善用變式教學，提升幾何學習能力

廖發遠

摘要：運用變式教學，可以鞏固幾何概念的教學；還可以層層深化知識；善用模仿變式，能夠更好地培養歸納探究能力；利用拓展變式，提升分析問題能力。

關鍵詞：圖形變式；遞進變式；模仿變式；拓展變式

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2017）07-0084

變式教學是數學課堂教學的一種重要形式，變式教學有利于學生思維的發展，幫助學生理解、鞏固教學內容。在教學中加強變式訓練，還可以促使學生的思維向多層次、多方向發散，在問題的解答過程中培養學生歸納、創新的能力，從而真正把學生能力的培養落到實處。在課堂教學中，注重圖形的變式鞏固概念教學、遞進式的變式、關注運動中的變式、注重類比變式，能夠有效地促進學生對知識的理解，提升幾何分析的能力。

一、注重圖形變式，鞏固幾何概念教學

數學概念是反映現實世界的空間形式和數量關系的本質屬性的思維形式。正確理解數學概念，是掌握數學知識的前提。幾何概念是教學中的難點，需要把文字語言轉化為圖形語言，不少學生存在困難。注重圖形變式，可以幫助學生加深對概念的理解。

例1. 北師大版數學教材七年級（下）同位角的概念，教材中是這樣描述的：“如圖2—12，具有∠1與∠2這樣位置關系的角稱為同位角。沒有準確描述，當然也沒有要求學生死記硬背。但是把在幾何圖形轉化為代數數量關系，并不是一件容易的事。不少學生，只會就題論題，而無法靈活運用知識。教材上以如圖1的形式呈現同位角，看似很簡單的問題，如果變換一個圖形，部分程度較差的學生可能無法辨認同位角。所以，在教學過程中，我們把圖形變換一種形式，仍然考查同位角概念。如圖2，

雖然只是一個簡單的圖形變式，但是卻讓學生對知識的理解有一種豁然開朗的感覺，不再局限于概念的一種形式，而是對知識有一種全方位的理解和掌握，完成了對概念的理解從片面向全面轉化。

二、運用遞進變式，層層深化知識

運用遞進變式教學，教師可以從簡單問題引入，層層遞進，由淺入深，由簡到繁，循序漸進，螺旋上升，有利于學生對問題本質的深刻理解，進而掌握解題規律，突破教學中的難點，有利于學生形成良好的數學認知結構。它可以激發學生積極思考，深入探究，可以成為培養學生思維能力的重要手段。

例2. 如圖，AB=CD，AD=CB，試說明：△ABD≌△CDB。

此例題中，除了運用了AB=DC，AD=CB外，還用到了BC是公共邊這一隱含在圖形中的條件。由此引導學生尋找全等的條件應該注意到隱含于圖形中的條件，如公共邊，公共角，對頂角相等，讓學生簡單體會兩個三角形全等判別方法的應用。

由于這是《三角形全等的條件》第一課時，學生初次學習兩個三角形全等判別方法，根本沒有思路，為了讓學生更快地學會運用三角形全等的判別方法，設置一組變式訓練，以一個條件變式為主線，引導學生層層深入，構建條件證明全等。

變式1：如圖，D是線段BD1的中點，AB=CD1，AD=CD

試說明：△ABD≌△CD1D.

變式中，把BD是公共邊這一條件進行變式，變為“D是BD1的中點”這一條件，那么BD=D1D需要提前證明，引導學生學習另一種確定三角形全等條件的方法“已證”，事半功倍。

為了更深入地學會確定三角形全等的條件，再做一次變式。

變式2：如圖，點B1，D在線段BD1上，且BB1=D1D，若AB=CD1，AD=CB1，試說明：△ABD≌△CD1B1。

變式中，條件“D是線段BD1的中點”變為“BB1=D1D”，根據等式基本性質1，BB1+B1D=D1D+B1D，即BD=D1B1，開辟了確定兩個三角形全等條件的新思路，為以后解決類似問題做了很好的示范。

綜上所述，運用遞進變式，保持了總體學習方向的延續性，有效鞏固知識。同時重點知識遞進變式，層層深入，幫助學生逐步提升能力。

三、善用模仿變式，培養歸納探究能力

幾何運動類型的問題，通常都是在一個簡單圖形的基礎上進行變式，變式后的問題，通常可以模仿基本問題的解決方法。所以要熟練運用模仿變式，首先必須歸納基本問題的解答思路、解答原理和解答方法。設計模仿變式的問題，也是培養學生歸納能力的良好途徑。

例3. 如圖1，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，連接AE，BD。

（1）試猜測線段AE和BD的數量和位置關系，并說明理由。

（2）若△BCE繞著點C旋轉一定角度，如圖2，其余條件不變，（1）中結論還成立嗎？說明理由。

此例題中，圖1是特殊的情況。圖2是由圖1變化而來，圖形類似，方法也非常相近，總結（1）的方法，可以為解答（2）提供思路。解答（1）時用到知識點和方法有：①用SAS證明△ACE≌△DCB；②延長AE交BD于點H，用轉化的思想，把求∠DHE轉化為與∠ACE對比；③利用全等三角形對應角相等可得∠EDH=∠CAE，根據對頂角相等可得∠DEH=∠AEC，④根據三角形內角和定理可以得到∠DHE=∠ACE=90°。解答（2）時，仿照①用SAS，可以證明△ACE≌△DCB；仿照②，把求∠DHF的問題轉化成∠ACF對比；仿照③，運用全等三角形對應角相等和對頂角相等的知識，可得∠FDH=∠CAF，∠DFH=∠AFC；仿照④，根據三角形內角和定理可以得到∠DHF=∠ACF=90°。

總之，解答模仿類型的變式問題，應該首先在簡單、基本的問題中總結知識點和方法，然后模仿總結歸納所得，一一對照，可以比較容易地解答變式后的問題。

四、利用拓展變式，提升分析問題能力

數學的變式不是一成不變，研究的方法也在不斷發展，通過拓展性的變式，可以提升學生分析問題的能力。endprint

例4. 在正方形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，點P在線段BC上（不含點B），∠BPE=■∠ACB，PE交BO于點E，過點B作BF⊥PE，垂足為F，交AC于點G。

（1）當點P與點C重合時（如圖①）。求證：△BOG≌△POE；

（2）通過觀察、測量、猜想：■= ▲ ，并結合圖②證明你的猜想；

（3）把正方形ABCD改為菱形，其他條件不變（如圖③），若∠ACB=α，求■的值。（用含α的式子表示）

本例中，求（2）中■的在（1）中沒有鋪墊。因此應該引導學生在圖①中分析求■的思路。根據經驗，求■的值需要利用三角些相似，在圖①中以BF，PE為對應邊的三角形無法確定。繼續探究，①由∠BPE=■∠ACB以及BF⊥PE，可得BF=■BG，②把■轉化為■，③利用ASA可證△BOG≌△POE，從而得出BG=PE，④■=■=■。

根據以上研究，解決問題（2）顯然需要構造以PE為一邊的全等三角形。因此過點P作PM∥AC，交BG于點M，交OB于點N，仿照①由∠BPE=■∠ACB=■∠BPM以及BF⊥PE，可得BF=■BM；仿照②把■轉化為■；仿照③利用ASA可證△BNM≌△PNE，從而得出BM=PE；仿照④■=■=■。

問題（3）可以仿照（2）的思路解答，即過點P作PM∥AC，交BG于點M，交OB于點N。仍然可以利用∠BPE=■∠ACB=■∠BPM以及BF⊥PE的條件，得出BF=■BM；但是這里不存在全等關系，根據圖形背景的變化，由全等關系變為相似關系，即△BMN∽△PEN，可得■=■=tanα。因此■=■=■tanα。

善于拓展變式教學，能更好地培養學生的創新能力，大大提高學生分析問題、解決問題的能力。

總之，在數學課堂教學中，遵循學生認知發展規律，根據教學內容和目標加強變式訓練，對鞏固基礎、培養思維、提高能力有著重要的作用。教學實踐證明，注重概念變式，可以幫助學生加深理解知識；運用遞進變式，可以層層深入學習知識；善用變式，可以培養學生歸納探究能力；利用拓展變式訓練，可以幫助學生提升分析問題的能力。最關鍵的是通過例題、習題變式，有利于克服“題海戰術”的重復訓練傾向，從而減輕學生的過重負擔，真正把能力培養落到實處。

參考文獻：

[1] 許靈飛.變式教學在初中數學教學中的應用[J].數學學習與研究，2010 （3）.

[2] 王怡蘊.淺談初中數學課堂教學中的變式教學[J].新課程學習，2012（5）.

（作者單位：福建省三明市梅列區第一實驗學校 365000）endprint