尺度效應(yīng)
——大小各有優(yōu)勢

涂 泓(上海師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院物理系 上海 200234)

尺度效應(yīng)
——大小各有優(yōu)勢

涂 泓
(上海師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院物理系 上海 200234)

尺度表征物體的大小，尺度效應(yīng)則反映出一個(gè)物體的大小決定了它的許多物理特性.用量綱分析的方法，加上一些簡單的計(jì)算，解釋了各種物理量對尺度的依賴關(guān)系，并在此基礎(chǔ)上介紹生活中各種各樣的尺度效應(yīng).

尺度 特征長度 能量 比例

物體最明顯的特征就是它們的大小，而不同大小的物體也有著其明顯不同的物理特征.事實(shí)上，這種聯(lián)系并不像我們想象的那么簡單，而是有著深層原因的.物體的許多物理性質(zhì)、表觀現(xiàn)象，都是因其大小而產(chǎn)生的效應(yīng).

1 尺度及其表示

“尺度”通常指物體的大小，而且是用來區(qū)分大小不同而形狀卻一樣的物體的.以長方體為例，一個(gè)長方體的大小與其長、寬、高3個(gè)參數(shù)都有關(guān)，其體積等于三者的乘積.但對于形狀一樣的物體而言，長、寬、高之間的比例必須保持不變，這時(shí)候，只需要一個(gè)參數(shù)就完全決定了長方體的大小.比如，某個(gè)形狀一定的長方體，它的長度a，寬度b和高度c之間滿足確定的比例關(guān)系，可以寫成b=k1a，c=k2a，其中k1和k2為確定該長方體特定形狀的兩個(gè)常數(shù)，則體積V=abc=k1k2a3，可見，僅一個(gè)長度參數(shù)a就決定了該長方體的大小.通常把這個(gè)決定物體大小的唯一參數(shù)稱作“特征長度”，或者說，一個(gè)物體的尺度可以用它的“特征長度”來表示.

實(shí)際上，一個(gè)形狀一定的長方體的長、寬、高三者中的任意一個(gè)都可以選作它的特征長度.同樣，對于一個(gè)形狀一定的圓柱體而言，它的柱體長度和橫截面半徑之間的比例是確定不變的，所以長度和半徑兩者中的任意一個(gè)也都可以作為圓柱體的特征長度.一個(gè)球體的特征長度自然就是它的半徑了.其實(shí)，對于任何形狀的物體，總可以用一個(gè)特征長度來表征它的大小.

2 尺度和物理量

物體的許多物理量都與它的尺度密切相關(guān)，其中最基本的就是物體的體積、表面積和截面積.以L表示物體的特征長度，則物體的體積V與L的三次方成正比，即V∝L3.物體的表面積S與L的二次方成正比，即S∝L2，同樣，物體的橫截面積也是與L的二次方成正比的.

另外，由于物體的很多特性都直接或間接地與其體積、表面積或截面積相關(guān)，所以也就與其自身的尺度有著密切的關(guān)系了.比如，對于一個(gè)質(zhì)量分布均勻的物體，因其密度為恒量，所以物體的質(zhì)量M正比于體積，也與尺度L的三次方成正比，即M∝L3.又如，潮濕物體水分蒸發(fā)的快慢一般與其表面積的大小成正比，所以在其他條件不變的情況下，物體在單位時(shí)間內(nèi)蒸發(fā)掉的水分量m與其尺度L的二次方成正比，即m∝L2.還有一個(gè)簡單的例子就是電阻.以相同材料做成的形狀相似而大小不同的圓柱形均勻電阻為例，由于電阻值與長度成正比，而與截面積成反比，所以阻值的大小R與其尺度L的一次方成反比，即R∝L-1，也就是說，圓柱形尺度越大，其阻值反而越小.

正是由于尺度差別不僅僅是大小比例的簡單縮放，而是影響到物體的方方面面，因此尺度效應(yīng)可以說是無處不在.有些時(shí)候，我們明顯能發(fā)現(xiàn)物體的大小決定了它在某些方面占優(yōu)勢，在另一些方面卻處于劣勢，可謂“尺有所短，寸有所長”.

3 尺度效應(yīng)——大有大的優(yōu)勢

(1)大型動(dòng)物耐饑、耐寒能力強(qiáng)、壽命長

動(dòng)物體內(nèi)的熱量在不斷地通過身體表面排放出去，同時(shí)攝入的食物又在不斷轉(zhuǎn)化成能量，恒溫動(dòng)物通過維持輸入和輸出能量兩者之間的平衡而保持恒定的體溫.

熱量通過動(dòng)物表面釋放出去，從而與它的特征長度L的平方成正比，這就意味著動(dòng)物的散熱率和產(chǎn)熱率(即新陳代謝率)P應(yīng)該滿足

(1)

(2)

為了計(jì)算方便，我們將式(1)寫成等式的形式

P=CMα

(3)

logP=αlogM+logC

(4)

由于維持新陳代謝所需的能量來自食物攝入，因此式(2)相當(dāng)于告訴我們

(5)

(6)

由于新陳代謝率高，因此小型動(dòng)物常常因?yàn)榈貌坏阶銐虻氖澄锒媾R體溫過低的問題.此外，由于體型的限制，它每次吃不下很多食物，而是正比于它的體重M，于是它就不得不增加進(jìn)食次數(shù).許多大型動(dòng)物一天只需要吃一頓，而小動(dòng)物的生活卻是在不斷地覓食、進(jìn)食中度過的.比如說有一種叫做鼩鼱的小動(dòng)物，只要三小時(shí)找不到食物吃就會(huì)餓死.

事實(shí)上，小動(dòng)物每天由攝入食物所獲得的能量，大部分都用于維持體溫.相比之下，大型動(dòng)物更容易維持體溫，甚至常常因?yàn)轶w表來不及散發(fā)足夠的熱量而導(dǎo)致體溫過高.而這就是為什么寒冷地區(qū)以北極熊、海象、海豹這樣大型動(dòng)物為主.

正因?yàn)槭?2)告訴我們，越小的動(dòng)物新陳代謝活躍性越高，因此小型哺乳動(dòng)物呼吸頻率都很快，以獲得自己所需要的氧氣，而氧氣需要依靠血液傳輸，這又需要心臟跳動(dòng)泵血，因而小動(dòng)物心跳也很快，由此尺寸最終決定了動(dòng)物的壽命.例如，大象大約每分鐘呼吸6次，心跳30次，壽命40年；而老鼠大約每分鐘呼吸150次，心跳600次，壽命3年.經(jīng)過簡單計(jì)算，我們會(huì)驚奇地發(fā)現(xiàn)，它們一生中總的呼吸次數(shù)和心跳次數(shù)都大致相同.

(2)小蟲怕水

昆蟲不懼怕重力，它不但能毫無危險(xiǎn)地從高處落下來，還能不費(fèi)吹灰之力就附著在墻壁上或天花板上.不過，有一種力對于昆蟲而言，就如同重力對于大型動(dòng)物一樣可怕，那就是表面張力.一個(gè)物體從液體中出來時(shí)，由于表面張力而攜帶一薄層液體.假設(shè)這是一個(gè)半徑為r，質(zhì)量為M的球形物體，它所攜帶的水膜厚度為d，那么此時(shí)這些液體總質(zhì)量占該物體本身質(zhì)量的比例為

(7)

(3)大型哺乳動(dòng)物潛水時(shí)間長

(8)

抹香鯨的潛水時(shí)間為一個(gè)半小時(shí)左右，如此長的潛水時(shí)間，跟它的龐大體型是分不開的.一條中等抹香鯨的體重大約20 t，按照式(8)折合成一個(gè)體重60 kg的人，那么這個(gè)人的潛水時(shí)間應(yīng)該是12.98 min，而2015年的吉尼斯世界紀(jì)錄為18.06 min！

4 尺度效應(yīng)——小有小的好處

(1)小蟲不怕摔

(9)

從而得到

(10)

我們假設(shè)這個(gè)物體是一個(gè)半徑為r，密度為ρ物的球體，那么

(11)

舉例來說，小水滴的直徑約1 mm，因此其下落的終極速率為

(12)

(2)小動(dòng)物爬高更輕松

(13)

(3)細(xì)胞長不大

不同的生物體特征尺度從幾納米到數(shù)十米，其間可相差十個(gè)數(shù)量級，但構(gòu)成它們的細(xì)胞直徑卻大多在10～100 μm范圍內(nèi).當(dāng)細(xì)胞長大到一定程度時(shí)，它們就開始分裂，仿佛有什么因素限制了它們的尺寸.而這個(gè)限制因素，就是細(xì)胞作為代謝基本單位的主要功能之一——與外界交換物質(zhì)與能量.要維持細(xì)胞的正常代謝，就要保證有穩(wěn)定的物質(zhì)與能量通過細(xì)胞膜進(jìn)出細(xì)胞.以能量為例，假設(shè)細(xì)胞體積為V，面積為S，單位時(shí)間經(jīng)過單位面積細(xì)胞膜的能量(即能流)為Q，那么為了保持動(dòng)態(tài)平衡，在Δt時(shí)間內(nèi)通過細(xì)胞膜進(jìn)入細(xì)胞的總能量

W=QSΔt

(14)

應(yīng)該等于細(xì)胞內(nèi)消耗的總能量

W=ωVΔt

(15)

其中ω為細(xì)胞內(nèi)單位體積所消耗的能量，細(xì)胞正常運(yùn)作時(shí)這個(gè)值應(yīng)該保持不變.表面光滑的細(xì)胞滿足前文所說的V∝L3、S∝L2的關(guān)系，于是我們從式(14)、(15)不難得出

(16)

也就是說，當(dāng)細(xì)胞直徑L增大為原來的10倍時(shí)，單位時(shí)間經(jīng)過細(xì)胞膜單位面積的能量Q也要增大為原來的10倍.同理，此時(shí)單位時(shí)間經(jīng)過細(xì)胞膜單位面積進(jìn)入細(xì)胞的氧氣量也是原來的10倍，單位時(shí)間經(jīng)過細(xì)胞膜單位面積排出細(xì)胞的廢物也是原來的10倍.而細(xì)胞膜的生物性質(zhì)決定了這些值都存在著一定的上限.細(xì)胞為了維持最佳的能量、物質(zhì)輸運(yùn)，就必需限制其體積的大小.

從以上分析也可以看出，當(dāng)細(xì)胞不需要與外界交換物質(zhì)、能量時(shí)，就不會(huì)受到這些限制.這就是卵細(xì)胞可以長到很大的原因.世界上最大的細(xì)胞是鴕鳥蛋，直徑可達(dá)15～22 cm.另一方面，有些細(xì)胞需要與外界發(fā)生大量的物質(zhì)和信息交換，如神經(jīng)元.它們的表面具有許多突起，這樣就在不增大體積的前提下增大了相對表面積.

5 結(jié)束語

從本文的分析可見，尺度效應(yīng)是可以從理論上預(yù)見到的，而事實(shí)也很好地驗(yàn)證了這些理論預(yù)言.從尺度的視角去分析看待這個(gè)世界，其中大大小小都顯得合情合理.

1 Knut Schmidt-Nielsen. Scaling. Cambridge University Press, 1984

2 J. B. S. Haldane. On Being the Right Size. Oxford University Press, 1985

3 J. Maynard Smith. Mathematical Ideas in Biology. Cambridge University Press, 1968

4 T. W. K?rner. The Pleasure of Counting. Cambridge University Press, 2011

2017-02-22)