全等三角形中的探索型問題

仇金祥

全等三角形中的探索型問題

仇金祥

一、條件探索型

例1如圖1，點B、F、C、E在一條直線上，已知FB=CE，AC∥DF，請你添加一個適當的條件___使得△ABC≌△DEF.

圖1

【解析】要使△ABC≌△DEF，由FB=CE，AC∥DF，有BC=EF，∠ACB=∠DFE，所以由“ASA”可以添加∠B=∠E；由“AAS”可以添加∠A=∠D；由“SAS”可以添加AC=DF.

【點評】條件探索型問題是指結論給定，條件未知或不全，讓同學們分析探索使結論成立的條件.解條件探索型問題的一般思路是：從題目的結論出發，逆向追索，逐步探究，得到答案.

二、結論探索型

例2如圖2，四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，△ABO≌△ADO.下列結論：①AC⊥BD；②CB＝CD；③△ABC≌△ADC；④DA＝DC.其中所有正確結論的序號是_______.

【解析】由△ABO≌△ADO，可知AB=AD，∠BAO=∠DAO，∠BOA=∠DOA.而∠BOA+∠DOA=180°，∴∠BOA=∠DOA=90°，∴AC⊥BD，①正確；在△ABC與△ADC中，∵AB=AD，∠BAC=∠DAC，AC=AC，∴△ABC≌△ADC（SAS），∴CB＝CD，②③正確；但是不能得到BD垂直平分AC，因此DA=DC不能成立.故所有正確結論的序號是①②③.

圖2

【點評】結論探索題是指給出問題的條件，讓同學們根據條件探索相應的結論；或者相應結論的存在性需要同學們進行推斷，甚至要求同學們探索條件在變化中的結論.這類問題的解題思路是：充分利用已知條件或圖形特征，進行猜想、類比、聯想、歸納，然后經過論證做出取舍.

三、條件、結論探索型

例3如圖3，在△AEC和△DFB中，∠E=∠F，點A、B、C、D在同一直線上，有如下三個關系式：①AE∥DF，②AB=CD，③CE=BF.（1）請用其中兩個關系式作為條件，另一個作為結論，寫出你認為正確的所有命題（用序號寫出命題書寫形式：“如果……，那么……”）；（2）選擇（1）中你寫出的一個命題，說明它正確的理由.

圖3

【解析】（1）如果①②，那么③；如果①③，那么②；（2）選擇如果①②，那么③.證明：∵AE∥DF，∴∠A=∠D，∵AB=CD，∴AB+BC=BC+CD，即AC=DB，在△ACE和△DBF中，∵∠E=∠F，∠A=∠D，AC=DB，∴△ACE≌△DBF（AAS），∴CE=BF.選擇如果①③，那么②.證明：∵AE∥DF，∴∠A=∠D，在△ACE和△DBF中，∵∠E=∠F，∠A=∠D，EC=FB，∴△ACE≌△DBF（AAS），∴AC=DB，∴AC-BC=DB-BC，即AB=CD.

【點評】條件與結論開放探索題是指問題沒有明確的條件和結論，并且符合條件的結論具有多樣性，這類問題的解題思路是：將已知的信息集中分析，挖掘使問題成立的條件或特定條件下的結論，并進行證明或判斷.

（作者單位：江蘇省興化市缸顧中心校）