對一個征解題的探究

魏國祥，李鳳清，張子衛

（四川職業技術學院應用數學與經濟系，四川 遂寧 629000）

對一個征解題的探究

魏國祥，李鳳清，張子衛

（四川職業技術學院應用數學與經濟系，四川 遂寧 629000）

本文對《數學通訊》上半月刊2015年第3期問題征解欄目第206號問題進行了探究，得出了它的一個推廣：已知a,b,c,m為正實數且滿足a b c=1同時得出幾個有用的相關結論，最后提出了一個猜想：已知a,b,c,λ,m 為正實數且滿足 a b c=1，λ≥1，（1+m a）（1+m b）（1+m c）.

數學問題；不等式；推廣；猜想

《數學通訊》上半月刊2015年第3期問題征解欄目第206號問題為：

已知為a,b,c正實數且滿足a b c=1，求證：

我們對問題進行探究，得到下面一些結論.

從定理1的證明中可得下面結論.

結論1已知a,b,c,m為正實數且滿足a b c=1，則（1+m a）（1+m b）（1+m c）.

結論2已知a,b,c,λ,m為正實數且滿足a b c=1，λ≥1，則

（1+aλ）（1+bλ）（1+cλ）≥（1+a）（1+b）（1+c）.

證明（1+aλ）（1+bλ）（1+cλ）≥（1+a）（1+b）（1+c）等價 于（aλ+bλ+cλ）+[（a b）λ+（b c）λ+（c a）λ] ≥（a+b+c）+（a b+b c+c a）.

由冪平均不等式可知

同理可知，（a b）λ+（b c）λ+（c a）λ≥a b+b c+c a

故（aλ+bλ+cλ）+[（a b）λ+（b c）λ+（c a）λ]≥（a+b+c）+（a b+b c+c a），故結論2成立.

推論 已知a,b,c,λ 為正實數且滿足a b c=1，λ≥2，則

（1+aλ）（1+bλ）（1+cλ）≥（1+a2）（1+b2）（1+c2）.

由這個推論與結論1可得下面結論.

結論 3已知 a,b,c,λ,m為正實數且滿足a b c=1，λ≥2則

結論 4已知 a,b,c,λ,m為正實數且滿足a b c=1，m≥5，λ≥1，則

證明 由 結 論 2 可 知 （1+aλ）（1+bλ）（1+cλ）≥（1+a）（1+b）（1+c），故只需證（1+a）（1+b）（1+c）≥（a+b+c）+[（1+m）3-8 m] （a b+b c+c a） ≥8 （m3+1）-2（1+m）3.若 m≥5，可知（1+m）3-8 m2＞0，（1+m）3-8 m2＞0與 4（m3+1）-（1+m）3≥0 均成立. 由于 a+b+c≥3，a b+b c+c a≥3故

[（1+m）3-8 m]（a+b+c）+[（1+m）3-8 m2]（a b+b c+c a）≥3[2（1+m）3-8 m2-8 m]=6 m3-6 m2-6 m+6

可知結論4成立.

下面提出一個猜想.

猜想已知a,b,c,λ,m為正實數且滿足a b c=1，λ≥1，則

[1]佚名.第206號問題//問題征解[J]數學通訊（上半月刊），2015，（3）.

責任編輯：張隆輝

O 122

A

1672-2094（2017）04-0165-02

2017-05-08

魏國祥（1971-），男，四川遂寧人，四川職業技術學院講師。研究方向：數學教育。