判斷疊放體是否做相對運動的兩種方法

陸群豐(浙江省慈溪市楊賢江中學 浙江 寧波 315300)

判斷疊放體是否做相對運動的兩種方法

陸群豐
(浙江省慈溪市楊賢江中學 浙江 寧波 315300)

對疊放在水平面上的兩個物體在水平方向拉力作用下是否做相對運動問題進行了探討，提出了臨界拉力、臨界加速度的概念，導出判斷是否相對運動的條件.

相對運動 靜摩擦力 臨界拉力 臨界加速度

疊放在水平面上的物體，在拉力F的作用下，兩物體可能一起以相等的加速度運動，也可能分別以不同的加速度運動，兩物體之間有相對運動.本文通過引導和討論，介紹兩種判斷疊放體是否做相對運動的方法.

1 當拉力作用在疊放體的上層物體上時

1.1當兩物體一起以相同的加速度運動時拉力的取值范圍

如圖1所示，在粗糙的水平面上疊放著兩個質量分別為m1和m2的物體A和B，兩物體之間以及B與地面之間的動摩擦因數分別為μ1和μ2，現給上層物體A施加拉力F，使兩物體一起以相同的加速度運動，根據牛頓第二定律,對整體有

F-μ2(m1+m2)g=(m1+m2)a

(1)

對A

F-Ff=m1a

(2)

對B

Ff-μ2(m1+m2)g=m2a

(3)

圖1 作用力施加于上層物體

當兩物體一起運動時，物體之間的摩擦力Ff是靜摩擦力，應小于最大靜摩擦力，若把最大靜摩擦力按滑動摩擦力計算，則兩物體剛要發生相對運動時，有

F-μ1m1g=m1a0

(4)

其中a0是臨界加速度.對比式(2)可知加速度a>a0.

當兩物體一起運動時，考慮下層物體B的受力，一定有物體之間的最大靜摩擦力大于物體B與地面之間的最大靜摩擦力，即

μ1m1g>μ2(m1+m2)g

這是物體B能夠運動的力學前提.

可見，物體之間的靜摩擦力Ff應在范圍

μ2(m1+m2)g

以內.

由式(2)、(3)得

再結合靜摩擦力Ff的取值范圍，可知當兩物體一起運動時，拉力F的取值范圍是

(5)

小結1:若拉力作用在疊放體的上層物體上,可得如下結論.

(1)當拉力滿足式(5)時，兩物體一起以相同的加速度運動.

(2)當兩物體一起運動的加速度大于物體之間的臨界加速度(即a>a0)時，兩物體一起以相同的加速度運動.計算加速度的方法是式(1)，計算臨界加速度的方法是式(4).

1.2當兩物體以不同的加速度運動時拉力的取值范圍

如果在拉力F的作用下，兩物體分別以不同的加速度運動，即兩物體之間有相對運動時，根據牛頓第二定律,對整體有

F-μ2(m1+m2)g=m1a1+m2a2

(6)

對A

F-μ1m1g=m1a1

(7)

對B

μ1m1g-μ2(m1+m2)g=m2a2

(8)

根據以上討論，當

(9)

兩物體以不同的加速度運動.

根據實際物理情景，應有兩物體A和B的加速度a1>a2.

“假設兩物體一起以相等的加速度a運動”(強調：這種情況是為了做比較而假設出來的，把這個加速度姑且稱為虛擬加速度)，則滿足式(1).

對比式(6)和式(1)等號右邊，有

m1a1+m2a2=(m1+m2)a

可得

a1>a>a2

其中a1就是這種情況下的臨界加速度.

小結2:若拉力作用在疊放體的上層物體上,可得如下結論.

(1)當拉力滿足式(9)時，兩物體以不同的加速度運動.

(2)當兩物體一起運動的虛擬加速度小于物體之間的臨界加速度(即a1>a)時，兩物體以不同的加速度做相對運動，且上層物體的加速度、虛擬加速度和下層物體的加速度滿足關系a1>a>a2.計算虛擬加速度的方法是式(1)，計算臨界加速度的方法是式(7).

總結1:當拉力作用在疊放體的上層物體上時,可得如下結論.

(1)根據拉力判斷,若拉力小于臨界拉力

則兩物體以相同的加速度一起運動.若拉力大于臨界拉力F0，則兩物體以不同的加速度做相對運動.

(2)根據加速度判斷,若由式(1)計算得到的加速度大于由F-μ1m1g=m1a計算得到的加速度，則兩物體以相同的加速度一起運動.若由式(1)計算得到的加速度小于由式(7)計算得到的加速度，則兩物體以不同的加速度做相對運動，且上層物體的加速度、虛擬加速度和下層物體的加速度滿足關系a1>a>a2.

圖2 例1題圖

A．當F<2μmg時，A和B都相對地面靜止

C．當F>3μmg時，A相對B運動

解析：根據以上總結1，臨界拉力

選項B正確.B具有最大加速度時，由式(8)解得

點評:本題是2014年江蘇高考題，試題難度很大，據統計得分率最低，可是如果我們掌握以上結論，便能迎刃而解.

2 當拉力作用在疊放體的下層物體上時

2.1當兩物體一起以相同的加速度運動時拉力的取值范圍

如圖3所示，在粗糙的水平面上疊放著兩個質量分別為m1和m2的物體A和B，兩物體之間以及B與地面之間的動摩擦因數分別為μ1和μ2，現給B施加拉力F，使兩物體一起以相同的加速度運動，根據牛頓第二定律,對整體仍滿足式(1)，對A

Ff=m1a

(10)

對B

F-Ff-μ2(m1+m2)g=m2a

(11)

圖3 作用力施加于下層物體

當兩物體一起運動時，物體之間的摩擦力Ff是靜摩擦力，應小于最大靜摩擦力，若把最大靜摩擦力按照滑動摩擦力計算，則兩物體剛要發生相對運動時，有

μ1m1g=m1a0

(12)

對比式(10)可知，物體一起運動的加速度小于臨界加速度a0，即a

當兩物體一起運動時，一定有

F>μ2(m1+m2)g

當兩物體一起運動時，物體之間的靜摩擦力應在范圍Ff<μ1m1g以內.

由式(10)、(11)得

再結合靜摩擦力的范圍，可知當兩物體一起運動時，拉力的取值范圍是

F<(μ1+μ2)(m1+m2)g

小結3:若拉力作用在疊放體的下層物體上，可得如下結論.

(1)當

μ2(m1+m2)g

時，兩物體一起以相同的加速度運動.

(2)當兩物體一起運動的加速度小于物體之間的臨界加速度(a

2.2當兩物體以不同的加速度運動時拉力的作用范圍

如果拉力F較大，兩物體分別以不同的加速度運動，即兩物體之間有相對運動，根據牛頓第二定律則,對整體仍滿足式(6)，對A

μ1m1g=m1a1

(13)

對B

F-μ1m1g-μ2(m1+m2)g=m2a2

(14)

根據以上討論，當拉力

F>(μ1+μ2)(m1+m2)g

兩物體以不同的加速度運動，即兩物體之間有相對運動.

根據實際物理情景，應有兩物體B和A的加速度a2>a1.

“假設兩物體一起以相等的加速度運動” (強調：這種情況是為了做比較而假設出來的，把這個加速度姑且稱為虛擬加速度)，則有滿足式(1).

對比式(6)和式(1)等號右邊，有m1a1+m2a2=(m1+m2)a，可得a2>a>a1(其中a1就是這種情況下的臨界加速度).

小結4:當拉力作用在疊放體的下層物體上，可得如下結論.

(1)當F≥(μ1+μ2)(m1+m2)g時，兩物體以不同的加速度運動.

(2)當兩物體一起運動的虛擬加速度大于物體之間的臨界加速度(即a>a1)時，兩物體以不同的加速度做相對運動，且下層物體的加速度、虛擬加速度和上層物體的加速度滿足關系a2>a>a1.計算虛擬加速度的方法是式(1)，計算臨界加速度的方法是式(13).

總結2:當拉力作用在疊放體下層物體上時，可得如下結論.

(1)根據拉力判斷：若拉力小于臨界拉力

F0=(μ1+μ2)(m1+m2)g

則兩物體以相同的加速度一起運動；若拉力大于臨界拉力F0，則兩物體以不同的加速度做相對運動.

(2)根據加速度判斷：若由式(1)計算得到的加速度小于由式(13)計算得到的加速度，則兩物體以相同的加速度一起運動.

若由式(1)計算得到的加速度大于由式(13)計算得到的加速度，則兩物體以不同的加速度做相對運動，且下層物體的加速度、虛擬加速度和上層物體的加速度滿足關系a2>a>a1.

【例2】如圖3所示，物體A,B質量分別為m1=1 kg，m2=2 kg，兩物體之間以及B與地面之間的動摩擦因數分別為0.3和0.1，求以下兩種情況下兩物體的加速度：

(1)當施加在B上的拉力F為5 N；

(2)當施加在B上的拉力F為15 N.

解析：(1)由于滿足

F>μ2(m1+m2)g

所以B一定會被拉動.

根據以上知識，拉力F又滿足

F<(μ1+μ2)(m1+m2)g

可知兩物體一起以相等的加速度運動，物體之間是靜摩擦力.由式(1)解得

小于臨界加速度3 m/s2.

(2)由于拉力

F>(μ1+μ2)(m1+m2)g

因此兩物體運動的加速度不同，之間有相對運動，摩擦力是滑動摩擦力.由式(6)、式(13)解得

a1=3 m/s2a2=4.5 m/s2

很顯然，這兩個物體的加速度a2>a1.

“假設兩物體一起以相等的加速度運動” (強調：這種情況是為了做比較而假設出來的，因此加速度也是虛擬的)，則有滿足式(1)，解得

a=4 m/s2

這個假設出來的加速度介于兩物體的加速度之間.

【精彩習題鏈接】如圖4所示，在光滑水平面上有一質量為m1的足夠長的木板，其上疊放一質量為m2的木塊.假定木塊和木板之間的最大靜摩擦力和滑動摩擦力相等.現給木塊施加一隨時間t增大的水平力F=kt(k是常數)，木板和木塊加速度的大小分別為a1和a2，下列反映a1和a2變化的圖線中正確的是( )

圖4 習題題圖

解析：答案是A.在達到最大靜摩擦力前，摩擦力為靜摩擦力，木塊和木板相對靜止，以相同加速度運動，根據牛頓第二定律有

隨著時間的推移，拉力的線性增大，木塊和木板之間發生相對運動，根據總結1，本題加速度應滿足“上層物體的加速度、虛擬加速度和下層物體的加速度滿足關系a2>a>a1”，所以選項A正確.

2017-01-31)