彈簧連接兩物體能共同做勻加速運動嗎

鄭 金(凌源市職教中心 遼寧 朝陽 122500)

彈簧連接兩物體能共同做勻加速運動嗎

鄭 金
(凌源市職教中心 遼寧 朝陽 122500)

利用多種方法對有關彈簧連接的兩個物體即彈簧雙振子直線運動問題進行定性分析和定量解答，探究了彈簧雙振子在兩種不同受力條件下的運動形式及規律.

彈簧連接體 勻加速運動 非慣性系 簡諧運動

常見一些有關彈簧兩端連接兩個物體在外力作用下一起做勻加速直線運動的錯題，而這種物理情境是難以實現的.對于由輕彈簧連接的兩個物體的直線運動按受力情況可分為兩種：其一是彈簧連接體中的一個物體受到恒定動力的作用，則系統的質心做勻加速直線運動；其二是彈簧連接體中的一個物體受到動力的作用而做勻加速直線運動.這兩種情形的彈簧連接體不可能共同做勻加速直線運動.下面分別進行探討.

1 彈簧連接體的質心做勻加速運動

若其中一個物體受到恒定動力的作用，則系統的質心做勻加速直線運動，那么質心可視為非慣性系.兩個物體相對于系統的質心做簡諧運動.通過定性分析每個物體的受力變化情況，根據牛頓第二定律判斷加速度變化情況，可大致畫出速度圖像.

【例1】(2009年高考江蘇卷)如圖1所示，兩質量相等的物塊A和B通過一輕質彈簧連接，B足夠長，放置在水平面上，所有接觸面均光滑.彈簧開始時處于原長，運動過程中始終處在彈性限度內.在物塊A上施加一個水平恒力F，在A和B從靜止開始運動到第一次速度相等的過程中，下列說法中正確的有( )

圖1 例1題圖

A.當A與B加速度相等時，系統的機械能最大

B.當A與B加速度相等時，A,B的速度差最大

C.當A與B的速度相等時，A的速度達到最大

D.當A與B的速度相等時，彈簧的彈性勢能最大

解析:圖2所示為光滑水平面上的彈簧雙振子，若m1=m2，則與圖1等效.通過分析兩個小球受力大小的變化情況以及速度和加速度的變化情況，可畫出質心和兩個物體的速度圖像如圖3所示.

圖2 彈簧雙振子中的一個振子受到恒力

圖3 A的質量等于B的質量時的速度圖像

曲線上某點切線的斜率表示加速度，畫一條豎直線表示某一時刻，與兩條曲線相交，過交點分別作兩條切線，當兩條切線平行時，對應的加速度相等，由圖可見，此時A，B的速度差最大，故選項B正確；由于拉力始終對系統做正功，機械能始終增加，不可能達到最大，故選項A錯誤；由于兩物體始終做加速運動，所以第一次速度相等時，二者的速度都達到最大，故選項C正確；由于速度相等時，沒有相對運動，則相對位移最大，即彈簧伸長量最大，因此彈簧的彈性勢能最大.或者從曲線包圍的面積表示相對位移可知，第一次速度相等時，兩個曲線之間的面積最大，故選項D正確.

在兩個物體拉伸彈簧過程中，相對位移一直增大，間距一直增大.要注意相對位移與間距的區別.如果是壓縮彈簧，雖然相對位移一直增大，但間距卻一直減小.相對位移表示彈簧的形變量，而間距表示彈簧某時刻的長度.從速度圖像可知，當二者速度相等時，加速度不相等；當二者加速度相等時，速度不相等.因此在恒力作用下的彈簧連接體系統不可能一起做勻加速直線運動.

還可從非慣性系的角度進行分析.系統的質心做勻加速直線運動，加速度大小為

在圖3中，傾斜直線表示質心運動的速度圖像，函數關系式為

由圖像形狀可知，當第一次速度相等時，A的加速度最小，B的加速度最大；對于第一次速度相等之前的圖像，若作兩條切線都平行于傾斜直線，則兩個切點的連線是傾斜的，表明不在同一時刻，由于連線的傾斜角大于90°，可知A的加速度先等于質心的加速度，B的加速度后等于質心的加速度，不可能同時等于質心的加速度.

下面定量分析彈簧連接體在恒力作用下的運動.

若兩個物體質量相等，則速度圖像關于過原點的傾斜直線對稱.開始彈簧處于原長時，物體B的加速度為零，物體A的加速度

系統質心的加速度

則物體A相對于質心的加速度即二者之差為

由于物體A相對于質心做簡諧運動，在t=0時刻的相對加速度取最大值

因此相對加速度隨時間變化的關系為

所以物體A的加速度關系式

如果兩個物體的質量不相等，那么速度圖像如何呢？選項C是否正確呢？或者說，兩個振子的速度與加速度跟其質量有何關系呢？首先進行定性分析.物體在相同外力作用下，質量越大，加速度越小，即速度增加得越慢，或者說，經歷相同的時間，達到的速度較小.由此可知，如果物體A的質量大于物體B的質量，則速度圖像如圖4所示，選項C一定正確.當物體A的質量小于物體B的質量時，速度圖像如圖5所示，可知當A與B的速度第一次相等時，A的速度已經不是最大值，此時選項C錯誤.下面進行定量分析.

圖4 A的質量大于B的質量時的速度圖像

圖5 A的質量小于B的質量時的速度圖像

若以物體B為參考系，則物體A相對于B做簡諧運動，畫出A相對于B的v′-t圖像如圖6所示.

圖6 A相對于B的速度圖像

在t1時刻，A相對于B的加速度為零，此時aA=aB，vA>vB.在t=0時刻，彈簧處于原長，在t=t2時刻，彈簧被拉伸至最長，由圖6可知，這兩個時刻A相對于B的加速度大小相等，方向相反.

左達蹲下身子，拿起一扎鈔票，用大拇指把鈔票一頭弄彎曲，然后略一松開，讓鈔票像被洗的撲克牌一樣翻卷著，發出一陣輕微的悅耳的脆響。然后，他把跟前的百元大鈔五扎一堆五扎一堆地一字排開，又一屁股坐在了臟臟的水泥屋頂上，他正要埋頭簽字，突然停下了，仰望著徐藝，一笑，道：“要不然，咱倆賭一把？”

為正值，由a1=a2得

若f

若假設為正值，則a1=a2不成立，只能為負值，由a1=-a2得

若m1>m2，則在t=t2時刻f

若m1F，表明A后來受到的合外力方向向左，則加速度先減小到零，再反向增大，即最后加速度小于零，那么速度先增大后減小，速度圖像如圖5所示.

由圖5可知，在A和B從靜止開始運動到第一次速度相等的過程中，當二者加速度相同時，A的速度大于B的速度；當二者速度相同時，加速度大小可能相等，但方向相反，因此不可能一起做勻加速運動.

2 彈簧連接體的一個物體做勻加速運動

若其中一個物體受到動力的作用而做勻加速直線運動，則該物體可視為非慣性系.如圖7所示，平板車沿水平方向做勻加速直線運動，若以平板車為參考系，則滑塊受到一個大小為ma,方向與a反向的慣性力，相當于等效重力，與豎直彈簧振子相似，由于豎直彈簧振子相對于懸點做簡諧運動的周期

與重力無關，因此，滑塊相對于平板車做簡諧運動，周期為

與慣性力無關.彈簧振子與小車的加速度可能某時刻相同，但不可保持加速度相同的穩定狀態.

圖7 彈簧連接體中的小車做勻加速運動

【例2】如圖8所示，升降機的天花板上懸掛一勁度系數κ=200 N/m的輕質彈簧，彈簧下端拴一個質量為2 kg的物體，若升降機自靜止開始，以1 m/s2的加速度勻加速上升，物體將如何運動？(取g=10 m/s2)

圖8 例2題圖

分析:升降機以1 m/s2的加速度勻加速上升，表明升降機所受合外力恒定，由于彈簧彈力是變力，因此升降機受到的牽引力不是恒力，那么整體受到的合外力不是恒力.若認為物體相對于系統的質心做簡諧運動則是錯誤的.而實際是物體在非慣性系中做簡諧運動，即物體相對于升降機做簡諧運動，當物體再次相對于升降機靜止時，彈簧伸長量達到最大，然后間距變小.二者的速度圖像如圖9所示.

圖9 升降機和物體的速度圖像

總之，對于彈簧雙振子系統，若其中一個物體受到恒力作用，則二者的運動都是勻加速直線運動與簡諧運動的合運動，不可能共同做勻加速直線運動，也不能說都做簡諧運動，而是各自相對于系統的質心做簡諧運動，或者說一個物體相對于另一個物體做簡諧運動，彈簧長度發生周期性變化，并非保持不變.若其中一個物體做勻加速直線運動，則該物體可視為非慣性系，那么另一個物體相對于非慣性系始終做簡諧運動.

1 張林海，黃振平.一道高考選擇題的定量計算.中學物理，2010(5)：26

2 張征印.奇思妙想 解惑答疑.數理天地，2011(5)：35

3 張曉紅.彈簧題的錯解剖析.中學物理，1999(5)：46

2016-06-02)