基于學生認知水平的有效教學
——對“分數的簡單應用 例1”一課的教學思考與實踐

浙江杭州市蕭山區夾灶第三小學 李國良

基于學生認知水平的有效教學
——對“分數的簡單應用 例1”一課的教學思考與實踐

浙江杭州市蕭山區夾灶第三小學 李國良

“分數的簡單應用”是人教版數學（2014）新增的學習素材，它是在學生學習了分數的初步認識和分數的簡單計算后的內容。用兩個課時完成此內容的教學：第一課時是通過剪、涂、擺等教學活動，讓學生體會到把一些物體進行平均分，其中的1份或幾份如何用分數來表示，明確部分與整體的關系；第二課時是從分數的意義入手，在操作與觀察中知道求一個數的幾分之幾可以用整數除法、乘法知識來解決。

筆者仔細分析了教材內容，發現例1主要是從一個物體認識分數拓展到一些物體認識分數，它是學習例2的基礎與起點。但對剛接觸分數的三年級學生來說在認知上是否存在著一定的困難？存在著怎樣的困難？筆者覺得有必要對學生進行一次學前調查，找準教學的起點及認知的困惑點，以期達到事半功倍的教學效果。

一、教學前測的思考

教學前測是指在學習新知前的一段時間里，通過書面、訪談、問卷等調查方式對學生進行相關知識儲備和相關方法的預先測試，然后進行有針對性的分析并設計教學活動，提出相應的課堂教學策略。

1.教材的比較與分析

為使前測內容更加符合學生的認知規律，更好地反映教材的特點，筆者翻閱了北師大版、蘇教版、浙教版等相關教材，發現這三套教材在安排這一內容時結構上與人教版基本一致，但呈現的順序、內容上有一定的區別（具體見右表）。

教材版本涉及年級知識基礎 分數簡單應用教材呈現人教版 三上分數的初步認識分數的簡單計算分數的簡單應用1.涂色部分（1份）是一張大正方形紙的幾分之幾（平均分成4份）2.把一張大正方形紙剪成四個小正方形，涂色部分（1份）如何用分數表示北師大版三下認識分數（分一分例2）分數的簡單計算1.用紅色、黃色、藍色進行涂色，分別表示一張大正方形紙（平均分成9份）的幾分之幾2.把一張大正方形紙剪成9個小正方形，紅色、黃色、藍色各占9個小正方形的幾分之幾三上 分數的初步認識分數的簡單計算 ——蘇教版把一盤桃子（6個）平均分給2只小猴，每只小猴分得這盤桃子的幾分之幾三下 分數的初步認識（二）浙教版 三下認識幾分之一認識幾分之幾（一）分數的簡單計算認識幾分之幾（二）1.綠色部分是一個大正方形（平均分成9份）的幾分之幾2.把9個小正方形看成一個整體（有淡的紅的底色），綠色和黃色分別是9小正方形的幾分之幾

從上表中我們發現：“分數的簡單應用”在年級安排上，除人教版安排在三上年級，其他均安排在三下年級；在內容結構上，北師大版直接安排在分數的初步認識里，中間沒有安排分數的簡單計算，其他版本均不是從一個物體直接過渡到一個整體；在內容呈現上，除蘇教版外，其他是以一個大正方形剪開呈現4個或9個小正方形，來學習一份（幾份）占一個整體的幾分之一（幾），蘇教版和浙教版有盤子或淡淡的底色把一些物體看作一個整體的進示。

2.內容的確定與思考

對四個版本的教材進行比較后，我們能清楚地發現教材要讓學生掌握的內容和要點，于是擬定了三個大題6個小題作為前測的內容（如下表）：

題次 內容 意圖想一想，填一填，涂色部分用哪個分數表示（1）這兩個小題的設計，主要是了解學生能否從一個物體的 1 2 1（ ）理由： 過渡到一些物體的12，符合人教版從一個正方形到一些正方形的過渡（2）（ ）理由：（）下面你能用分數表示嗎2兩小題加了框，能清楚地把8個小圓和12個正方形看作一個整體，從直觀的角度知道涂色部分與整體的關系；也迎合了蘇教版和浙教版的編寫意圖想一想，涂一涂（）3涂出這些圓片的14這兩題屬于新課教學后的練習，意圖在于與第二題進行比較，直觀感知與動手操作哪種教學手段更符合學生的認知規律，更正確把握學生的學習起點。涂出這些三角形的13

這三題調查的主要目的是：通過觀察、動手實踐、對比分析等學習手段，了解學生從一個物體認識分數到一個整體認識分數的前概念情況，明確學生是否了解運用集合中的部分元素與整個集合的關系也可以用分數來表示，便于在教學中正確、有效地把握學習起點，收到事半功倍的效果。

二、前測結果的分析

為使本次調查更具廣泛性與代表性，筆者選擇了城區學校和所屬鄉鎮中心小學三年級各2個班共164名學生進行調查，要求10分鐘內獨立完成，檢測后統計結果如下表：

題次 正確人數正確率 典型錯誤 錯誤歸因分析1（1） 160 97.6% 沒有填出 這些學生的智力相對低下，學習能力較差1（2） 62 37.8% 1 8。忽視了對平均分成4份思維定勢對學生有一定的干擾，他們只看到有8個圈，涂色部分是2個，自然而然想到2 2（1） 72 43.9% 2 8的關注；也缺少對平均分成幾份，每份是它的幾分之一的理解2（2） 76 46.3% 4 12與上一題的錯誤原因基本一致，缺少對平均分成3份，一份是它的13（1） 121 73.8% 4個 主要是對 1由一個正方形變成2個小正方形后，在視覺上造成沖突，沒有看清中間的分割線，理解為獨立的小正方形，缺少整體意識3的深入思考4、 1 3的理解不3（2） 125 76.2% 3個 夠，造成涂的個數發生偏差

從統計結果中，我們可以發現：第1題第（1）小題屬于分數初步認識的鞏固性練習，回答的正確率較高。由此可見，一個物體（圖形）的對絕大部分學生來說已不存在認知上的困難；而第（2）小題錯誤率高達62.2%，顯然學生不能把兩個正方形看作一個整體來理解，這一知識點應該作為本節課的重點和難點。第2題兩個小題是把一些圓和一些小正方形看作一個整體，涂色部分用合適的分數來表示，它們的錯誤率也較高，但與第1題的第（2）小題相比正確率有所提高，說明在一些圖形的外面加一個圈（框）對正確理解一個整體有一定幫助，在實際教學中有必要借助這一素材。這也印證了蘇教版、浙教版采用盤子和淡淡底色的道理。第3題兩個小題雖然屬于應用性的題目，但它們的正確率明顯比第2題高，這種“倒置”現象的出現也有著其原因：一些物體平均分成若干份，得到每份是幾個，可以用物體個數除以份數得到每份數。很多學生并不是把它們看作一個整體來進行平均分，一份是整體的幾分之一，由此，學生的大腦中還不能把部分與整體進行有效溝通，也就是部分占整體的幾分之一（幾）還是比較模糊的。

三、前測后的教學實踐

通過對前測中相關數據的整理、統計與分析，初步了解了學生對從一個整體來認識分數的認知情況，也看到了其中存在的問題。因此，筆者認為這節課必須在以下兩個維度上有所突破：一是通過剪，實現了“1”由一個物體到一組物體的自然過渡，把一些物體平均分成這樣的一份或幾份也可以用分數來表示，借助分數的含義理解部分與整體的關系；二是通過多重對比、分析，讓學生體會到當“1”是一些物體時，如何用分數表示部分與整體的關系，初步認識到一個物體與一個整體有相同的地方，就是平均分成幾份，分母就是幾、其中的幾份分子就是幾。

課始，多媒體出示把一個正方形平均分成4份的圖形（下左圖），設問：涂色部分能用哪個分數來表示，為什么？這樣不僅復習了把一個圖形平均分成4份，1份是它的也讓學生回憶了分數產生的緣由，由此引入新課。隨后課件復制左圖，用剪的方法依次出示下中、右圖（并消失中間圖），設疑：現在這幅圖的涂色部分還能用分數來表示嗎？為什么？學生出現了兩種聲音：

生1：不能用分數來表示，因為現在已經剪開了，變成一個個獨立的小正方形，可以用數1來表示。

此時，教室內一片寂靜，但充滿了疑惑。慢慢有小手舉起：

通過上述兩次比較，學生在認知上已對一個圖形的幾分之一過渡到一個整體的幾分之一有了突破，對部分量與整體量之間的關系有了初步感知，為下面的深入學習奠定了基礎。于是，筆者布置自主探索的作業，用兩種不同的方法表示出，以此來鞏固一個物體作為單位“1”和一些物體作為單位“1”的區別與聯系。

第二層次：相同個數用不同的分數表示及相同分數呈現不同個數的比較，深化部分與整體的關系。

奧蘇伯爾認為：學習就是要增加新舊知識間的內在聯系，以利于學生有意義地學習，使新知變得易于理解，并促進學習遷移，提高學習效率。通過第一層次的學習，學生對于把一個整體平均分成幾份，每份占整體的幾分之一，已經在大腦中建構起來。

接著，課件依次出示下面三幅圖。設問：涂色部分能用哪個分數來表示？為什么？

于是，教師對比性質疑：為什么三幅圖的涂色部分都是1個三角形，卻分別用來表示呢？經過思考、討論，學生明白第一幅圖是2個三角形中的1個，第二幅圖是3個三角形中的1個，第三幅圖是5個三角形中的1個。背后的本質意義就是它們的整體不同，平均分成的份數不同，但涂色部分都表示了整體中的一份。通過上述對比練習，理解了只要把一個整體平均分成幾份，其中的一份就是幾分之一，幾份就是幾分之幾。隨后，課件出示下左邊三幅圖，要求在每幅圖中把其中的涂上顏色，學生依次涂出了下右邊的圖形。教師再次設疑：為什么同樣都涂，它們的數量不相同，都表示了它們的部分嗎？

生1：第一個是把4個圓片看作一個整體，平均分成4份，表示這樣的3份，所以是3個；第二個是把8個圓片看作一個整體，平均分成4份，表示這樣的3份，所以是6個；第三個是把12個圓片看作一個整體，平均分成4份，表示這樣的3份，所以是9個。

生2：其實，這道題就是4÷4×3=3個，8÷4×3=6個，12÷ 4×3=9個。

生3：因為整體不同，都是平均分成4份，表示這樣的3份，所以個數會不一樣。

通過這一層次的練習，學生知道了相同數量可以用不同的分數來表示，不同的數量也能用相同的分數來表示，其原因就是整體與等分的關系，進一步明確一個整體和平均分在分數中的重要性。

第三層次：不同分數相同長度的比較，提升部分與整體的關系。

有了上述兩個層次的研究，筆者認為有必要對這節課的核心知識部分與整體的關系進行一個拓展。于是，出示了如下題目：

經過獨立思考、操作、比較，發現它們所表示的長度是一樣的。教師提問：現在你有什么想法或疑問？學生紛紛說出了自己的困惑：為什么不同的分數在這兩個線段圖中所表示的長度是一樣的？通過討論、分析，發現第一題要求把1米平均分成5份，表示這樣的3份；而第二題要求把3米平均分成5份，表示這樣的1份。雖然平均分成的份數都一樣，但是它們各自的整體不同，第一題以1米的長度作為一個整體，第二題以3米的長度作為一個整體，在變與不變中充分感知部分與整體中的辯證關系。

學生通過自己的操作實踐與觀察反思，充分結合分數的本質，理解具體情境中的數量關系，為今后進一步學習分數的意義、分數與除法的關系奠定基礎，也為下一節課“分數簡單應用 例2”的學習做一定的鋪墊。

上述教學思考與實踐中，筆者體會到，教學前測的設計應充分考慮文本所隱含的思想與文本所要體現的價值取向。而了解學生的認知起點正需要有“接地氣”的教學前測，通過對前測的深入分析與思考，設計出貼近學生實際、符合數學本體性知識的教學方案，讓課堂教學有厚度、有深度，更好地體現“生本教育”理念。?