阻尼參數的測量*

姚關心 張彥華 曾宗康(安徽師范大學物理與電子信息學院 安徽 蕪湖 241000)

阻尼參數的測量*

姚關心 張彥華 曾宗康
(安徽師范大學物理與電子信息學院 安徽 蕪湖 241000)

通過解微分方程和微分等數學手段，給出了滑塊通過平衡位置的速度與阻尼因數之間的關系，并利用Origin軟件對實驗數據進行直線擬合，從而確定振動系統的阻尼因數及其他振動參數.該測量方法容易操作，實驗數據易得、可靠且處理簡單.

阻尼振動 振動曲線 阻尼因數

振動在自然界中廣泛存在，為了研究這方面的問題，我們常常研究物塊與彈簧構成的振動系統,以此獲得有用的結果.

將兩輕質彈簧的一端固定在滑塊上，另一端分別固定在氣墊導軌的兩端，我們在該氣軌上可以進行驗證簡諧振動的周期不變性、研究彈簧質量對振動周期的影響等實驗內容[1,2].由于空氣阻力的存在，氣軌上的滑塊是在沿氣軌做欠阻尼振動.為了反映空氣阻力對滑塊振動的影響，我們通常引進半衰期Th，弛豫時間τ,阻尼因數β,粘性阻尼常量γ等振動參數來描述氣軌上滑塊的阻尼振動.這些振動參數之間滿足一定的數學關系，我們可由滑塊振動周期T和其他任一振動參數導出其他振動參數.

現行的教材和文獻中給出的測量方法[2～6]主要有：(1)半衰期法；(2)弛豫時間法.這些方法中的半衰期測量和振動曲線描繪都存在一定的困難.本文利用嚴格的數學推導導出欠阻尼振動的速度表達式以及滑塊經過無阻尼振動的平衡位置速度與阻尼因數之間的關系，采用直線擬合數據處理方法，得到阻尼振動的阻尼因數β以及其他振動參數,并與擬合Tracker軟件獲得的振動曲線而得到的阻尼因數β

進行了比較.該測量過程簡單易行，數據易得、可靠且處理過程簡單，對大學物理實驗教學具有一定的借鑒作用.

1 阻尼振動參數的測量原理

1.1阻尼振動的動力學方程

圖1所示為氣軌上的滑塊振動系統，滑塊質量為m，其兩端分別連接勁度系數為κ1和κ2的輕質彈簧，以系統在無阻尼作用下的平衡位置(后稱平衡位置)為x軸坐標原點，水平向右為x軸的正方向，滑塊的動力學方程[2]可寫為

(1)

式中ω0為振動系統固有頻率，β稱為阻尼因數

圖1 氣軌上滑塊振動系統

1.2欠阻尼情況下的解及討論

x=Ce-βtcos(ωft+α)

(2)

式中

若t=0時,x=A0>0,v=0,關于C和α之間的關系可用下面兩個方程來表示

A0=Ccosα

(3)

C(-β)cosα-Cωfsinα=0

(4)

聯立式(3)、(4)可求得

(5)

(6)

將式(5)、(6)代入式(2)可得到彈簧振子的運動學方程，表達式可寫成

(7)

對式(7)兩邊求導可得到彈簧振子的速度方程為

(8)

當x=0時，即

或

將其代入式(8)可得到平衡位置的速度，其速率方程可表示成

v1=A0ω0e-βt1

(9)

v2=A0ω0e-βt2

(10)

……

vn=A0ω0e-βtn

(11)

式(9)～(11)中v1,v2,…,vn分別表示滑塊第一次、第二次……第n次經過平衡位置的速率，t1,t2，…,tn分別表示滑塊第一次、第二次……第n次到達平衡位置所需的時間.由式(7)可看出，阻尼振動中的滑塊每隔半個振動周期經過平衡位置一次，則式(11)可改寫為

(12)

對式(12)兩邊分別取常用對數有

(13)

2 實驗數據及數據處理

2.1實驗數據

實驗過程中，我們測得滑塊在氣軌上無阻尼作用下的平衡位置在75.97 cm處，在此處放置兩個光電門，一個光電門用來測量振動周期，另一個光電門用來測量平衡位置滑塊的速率.滑塊靜止釋放位置選擇在35.00 cm附近，通過數字計時計數測速儀結合兩個光電門一次性測得滑塊運動的周期(20個周期)和通過平衡位置的速率(20次)，共測量3次，測得實驗數據如表1～3所示.

表1 滑塊振動周期和經過平衡位置速率測量數據表(第一次)

表2 滑塊振動周期和經過平衡位置速率測量數據表(第二次)

表3 滑塊振動周期和經過平衡位置速率測量數據表(第三次)

表4 -n與ln vn數值對應表

續表4

2.2數據處理

圖2 ln vn與-n關系圖(第一次測量)

圖3 ln vn與-n關系圖(第二次測量)

圖4 ln vn與-n關系圖(第三次測量)

β1=(1.007±0.005)×10-2s-1

(14)

β2=(0.974±0.005)×10-2s-1

(15)

β3=(1.017±0.008)×10-2s-1

(16)

求平均值有

β=(1.000±0.006)×10-2s-1

(17)

實驗中，我們也同時測量了滑塊的質量m0=171.6 g和彈簧的質量m′=13.1 g，則振子質量可表示為

(18)

由于半衰期Th,弛豫時間τ,阻尼因數β,粘性阻尼常量γ,對數減縮λ,品質因數Q等之間滿足一定的數學關系[2]，則這些振動參數可分別表示為

λ=βT=1.536×10-2

(19)

(20)

γ=2mβ=3.520×10-3kg·s-1

(21)

(22)

(23)

3 實驗結果之間的比較

實驗中，我們采取了利用Tracker軟件分析氣墊導軌上彈簧振子阻尼振動的方法來驗證我們所提供的方法的可行性.我們在做上述3個實驗時，同時進行了拍攝，利用Tracker軟件如何處理視頻獲得實驗數據，具體步驟見文獻[3].圖5僅給出第三組實驗對應的阻尼振動部分曲線.

圖5 阻尼振動曲線(1)

由(7)式可以看出，阻尼振動的振幅呈單指數衰減，因此，我們可用單指數函數x=Ae-βt分別擬合曲線的極大值點，圖中的實線為擬合后得到的曲線.在數據處理中,我們也對上述振動曲線的極小值進行了單指數擬合，相關曲線如圖6所示，兩次擬合得到的參數A和β如表5所示.

圖6 阻尼振動曲線(2)

表5 振動曲線極大值和極小值單指數擬合參數記錄表

根據表格提供的數據可計算出

(24)

利用振動參數之間的關系，我們可以算出其他振動參數，這里不再一一列出.結合式(17)和式(24)計算結果看出，兩者結果非常接近，相對誤差約為0.8%.

4 結論

實驗中，用Tracker軟件或火花記錄儀準確測量阻尼振動曲線得到的實驗結果非常可靠，但測量起來比較麻煩，實驗裝置也較為復雜.我們采用的實驗方法主要是測量滑塊通過平衡位置的速度得到相關的阻尼因數等振動參數，而利用計時計數測速儀器結合光電門測量速度非常容易，且測量效率非常高，可以一次性完成.數據處理可利用Origin軟件進行直線擬合也比較簡單.同時，我們將實驗結果與Tracker軟件法測量結果作了一下比較，兩者結果的相對誤差在0.8%，這些充分說明我們實驗方法的可行性和可靠性.

1 方正華. 大學物理實驗教程(一級).合肥：中國科技大學出版社，2014.154～155

2 楊述武，趙立竹，沈國土．普通物理實驗1：力學、熱學部分(第4版)．北京：高等教育出版社，2007.95～99

3 王經淘,程敏熙,賈昱,等. 利用Tracker軟件分析氣墊導軌上彈簧振子的阻尼振動. 大學物理，2014(4):22～24

4 鐘莉,丁益民,黃嬌,等. 用DIS位移傳感器研究氣墊導軌上的阻尼振．物理實驗，2011,31(10):26～28

5 喻力華,陳昌勝,劉書龍,等. 用Matlab軟件模擬振動實驗. 大學物理實驗, 2011, 24(3):79～81

6 姚炯,沈小娟．物理課件中阻尼振動圖象的繪制．中國教育技術裝備， 2008(18):70～72

MeasurementofDampingParameters

Yao Guanxin Zhang Yanhua Zeng Zongkang
(College of Physics and Electronic Information, Anhui Normal University，Wuhu，Anhui 241000)

In this paper, the relationship between the slider’s velocity in balancing position and the damping coefficient was obtained through solving differential equations and differential. A linear fit was then applied to the experimental data by using the origin software, and the damping coefficient was determined including other vibration parameters. The method was easy to operate, and the experimental data is easy to be obtained and reliable, and the processing of the experimental data is very simple.

damped vibration; vibration curve; damping coefficient

2017-03-04)

*安徽省大學物理教學團隊項目，項目編號：2016jxtd049

姚關心(1973- )，男，博士，副教授，從事大學物理實驗教學工作.