《萬(wàn)有引力與天體運(yùn)動(dòng)》中的兩個(gè)近似

吳本滔

摘要：萬(wàn)有引力和天體運(yùn)動(dòng)是高考中常考的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，這一類題目，由于公式的形式比較復(fù)雜，計(jì)算中得到的中間公式特別多，向心力的表達(dá)式也比較多，常常容易導(dǎo)致混亂而出錯(cuò)失分。本文結(jié)合例題對(duì)此展開(kāi)探討。

關(guān)鍵詞：萬(wàn)有引力；天體運(yùn)動(dòng)；兩個(gè)近似

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2017）07-0121

萬(wàn)有引力和天體運(yùn)動(dòng)是高考中常考的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，這一類題目，由于公式的形式比較復(fù)雜，計(jì)算中得到的中間公式特別多，向心力的表達(dá)式也比較多，常常容易導(dǎo)致混亂而出錯(cuò)失分。

例：已知地球半徑為R，表面重力加速度為g，一質(zhì)量為m靜止在赤道上的熱氣球（不計(jì)氣球離地高度）繞地心運(yùn)動(dòng)的角速度為ω0，在距地面h高處圓形軌道上有一顆質(zhì)量為m1的人造地球衛(wèi)星，設(shè)地球質(zhì)量為M，萬(wàn)有引力常量為G，求人造地球衛(wèi)星繞地運(yùn)行的角速度ω0。

有一位學(xué)生這樣解題：

對(duì)熱氣球：■=mω20R

對(duì)人造地球衛(wèi)星：■=m1ω2（R+h）

進(jìn)而得到：ω=■

這是典型的錯(cuò)誤解法，錯(cuò)在對(duì)萬(wàn)有引力與重力，萬(wàn)有引力與向心力的關(guān)系認(rèn)識(shí)模糊，理解混亂。

一、萬(wàn)有引力與重力的關(guān)系

如圖1，在太空中平行于赤道平面看地球，在地表緯度為θ的某處，有一物體m，把地球看作質(zhì)點(diǎn)，物體受到地球的萬(wàn)有引力F引指向球心，物體隨地球一起自轉(zhuǎn)所需的向心力F向必定垂直地球轉(zhuǎn)動(dòng)軸，這個(gè)力只能由F引沿垂直轉(zhuǎn)動(dòng)軸方向的分力來(lái)提供，F(xiàn)引的另一個(gè)分力就是物體的重力G0（如圖2）。

當(dāng)物體位置往高緯度處變化時(shí)，F(xiàn)向逐漸變小，G0逐漸變大，直到在極點(diǎn)即緯度θ=90°處（如圖3），F(xiàn)向=0，此時(shí)G0與F向大小相等方向相同。

當(dāng)物體的位置往低緯度處變化時(shí)，F(xiàn)向逐漸變大，G0逐漸變小，直到在赤道即緯度θ=0°處（如圖4），F(xiàn)引與其兩個(gè)分力、F向方向相同，都指向球心。因?yàn)槲矬w離轉(zhuǎn)動(dòng)軸最遠(yuǎn)，轉(zhuǎn)動(dòng)半徑最大（等于地球半徑R），所以F向達(dá)到最大，G0此時(shí)最小。

可見(jiàn)，當(dāng)物體在地球表面上，隨地球一起自轉(zhuǎn)時(shí)，重力只是萬(wàn)有引力的一個(gè)分力。緯度的增大，重力增大，緯度減小，重力減小。所以重力加速度g隨著緯度的增大而增大，隨著緯度的減小而減小。

如果物體在離地高h(yuǎn)的空中，物體已脫離地面，沒(méi)有隨地球一起自轉(zhuǎn)，地球?qū)ξ矬w的萬(wàn)有引力F引=■，這個(gè)力也是物體在空中受到的重力G0，F(xiàn)引、G0是同一個(gè)力，即G0=■。所以重力加速度g隨著高度的增大而減小。

原來(lái)，在地球表面上，物體隨著地球一起自轉(zhuǎn)時(shí)，重力只是萬(wàn)有引力的一個(gè)分力；在空中，重力和萬(wàn)有引力是同一個(gè)力。

已知地球自轉(zhuǎn)的角度ω0=7.27×10-5rad/s，地球半徑R=6.4×106m，可計(jì)算，在赤道的地面上，地球?qū)|(zhì)量為m的物體萬(wàn)有引力F引=■≈9.7mN物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力。F向=mω2R≈3.38m×10-2N可見(jiàn)，即使在赤道上，物體的向心力最大，也有F向遠(yuǎn)小于F引 ，因此萬(wàn)有引力的另一個(gè)分力物體的重力G0=F引-F向≈F引。

所以常常近似認(rèn)為：在地球表面上，物體m隨地球一起自轉(zhuǎn)時(shí)，重力近似等于地球?qū)ζ涞娜f(wàn)有引力，即mg=■。

二、向心力與萬(wàn)有引力的關(guān)系

如圖5，一顆人造地球衛(wèi)星在距離地面高h(yuǎn)處的圓軌道上繞地球運(yùn)行。這種情形，常常把衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)近似看作是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其圓心就是地球的球心。衛(wèi)星圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力由萬(wàn)有引力提供即F向=F引，展開(kāi)得到：

■=■，得v=■

mω2（R+h）=■，得ω=■

m■（R+h）=■，得T=■

抓住上述兩個(gè)近似，碰到涉及萬(wàn)有引力與天體運(yùn)動(dòng)類的問(wèn)題時(shí)，無(wú)論多么紛繁復(fù)雜，我們都容易理清思路，抓住問(wèn)題的本質(zhì)，順利解決問(wèn)題。

回到前面的例題。根據(jù)上面的兩個(gè)近似，問(wèn)題就很清晰了。

對(duì)熱氣球有：F引=■，F(xiàn)向=mω20R3，G0=mg，由第一個(gè)近似有：mg=■①。

對(duì)人造衛(wèi)星：由第二個(gè)近似有■=m1ω2（R+h）②

由①、②式得：ω=■

（作者單位：廣東省連平縣連平中學(xué) 517100）endprint