復變函數方法的兩個應用研究

張潔萍

(山西大同大學數學與計算機科學學院，山西 大同 037009)

復變函數方法的兩個應用研究

張潔萍

(山西大同大學數學與計算機科學學院，山西 大同 037009)

復變函數中的許多理論與方法不僅給數學的許多分支提供了一種重要的解析工具，而且在其他自然科學和各種工程領域中有著廣泛的應用。本文總結討論了復變函數方法在定積分求解和斷裂參量J積分計算中的應用研究，體現了復變函數知識的重要性。要求教師在講授復變函數知識的過程中，不僅要向學生講述該學科的基礎知識，還應幫助學生建立起該學科與學生所學專業的聯系，提升學生的綜合應用能力。

復變方法；定積分計算；J積分計算；應用

復變函數方法作為一種強有力的工具，已經被廣泛地應用于自然科學的眾多領域，例如：數學、力學、電子等多個領域的研究中，有很多復雜的計算就是以復變函數為工具來解決的[1-5]。但是不少學生在了解此方法后仍心存困惑，會產生諸如有什么應用之類的問題，本文通過舉例說明了復變方法在一類特殊定積分求解和斷裂參量J積分計算中的巧妙應用，從而增強學生的學習興趣和提高學習主動性。

1 復變方法計算f(cosθ,sinθ)dθ類型定積分

求解方法[1]是先作變量代換，再化成圍線積分進行求解，求解過程如下：

解 令z=eiθ

通過以上例題可以看出此方法不僅可以簡化某些定積分的計算過程，甚至可以求解一類求不出原函數的定積分問題。

2 復變方法計算斷裂參量J積分

復變函數法是斷裂力學中求解一個二維彈性斷裂問題模型分析解的最有效的方法之一。這是因為用復變函數方法求解可以充分利用復解析函數在邊界上的已知解，再借助柯西積分公式確定出彈性區域內部的值。J積分是斷裂力學中經常用到的一個斷裂參量，有如下表達式：

(1)

其中b11,b12,b22,b66是彈性主方向的柔度系數，σx,σy是正應力，τxy是剪應力。

下面以正交異性纖維增強復合材料板I型裂紋尖端附近的J積分計算[2]為例探討復變方法在J積分計算中的應用。

由zj平面的柯西-黎曼方程和求導公式可得如下公式：

(2)

其中：

zj=xj+iyj(j=1,2)

μj=αj+iβj(j=1,2)

(3)

由復變函數的定義和性質易知下式成立：

(4)

(5)

將(2)～(5)式代入(1)式得到J積分的復形式：

最后借助柯西積分公式得到J積分的計算公式：

3 結語

復變函數中的許多理論與方法不僅給數學的許多分支提供一種重要的解析工具，而且在其他自然科學和各種工程領域中有著廣泛的應用。本文主要總結了復變方法的兩個重要應用，首先介紹了復變方法在求解一類定積分中的應用，其次介紹了復變方法在求解斷裂參量中的應用，體現了復變函數知識的重要性，這就要求教師在講授復變函數知識的過程中，不僅要向學生講述該學科的基礎知識，還應幫助學生建立起該學科與學生所學專業的聯系，提升學生的綜合應用能力。

[1] 周明儒.數學物理方法[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2] 楊維陽，李俊林，張雪霞.復合材料斷裂復變方法[M].北京：科學出版社，2005.

[3] Li Junlin，Wang Xiaoli. Stress filed near the interface end of antiplane of orthotropic bimaterials[J]. Applied Mathematics and Mechanics，2009，30(9)：1153-1159.

[4] 鐘玉泉.復變函數論(第3版)[M].北京：高等教育出版社，2004.

[5] 高來志，張文學.求解線性方程組的行列式計算消元法[J].洛陽師范學院學報，2016，35(8)：16-22.

Two applications of the complex function method

ZHANG Jie-ping

(School of Mathematics and Computer Science, Shanxi Datong University, Datong 037009, China)

Many theories and methods in complex function not only provide an important analytical tool for many branches of mathematics, but also have a wide range of applications in other natural sciences and various engineering fields. In this paper, we discuss the application of complex variable function method in definite integral solution and fracture parameter J integral calculation, which reflects the importance of complex variable function knowledge. Teachers are required to teach students the basic knowledge of the discipline, but also to help students to establish the links between discipline and the major, so as to enhance the comprehensive application ability of students.

Complex function method; Calculation of definite integral; Calculation of fracture parameter J-integral; Application

O143

： A

： 1674-8646(2017)16-0038-02

2017-06-20

國家自然科學基金(11547108)；山西大同大學科學基金項目(2016K5)

張潔萍(1982-)，女，講師，碩士研究生。