基于漸進(jìn)均勻化理論的復(fù)合材料力學(xué)性能預(yù)測(cè)*

張延林， 姜雪光

(東北林業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院， 哈爾濱 150040)

基于漸進(jìn)均勻化理論的復(fù)合材料力學(xué)性能預(yù)測(cè)*

張延林， 姜雪光

(東北林業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院， 哈爾濱 150040)

為了更好地預(yù)測(cè)復(fù)合材料的力學(xué)性能，以碳纖維增強(qiáng)木質(zhì)復(fù)合材料為研究對(duì)象，建立了漸進(jìn)均勻化理論的分析模型.利用小參數(shù)將宏、微觀(guān)兩尺度進(jìn)行耦合，將以小參數(shù)漸進(jìn)展開(kāi)的力學(xué)變量代入單胞控制方程，最終推導(dǎo)出復(fù)合材料等效彈性模量的求解方程.采用ANSYS軟件建立了復(fù)合材料的單胞模型，并在周期性邊界條件下對(duì)彈性模量進(jìn)行了預(yù)測(cè)分析.結(jié)果表明，與一般工程經(jīng)驗(yàn)相比，漸進(jìn)均勻化理論對(duì)復(fù)合材料的預(yù)測(cè)精度更高，且預(yù)測(cè)結(jié)果在一定范圍內(nèi)與物理實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合良好，驗(yàn)證了此理論的有效性.

漸進(jìn)均勻化理論； 復(fù)合材料； 有限元； 單胞模型； 雙尺度； 有效彈性模量； 平衡方程； 邊界條件

復(fù)合材料是由兩種或多種材料按一定規(guī)則經(jīng)加工復(fù)合而成的新型材料，通過(guò)結(jié)合不同材料的特殊性可設(shè)計(jì)出理想的材料.復(fù)合材料在物理和化學(xué)方面具有諸多優(yōu)點(diǎn)，因而廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域.由于復(fù)合材料在結(jié)構(gòu)和性能方面具有可設(shè)計(jì)性的特點(diǎn)，因此，復(fù)合材料制備前對(duì)材料性能進(jìn)行預(yù)測(cè)具有現(xiàn)實(shí)意義[1].

為了更好地設(shè)計(jì)和優(yōu)化復(fù)合材料，諸多專(zhuān)家學(xué)者提出了很多方法來(lái)對(duì)復(fù)合材料進(jìn)行分析，如自洽法、代表體元法、有限元法[2]與均勻化方法等.自洽法一般用來(lái)分析結(jié)構(gòu)較為簡(jiǎn)單的復(fù)合材料，對(duì)于具有復(fù)雜結(jié)構(gòu)的復(fù)合材料其解析公式的推導(dǎo)十分復(fù)雜，運(yùn)算量較大.代表體元法具有簡(jiǎn)單易行、適用范圍廣的特點(diǎn)，但和自洽法相比，缺少數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)，因而通常用于近似解分析.20世紀(jì)70年代由Babuska[3]等提出的均勻化方法得到了極大發(fā)展.近年來(lái)許多專(zhuān)家學(xué)者對(duì)均勻化理論展開(kāi)了研究工作.楊曉東[4]、劉貴立[5]等對(duì)顆粒增強(qiáng)復(fù)合材料的彈性模量進(jìn)行了較為準(zhǔn)確的預(yù)測(cè).Cai[6]、蔡園武[7]等基于漸進(jìn)均勻化理論對(duì)周期性板結(jié)構(gòu)進(jìn)行了分析，并對(duì)周期性板結(jié)構(gòu)的彈性模量和正六角蜂窩板的等效剛度進(jìn)行了預(yù)測(cè).歐陽(yáng)佳斯等[8]利用有限元分析法和ANSYS仿真軟件對(duì)均一波紋單向復(fù)合材料板的力學(xué)性能進(jìn)行了分析，并對(duì)其等效剛度進(jìn)行了預(yù)測(cè).張博明[9]、趙琳[10]等基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)和均勻化方法對(duì)復(fù)合材料層合板進(jìn)行了漸進(jìn)損傷分析，并預(yù)測(cè)了該層合板的強(qiáng)度，其預(yù)測(cè)結(jié)果和實(shí)驗(yàn)值吻合較好.

本文將漸進(jìn)均勻化方法應(yīng)用于碳纖維增強(qiáng)木質(zhì)復(fù)合材料的力學(xué)性能預(yù)測(cè)，利用有限元方法進(jìn)行數(shù)學(xué)求解.解決了復(fù)合材料分析過(guò)程中高階非線(xiàn)性化微分方程的計(jì)算問(wèn)題.從周期性分布的單胞入手，將宏、微觀(guān)變量利用小參數(shù)進(jìn)行耦合.基于攝動(dòng)理論，將位移變量進(jìn)行小參數(shù)漸進(jìn)展開(kāi)并將其代入控制方程中，并推導(dǎo)出彈性模量的計(jì)算方程，從而能夠分析宏、微觀(guān)兩尺度對(duì)材料力學(xué)性能的影響.在A(yíng)NSYS軟件中施加周期性邊界條件，可以提高復(fù)合材料彈性模量的求解精度.通過(guò)與工程經(jīng)驗(yàn)方程對(duì)比，可以驗(yàn)證本文方法的準(zhǔn)確性.將預(yù)測(cè)結(jié)果與物理實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，并分析仿真值和實(shí)驗(yàn)值產(chǎn)生誤差的原因.

1 實(shí)驗(yàn)方法

1.1 材料樣板制備

主要實(shí)驗(yàn)原料包括短切碳纖維、木質(zhì)纖維、脲醛膠粘劑、異氰酸樹(shù)脂膠和固化劑等.選用木纖維與碳纖維兩種預(yù)制材料.按照常規(guī)中密度纖維板的制板工藝進(jìn)行樣板制作.利用丙酮將異氰酸樹(shù)脂膠黏劑稀釋50%后，將其與碳纖維放入攪拌機(jī)中進(jìn)行攪拌.異氰酸樹(shù)脂膠具有化學(xué)穩(wěn)定性，可以起到材料搭接作用，且不會(huì)對(duì)材料性能產(chǎn)生影響.攪拌一段時(shí)間后放入木纖維中，并將氯化銨與脲醛樹(shù)脂膠黏劑混合均勻噴入攪拌機(jī)內(nèi).充分混合后將混合物放入預(yù)壓機(jī)內(nèi)進(jìn)行預(yù)壓，隨后將其放入熱壓機(jī)內(nèi)于175 ℃條件下熱壓7 min.將成型后的復(fù)合材料放入具有特定溫度和濕度的環(huán)境中，直至溫度和材料質(zhì)量達(dá)到恒定.實(shí)驗(yàn)所得宏觀(guān)樣板如圖1所示.圖1a為普通木纖維(MDF)板，圖1b～f為不同碳、木纖維質(zhì)量比(F/M)下的碳纖維增強(qiáng)木質(zhì)復(fù)合材料(SCFRW)板.

圖1 實(shí)驗(yàn)所得宏觀(guān)樣板Fig.1 Macro sample templates obtained in experiments

1.2 材料性能測(cè)試

參照國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB/T11718-2009，利用萬(wàn)能力學(xué)實(shí)驗(yàn)機(jī)測(cè)定碳纖維增強(qiáng)木質(zhì)復(fù)合材料板的彈性模量，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表1所示.表1中，F(xiàn)為碳纖維質(zhì)量，M為木纖維質(zhì)量.

彈性模量計(jì)算公式為

(1)

式中：l為支座間的距離；b為試件寬度；h為試件厚度；Δf為內(nèi)力增加量；Δs為變形量.

2 漸進(jìn)均勻化方法及有限元求解

漸進(jìn)均勻化理論是利用漸進(jìn)擴(kuò)展和周期性假設(shè)來(lái)求解帶有快速振蕩參數(shù)的微分方程，該理論為預(yù)測(cè)復(fù)合材料的力學(xué)性能提供了理論思路，實(shí)質(zhì)是利用均質(zhì)宏觀(guān)結(jié)構(gòu)和非均質(zhì)周期性分布的微觀(guān)結(jié)構(gòu)來(lái)描述原結(jié)構(gòu)[3].SCFRW板(F/M=5∶10)的宏、微觀(guān)形貌如圖2所示.一般情況下材料在宏觀(guān)上表現(xiàn)為均質(zhì)性(見(jiàn)圖2a)，在微觀(guān)上呈現(xiàn)非均質(zhì)性(見(jiàn)圖2b).

基于周期性假設(shè)的復(fù)合材料微觀(guān)結(jié)構(gòu)和單胞如圖3所示.與材料的宏觀(guān)幾何尺度相比，單胞尺度是很小的量，這里用小參數(shù)ε(0<ε?1)來(lái)代表單胞特征尺寸.引入宏觀(guān)尺度變量x和微觀(guān)尺度變量y，則小參數(shù)為宏觀(guān)變量和微觀(guān)變量的比值，即ε=x/y.將位移場(chǎng)量u以ε作漸進(jìn)級(jí)數(shù)展開(kāi)，得到關(guān)于宏觀(guān)變量和微觀(guān)變量的位移場(chǎng)函數(shù)，其表達(dá)式為

表1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)Tab.1 Experimental data MPa

圖2 復(fù)合材料的宏、微觀(guān)形貌Fig.2 Macro and micro morphologies of composite

u(x)=u(x，y)=u0(x，y)+εu1(x，y)+ε2u2(x，y)+Ο(ε3)

(2)

式中：u0(x，y)、u1(x，y)和u2(x，y)分別為第一、二和三項(xiàng)基底函數(shù)；O表示高階無(wú)窮小，計(jì)算時(shí)趨近于0.

圖3 周期性排列的微觀(guān)結(jié)構(gòu)及單胞Fig.3 Periodically arranged microstructure and unit cell

在彈性理論中根據(jù)虛位移原理可以得到胞元控制微分方程為

(3)

式中：Eijkl為4階彈性張量，下標(biāo)i、j、k和l用以區(qū)分不同方向的坐標(biāo)變量，根據(jù)下標(biāo)取值不同，Eijkl可以表示不同方向的彈性模量；wi為滿(mǎn)足固定邊界條件的任意虛位移；Ω為材料的基體部分參量；Γ為單胞邊界參量；S為碳纖維的邊界參量；fi、ti和pi分別為加載在胞元上的體積力、面積力和張力.

將位移場(chǎng)函數(shù)代入彈性理論的控制微分方程中，并令關(guān)于小參數(shù)ε具有相同階數(shù)的項(xiàng)相等，即可得到一系列攝動(dòng)方程，對(duì)這些方程進(jìn)一步求解可以得到u0(x，y)、u1(x，y)與宏觀(guān)尺度結(jié)構(gòu)的總體平衡方程分別為

u0(x，y)=u0(x)

(4)

(5)

(6)

周期結(jié)構(gòu)單胞的等效彈性模量為

(7)

可以通過(guò)有限元方法求解等效彈性模量.實(shí)際求解過(guò)程中的關(guān)鍵步驟是求取特征位移.在有限元分析中需要對(duì)單胞施加載荷與周期性邊界條件，再對(duì)特征位移進(jìn)行求解.

3 復(fù)合材料的ANSYS仿真

3.1 周期性邊界條件

在均勻化理論中微觀(guān)結(jié)構(gòu)的周期性分布是該理論的重要假設(shè).采用ANSYS軟件進(jìn)行單胞模型有限元分析時(shí)，為了提高計(jì)算精度，需要保證單胞邊界上的位移和應(yīng)力連續(xù).本文采用Xia等[11]提出的周期性邊界條件，則單胞內(nèi)的節(jié)點(diǎn)位移場(chǎng)可表示為

(8)

在三維周期性排列的單胞模型中，對(duì)稱(chēng)邊界上的位移場(chǎng)相減則可消去位移修正量，即

(9)

3.2 彈性模量

基于上述分析，采用有限元分析軟件ANSYS對(duì)微觀(guān)單胞上各節(jié)點(diǎn)的彈性模量進(jìn)行求解.首先建立微觀(guān)單胞模型，利用Solid186單元對(duì)單胞模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分，則網(wǎng)格劃分后的單胞模型如圖4所示.

圖4 網(wǎng)格劃分后的單胞模型Fig.4 Unit cell model after grid meshing

利用漸進(jìn)均勻化方法進(jìn)行節(jié)點(diǎn)彈性模量的求解.首先對(duì)特征位移進(jìn)行求解.對(duì)單胞z方向的節(jié)點(diǎn)施加單位位移載荷，對(duì)其求解可得單位節(jié)點(diǎn)反力.隨后對(duì)單胞施加周期性邊界條件，將得到的單位節(jié)點(diǎn)反力施加到單胞節(jié)點(diǎn)上，經(jīng)求解后即可得到特征位移，其等值線(xiàn)分布如圖5所示.其次對(duì)特征節(jié)點(diǎn)反力進(jìn)行求解.將求解得到的特征位移繼續(xù)施加到周期性邊界條件下的單胞節(jié)點(diǎn)上，經(jīng)過(guò)ANSYS計(jì)算后即可得到特征節(jié)點(diǎn)反力.應(yīng)力的等值線(xiàn)分布與應(yīng)力云圖分別如圖6、7所示.觀(guān)察圖6、7可知，當(dāng)對(duì)單胞施加均勻應(yīng)變時(shí)，碳纖維的應(yīng)力值大于基體應(yīng)力值，且碳纖維承受了復(fù)合材料形變中的主要應(yīng)力.因此，碳纖維的加入大大提高了復(fù)合材料的力學(xué)性能.

圖5 特征位移的等值線(xiàn)分布Fig.5 Isoline distribution of characteristic displacement

圖6 應(yīng)力的等值線(xiàn)分布Fig.6 Isoline distribution of stress

圖7 應(yīng)力云圖Fig.7 Nephogram of stress

利用求解得到的特征位移和特征節(jié)點(diǎn)反力計(jì)算彈性模量.將得到的單元節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行提取并整理坐標(biāo)信息，采用MATLAB軟件中的單元組裝函數(shù)Assembly對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整合，得到的彈性模量如表2所示.介于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)限制，本文只求解了垂直于板面的彈性模量.

表2 不同方法測(cè)得的彈性模量Tab.2 Elastic modulus measured with different methods MPa

為了驗(yàn)證本文方法在進(jìn)行復(fù)合材料分析時(shí)的有效性和準(zhǔn)確性，采用工程經(jīng)驗(yàn)公式對(duì)本文結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析.垂直于碳纖維軸向的等效彈性模量的經(jīng)驗(yàn)公式為

(10)

(11)

式中：Ef為碳纖維的彈性模量，且Ef=228 GPa；Em為基體的彈性模量，且Em=1.5 GPa；Cf為碳纖維體積分?jǐn)?shù)；Cm為基體體積分?jǐn)?shù).

圖8為復(fù)合材料彈性模量對(duì)比結(jié)果.觀(guān)察圖8可知，當(dāng)復(fù)合材料的碳、木纖維質(zhì)量比(F/M)小于0.3時(shí)，漸進(jìn)均勻化方法的計(jì)算誤差率為0.051 1～0.178 8，工程經(jīng)驗(yàn)法的計(jì)算誤差率為0.263 8～0.308 0，此時(shí)漸進(jìn)均勻化方法的計(jì)算精度明顯高于工程經(jīng)驗(yàn)法.當(dāng)復(fù)合材料的碳、木纖維質(zhì)量比高于0.3時(shí)，漸進(jìn)均勻化方法和工程經(jīng)驗(yàn)法的計(jì)算誤差率將隨碳、木纖維質(zhì)量比的增大而增大，此時(shí)兩種方法均不再適用.

圖8 復(fù)合材料彈性模量對(duì)比Fig.8 Comparison in elastic modulus of composites

另外，觀(guān)察表1中的內(nèi)結(jié)合強(qiáng)度數(shù)據(jù)可知，隨著碳纖維含量的增加，碳纖維與基體的結(jié)合強(qiáng)度逐漸降低，可以認(rèn)為內(nèi)結(jié)合強(qiáng)度的降低是導(dǎo)致復(fù)合材料性能下降的主要因素.同時(shí)，由圖6、7可見(jiàn)，纖維和基體的接觸面應(yīng)力小于纖維和基體本身的應(yīng)力，這種現(xiàn)象進(jìn)一步驗(yàn)證了上述分析.由于漸進(jìn)均勻化方法未考慮到內(nèi)結(jié)合強(qiáng)度的影響，在一定范圍內(nèi)導(dǎo)致預(yù)測(cè)值比實(shí)驗(yàn)值略高.由表1可知，當(dāng)普通木纖維板中加入碳纖維后(F/M=1∶10)，材料的彈性模量由1 626.64 MPa增加到4 442.72 MPa，靜曲強(qiáng)度由14.73 MPa增加至31.71 MPa，材料的整體力學(xué)性能大幅度提高.觀(guān)察表1還可以發(fā)現(xiàn)，隨著碳纖維含量的增加，材料的力學(xué)性能逐漸增高.當(dāng)碳、木纖維質(zhì)量比為3∶10時(shí)，材料性能出現(xiàn)峰值，之后隨著碳纖維含量的增加，材料的性能隨之降低.因此，在復(fù)合材料的制備過(guò)程中，并非碳纖維摻雜量越多，材料性能越好.合理分配碳、木纖維的質(zhì)量比是設(shè)計(jì)出具有良好性能的復(fù)合材料的關(guān)鍵.

4 結(jié) 論

本文利用ANSYS大型有限元分析軟件，基于漸進(jìn)均勻化理論與有限元方法，實(shí)現(xiàn)了對(duì)復(fù)合材料彈性性能的預(yù)測(cè)與分析.進(jìn)均勻化理論具有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ).一般估算分析方法(如代表體元法、工程經(jīng)驗(yàn)法等)雖然計(jì)算簡(jiǎn)單但預(yù)測(cè)精度較低.本文在A(yíng)NSYS仿真環(huán)境中建立了微觀(guān)單胞模型，利用MATLAB軟件計(jì)算材料的彈性模量，大大簡(jiǎn)化了計(jì)算難度.通過(guò)以上實(shí)驗(yàn)分析可以得到如下結(jié)論：

1) 仿真數(shù)據(jù)在一定范圍內(nèi)和實(shí)驗(yàn)值吻合良好，驗(yàn)證了本文方法的有效性.

2) 基于周期性假設(shè)，本文方法雖然降低了一定的計(jì)算精度，但大大降低了解析法的計(jì)算復(fù)雜度.

3) 本文為復(fù)合材料設(shè)計(jì)提供了一定的參考價(jià)值.復(fù)合材料的制備應(yīng)合理地分配纖維與基體的質(zhì)量比.根據(jù)仿真分析得到的特征位移與應(yīng)力等值線(xiàn)分布以及應(yīng)力云圖，可以更好地分析材料的微觀(guān)結(jié)構(gòu)受力特征，同時(shí)也便于分析材料的應(yīng)力集中問(wèn)題.

4) 本文方法的不足之處在于忽略了內(nèi)結(jié)合強(qiáng)度對(duì)材料力學(xué)性能的影響，導(dǎo)致仿真結(jié)果和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)存在一定誤差.

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(責(zé)任編輯：尹淑英 英文審校：尹淑英)

Mechanicalpropertypredictionofcompositesbasedonasymptotichomogenizationtheory

ZHANG Yan-lin, JIANG Xue-guang

(College of Mechanical and Electrical Engineering, Northeast Forestry University, Harbin 150040, China)

In order to effectively predict the mechanical properties of composites, the carbon fiber reinforced wood composites were taken as the study object, and the analytical model based on the asymptotic homogenization theory was established. The macroscopic and microscopic scales were coupled with small parameters, the mechanical variables asymptotically expanded with the small parameters were substituted into the control equations of unit cell, and the solution equations of equivalent elastic modulus of composites were finally derived. The unit cell model for the composites was established with the ANSYS software, and the elastic modulus was predicted and analyzed under the periodic boundary conditions. The results show that compared with the general engineering experience, the asymptotic homogenization theory has more accurate prediction accaracy, and the prdicted results are in good agreement with the physical experimental results in a certain range, which verifies the effectiveness of the theory.

asymptotic homogenization theory; composite; finite element; unit cell model; double scale; effective elastic modulus; equilibrium equation; boundary condition

TB 332

： A

： 1000-1646(2017)05-0507-06

2017-04-10.

黑龍江省留學(xué)歸國(guó)科學(xué)基金資助項(xiàng)目(LC201408).

張延林(1970-)，男，山東招遠(yuǎn)人，副教授，碩士，主要從事復(fù)合材料計(jì)算機(jī)控制等方面的研究.

* 本文已于2017-08-01 12∶24在中國(guó)知網(wǎng)優(yōu)先數(shù)字出版. 網(wǎng)絡(luò)出版地址： http：∥www.cnki.net/kcms/detail/21.1189.T.20170801.1224.018.html

10.7688/j.issn.1000-1646.2017.05.06