走出例證設計誤區 提升數學課堂效能

李志朋

【摘 要】在小學數學教學中，設計好例證對于揭示數學概念的本質屬性和數學規則的表征意義有著非常重要的作用。文章揭示了小學數學教師在例證設計過程中存在的常見誤區，并提出了對應的矯正策略：科學兼顧例證數量與質量，合理選用肯定例證與否定例證，有效融通典型例證和變式例證。

【關鍵詞】例證設計；肯定例證；否定例證；典型例證；變式例證

【基金項目】本文系玉溪師范學院2016年校級教改項目“PCK視角下的小學教育專業師范生數學教學能力培養研究”（項目編號：201604）的階段性研究成果、玉溪師范學院轉型發展工程子項目——應用型本科建設項目“教師資格證‘國考背景下師范生教育類課程改革與教學技能訓練的實踐研究”的階段性研究成果。

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：A 文章編號：1671-0568（2017）24-0017-02

數學例證是指能夠說明或代表數學概念的本質屬性和數學規則的表征意義的例子。在小學數學教學中，設計好例證具有非常重要的意義。然而，現實教學中，部分教師或源于對例證設計的重視不足，或源于對例證設計的某些原則的誤讀，導致小學數學教學在例證選擇和使用方面存在一些誤區。本文主要對小學數學教師在例證設計過程中存在的常見誤區進行分析并提出對應的矯正策略，以提升小學數學課堂教學效能。

一、常見誤區

1. 重例證數量輕例證質量

例證的數量影響學生對概念或規則屬性的概括程度。例證太少，學生對與概念或規則相關的屬性往往理解不夠充分，就難以分析、比較、區分同類對象的本質屬性和非本質屬性。然而，假如認為只要在課堂上列舉大量例證就可以幫助學生形成概念或規則的豐富表象，從而使學生理解和掌握概念或規則，這種認識同樣是片面的。

案例1：教學“交換律”時，教師先呈現兩個一位數加一位數的例子（3+4=4+3，6+5=5+6），由此引出課題——加法交換律。接著讓學生每人再列舉3個類似的例子，囿于教師所列舉例證的單一性，絕大多數學生只列舉了簡單的一位數加一位數和一位數加兩位數的整數加法運算的例子。學生展示成果結束后，教師總結：“我發現每位同學列舉了3個例子，我們班一共有42名同學，加起來大家已經列舉了120多個例子，這些例子都證明‘兩個加數交換位置，和不變。這個規律就叫作‘加法交換律。”

以上案例中的教師關注了例證的數量，讓學生運用大量例證來證明數學規則，卻忽視了所列舉例證的質量問題，忽視了例證的廣泛代表性。這一方面容易導致學生對概念或規則的理解產生窄化現象。比如，以上案例的教學可能會使學生誤以為加法交化律這一規則僅適用于整數的加法運算之中；另一方面，這樣的教學不利于學生數理邏輯思維的發展，學生難以在學習過程中體會數學的嚴謹性，不利于引導學生有邏輯、全面地思考問題。

2. 重肯定例證輕否定例證

所謂“肯定例證”，也就是日常生活中的正例，即屬于概念或規則所代表的一類事物的例子。“否定例證”也就是日常生活中的反例，即不屬于概念或規則所代表的一類事物的例子。基于小學生以具體形象思維為主這一認知特點的考慮，小學數學教學中往往遵循“形象——抽象——形象”的教學模式，具體到數學概念或規則的教學中便為“例證——概念/規則——例證”的模式，這樣的教學模式對于小學生理解和掌握概念或規則有著非常重要的意義。然而，在實踐中，例證的選擇和使用方面也存在只重視肯定例證而忽視否定例證的現象，即更關注通過肯定例證幫助學生對概念或規則的本質屬性的確證，而忽視通過否定例證對概念或規則的非本質屬性的剔除。

重肯定例證輕否定例證的教學易導致學生對概念或規則作表面化、片面化的理解，學生往往在提取肯定例證的共同屬性時將一些概念或規則的非本質屬性混雜其中，而忽視了概念或規則的本質屬性的抽取。最典型的例子便是學生學習“圓”這一概念時，由于教師在教學過程中僅僅引導學生列舉生活中“圓”的肯定例證，如車輪、光盤等圓形物體表面，結果導致學生在頭腦中形成 “曲線圖形就是圓”這一片面化的理解。

3. 重典型例證輕變式例證

心理學研究表明：例證的典型性影響學生對概念屬性的發現。例證越典型，概念的本質屬性越明顯，學生也越容易發現和概括。基于此，教學中多數教師非常重視典型例證的使用，然而也有部分教師存在對這一發現的誤讀，只重視在教學中發揮典型例證的作用，而忽視變式例證的價值。

案例2：教學“垂直”這一概念時，一位教師先列舉生活中的“垂直”現象：書桌的一條邊與另一條邊互相垂直，黑板的一條邊與另一條邊互相垂直，墻面的一條邊和地板的一條邊互相垂直，等等。在所列舉現象的基礎上抽象出數學圖形“十”，讓學生形成“互相垂直”的兩條直線的表象，然后引導學生得出“互相垂直的兩條直線相交成90°”這一結論。

以上的教學中只關注了“垂直”的典型例證：水平方向的直線與鉛錘方向的直線互相垂直的現象，而忽視了“垂直”的變式例證：方向不是水平方向或鉛錘方向的兩條直線互相垂直的情況。這樣的教學容易限制學生的思維，使學生對概念或規則的理解狹隘化。如上述案例，在教學結束后，筆者訪談學生發現：大多數學生頭腦中對“垂直”的理解僅限于“水平方向與鉛錘方向的兩條直線的關系”，而未真正抓住“相交成90°”這一概念的本質屬性。

二、矯正策略

1. 科學兼顧例證數量與質量

在小學數學教學中，為了幫助學生全面、深刻地理解概念或規則，在關注例證數量的同時也需要考慮例證的質量，科學地兼顧數量與質量。具體而言，在選擇和使用例證時，應關注例證的代表性和全面性。同樣以“交換律”教學為例，有的教師讓學生舉例時就通過設計“例子比較”這一環節，讓學生體會例證的代表性和多樣性。

案例3：教師呈現兩個學生所舉例子，問學生：“一位同學舉了8個例子，另一位同學只舉了3個例子，你們覺得老師更喜歡哪種呢？”endprint

學生在比較中發現：第二位同學雖然舉的例子數量少，但是較為豐富、全面。在此基礎上，教師又引導學生列舉分數加法運算和小數加法運算的例子，以此引導學生感受：在驗證數學概念或規則時，所舉的例子應具有代表性和全面性，進而引導學生感悟：數學是一門嚴謹的學科。

2. 合理選用肯定例證與否定例證

在教學中，將肯定例證與否定例證相結合，有利于學生更好地理解數學概念或規則。在教學“圓”這一概念時，如果列舉了一些“圓”的肯定例證之后，教師能適時地引入“橢圓”這一否定例證，就有助于學生剔除“曲線”這一非本質屬性，從而進一步把握“圓”這一概念的本質屬性。

在將肯定例證與否定例證相結合時，需要注意否定例證的呈現時機。一般而言，否定例證在學生對概念或規則有了一定理解的基礎上呈現，效果較好。如果在學生初步接觸概念或規則時就呈現否定例證，有可能使錯誤觀念先入為主，對概念或規則的理解產生干擾。除此之外，選擇和使用否定例證時，還需注意應盡可能選擇和使用那些具有一定迷惑性的否定例證，因為這樣的否定例證更容易產生認知沖突，能幫助學生剔除概念或規則中的非本質屬性，進一步把握其本質屬性。

3. 有效融通典型例證和變式例證

典型例證重在讓學生把握概念的內涵，變式例證更有利于幫助學生拓展概念的外延。在小學數學教學中，先呈現若干典型例證，保證其相同的屬性；再呈現若干變式例證，使無關特征在不斷變化的同時總保持本質特征不變。這樣的教學有利于學生把握概念的本質屬性和規則的運用范圍。例如，教學“垂直”這一概念時，學生建立了“十”的表象之后，呈現方向不是水平方向或鉛錘方向的兩條直線互相垂直的情況，提出疑問：“這樣的兩條是否互相垂直？”引導學生思考：判斷兩條直線是否互相垂直的標準是“兩條直線是否相交成90°”。在學習過程中，學生不被圖像的表象所迷惑，而關注事物的本質特征，達到對概念或規則全面、深刻的理解。

例證是影響學生學習數學概念、規則的重要因素，它是學生感知、概括數學概念和規則的重要載體。因此，在小學數學課堂教學中，需要教師根據數學概念的本質屬性、數學規則的表征意義，科學地選擇和設計呈現給學生的例證，兼顧例證的數量和質量，充分選用肯定例證、否定例證、典型例證和變式例證，以此提升數學課堂教學的效能。

參考文獻：

[1] 黃偉星.數學概念教學過程中的例證設計[J].教育研究與評論（小學教育教學），2010，（4）：27-29.

[2] 林武.小學數學概念教學——行與思[M].北京：教育科學出版社，2014：159.

（編輯：易繼斌）endprint