解決問題的突破口，從而建立這種題型的數學模型，為解決更復雜的題目服務。如在教學蘇教版四年級“烙餅問題”一課時，教師以大數目問題激發需求，與學生一起討論怎么烙餅產生的時間最少，最終優化概括出“烙餅問題”的數學模型。

師：同學們，在生活中我們經常會遇到一些數學問題。比如，煮雞蛋的時候，煮一個雞蛋要8分鐘，那煮8個雞蛋需要多少分鐘？

生1：我會一個一個地煮，八八六十四，所以煮8個雞蛋需要64分鐘。

生2：我想把8個雞蛋要放在一起煮，只要8分鐘就夠了。因為放在一起煮就會節約很多時間。

師：今天我們就來研究像煮雞蛋、烙餅這樣的問題。（課件出示題目：同時烙2張餅，兩面都要烙，每面3分鐘，100張要多少時間？）同學們，我們先一起來讀一讀題目，再想一想你會怎么做。

生：我覺得要算100張要多少時間有點難，我們可以先算出烙2張餅需要多少時間，再去算烙100張需要多少時間。

師：好，我們從小數目開始研究，先研究烙2張的情況，請你在練習本上算一算。

生：我們可以兩張餅一起烙，先烙第一張的正面和第二張的反面，需要3分鐘；再烙第二張的反面和第一張的正面，也需要3分鐘。所以一共要6分鐘。

師：如果烙3張餅，你們覺得最少要多少分鐘呢？

生：9分鐘。我是這樣烙餅的，先烙餅第一張的正面和第二張的反面，需要3分鐘；再烙餅第一張的反面和第三張的正面，需要3分鐘；最后烙餅第二張的正面和第三張的反面，也需要3分鐘。所以一共要9分鐘。

在這個教學片段中，教師出示大數目的烙餅問題，學生巧妙地化大為小，從最簡單的烙餅2張、3張開始，在數的累加過程中發現奇偶數的規律，即當烙餅張數n為偶數時，所需要的最少時間是n÷2×6=3n；當烙餅張n為奇數時，所需要的最少時間是9+（n-3）÷2×6=3n。最終在學生頭腦中建立“烙餅問題”的數學模型。

總之，在小學數學課堂上教師雖然滲透模型思想是一個長期且綜合的過程，但是要有意識地讓學生在探索的知識的過程中去經歷數學建模的過程。這樣既能讓學生感覺到數學是看得見摸得著的，還能讓學生利用數學建模的思想去解決更多的數學問題，加深對數學知識的理解和掌握，觸及數學模型的數學本質，最終培養學生良好的數學思考力和數學學習習慣。endprint