數學文化視角下的中考試題賞析與思考

楊虎+吳學文

數學文化是人類文化的重要組成部分，一直受到數學教育家的普遍關注，近年來中考中蘊含豐富數學文化價值的試題也頗受各地命題者的青睞。本文以近兩年部分省市的中考題為例，賞析中考試題中蘊含的數學文化。

一、鑲入中國古代數學文化

世界上每個民族都有自己的文化，也就一定有屬于這個文化的數學。古代中國也不例外，其傳統數學有著輝煌的成就。中國古代數學強調實用為主，卻也在算法上得到了長足的發展。《九章算術》中的“勾股”；《周髀算經》中的“趙爽弦圖”，都以算法見長；《易經》中的方法論、計數原理；《算法統宗》里的方程與不等式思想；楊輝（賈憲）三角以及負數的運用、解方程的開根法，祖沖之的圓周率計算都是我們寶貴的民族數學文化。

例1（2016年孝感）《九章算術》是東方數學思想之源，該書中記載：“今有勾八步，股一十五步，問勾中容圓徑幾何。”其意思為：“今有直角三角形，勾（短直角邊）長為8步，股（長直角邊）長為15步，問該直角三角形內切圓的直徑是多少步。”該問題的答案是 步。

分析：根據勾股定理求出直角三角形的斜邊，再由公式[r=a+b-c2]確定出內切圓半徑，進而得到直徑。

賞析：《九章算術》共收有246個數學問題，分為九章。其中第九章“勾股”，利用勾股定理求解的各種問題，絕大多數內容是與當時的社會生活密切相關的。本題正是以當時人們的生活為背景提出的數學問題，對學生應用數學知識解決生活問題的能力起到了很好的訓練。這里求解看似信手拈來，實際上要順利解決本題，要求學生對勾股定理以及直角三角形的內切圓的半徑公式熟練掌握才行。

例2（2016年孝感）如圖1是我國漢代數學家趙爽在注解《周髀算經》時給出的“趙爽弦圖”，圖中的四個直角三角形是全等的，如果大正方形ABCD的面積是小正方形EFGH面積的13倍，那么[tan∠ADE]的值為 ？

分析：小正方形EFGH面積是[a2]，則大正方形ABCD的面積是[13a2]，則小正方形EFGH邊長是[a]，則大正方形ABCD的邊長是[13a]，設AE=DH=x，利用勾股定理求出x，最后利用正切函數即可解答。

賞析：《周髀算經》原名《周髀》，是算經的十書之一，中國最古老的天文學和數學著作。它在數學上的主要成就是介紹了勾股定理及其在測量上的應用，以及怎樣引用到天文計算。三國時代的趙爽對《周髀算經》內的勾股定理作出了詳細注釋，并創制了一幅“勾股圓方圖”，利用幾何圖形的截、割、拼、補來證明代數式之間的恒等關系，給出了勾股定理的詳細證明。故圖1也稱為“趙爽弦圖”。其既具嚴密性，又具直觀性，為中國古代以形證數、形數統一，代數和幾何緊密結合、互不可分的獨特風格樹立了一個典范。本題以“趙爽弦圖”為平臺，考查了正方形的性質、正切函數的定義等知識點，滲透了數形結合的數學思想方法。

例3（2016年紹興）我國古代《易經》一書中記載，遠古時期，人們通過在繩子上打結來記錄數量，即“結繩計數”，如圖2，一位母親在從右到左依次排列的繩子上打結，滿七進一，用來記錄孩子自出生后的天數。由圖可知，孩子自出生后的天數是（ ）。

A.84 B.336 C.510 D.1326

分析：本題主要考查規律探索，因為“滿七進一”，所以從右往左依次排列的繩子，分別代表結繩數乘以7的0、1、2、3次冪的天數。

賞析：以《易經》規律為源頭的中華傳統文化的世界觀和方法論包含了：對立統一、陰陽互根、陽逆陰順、此消彼長、物極必反等規律以及中華文化的核心和精髓——和諧意識。其中結繩計數這種方法，不但在遠古時候使用，而且一直在某些民族中沿用下來。在我國古代的甲骨文中，數學的“數”，它的右邊表示一只右手，左邊則是一根打了許多繩結的木棍：“數”者，圖結繩而記之也。本題鑲入“結繩計數”是對學生冪的運算的考查以及“滿七進一”的進制的理解。

二、嵌進世界歷史中的數學文化

中考試題中嵌進很多世界歷史中的數學文化名人、軼事、名題有關的數學知識，融知識性與趣味性一體，讓人耳目一新，給學生提供一個“面向世界”數學的平臺。

例4（2016年株洲）已知點P是△ABC內一點，且它到三角形的三個頂點距離之和最小，則P點叫△ABC的費馬點（Fermat point）。已經證明：在三個內角均小于120°的△ABC中，當∠APB=∠APC=∠BPC=120°時，P就是△ABC的費馬點。若點P是腰長為[2]的等腰直角三角形DEF的費馬點，則PD+PE+PF= 。

分析：“費馬點”是指位于三角形內且到三角形三個頂點距離之和最短的點，若給定一個△ABC的話，從這個三角形的費馬點P到三角形的三個頂點A、B、C的距離之和比從其它點算起的都要小，這個特殊點對于每個給定的三角形都只有一個?；谶@些理解，學生能正確作出圖形，問題就順利得到解決。

賞析：皮埃爾·德·費馬，法國律師和業余數學家。他在數學上的成就不比職業數學家差，其對數論最有興趣，亦對現代微積分的建立有所貢獻，故被譽為“業余數學家之王”?！百M馬點”在生活中有重要的應用，例如“有三個城市，要蓋一個交通中心，到這三個城市的距離最短”就屬于這一類型的問題。數學來源于生活，需要我們有一雙善于發現的慧眼。

例5（2015年常州）數學家哥德巴赫通過研究下面一系列等式，作出了一個著名的猜想。

4=2+2； 12=5+7；

6=3+3； 14=3+11=7+7；

8=3+5； 16=3+13=5+11；

10=3+7=5+5 18=5+13=7+11；

……

通過這組等式，你發現的規律是 （請用文字語言表達）。

分析：本題是一道以數學家哥德巴赫為背景的新穎試題，其實質是通過已知的幾個式子尋找規律，再用文字表達。當然試題直接滲透了對數學主流文化的考查，如果學生喜歡課外閱讀，知道哥德巴赫猜想的話，就可以直接寫出答案。endprint

賞析：謝爾賓斯基地毯是數學家謝爾賓斯基提出的一個分形圖形，與謝爾賓斯基三角形基本類似，不同之處在于謝爾賓斯基地毯采用的是正方形進行分形構造， 而謝爾賓斯基三角形采用的等邊三角形進行分形構造。其將一個實心正方形劃分為的9個小正方形，去掉中間的小正方形，再對余下的小正方形重復這一操作便能得到謝爾賓斯基地毯。本題是通過幾何圖形的變化，要求學生從面積關系上尋找規律，圖形越“挖”越復雜，重復進行達到極限。

三、數學文化滲透教學的思考

1.重視數學文化的教育價值及意義

數學文化在本質上體現了文化整體育人的基本要求，也是素質教育的基本要求。隨著課改的持續推進，對數學文化的研究也更加深入。中小學課堂中數學文化已滲入實際數學教學，旨在讓學生在學習數學的過程中真正受到文化感染，產生文化共鳴，體會數學的文化品位，體察社會文化和數學文化之間的互動。

數學文化滲透了數學這一門學科發展的規律與文化本質，它不僅追溯數學內容、思想和方法的演變、發展過程，而且還探索影響這種過程的各種因素，以及數學科學的發展對整個人類文明所帶來的影響。因此在數學教學中給學生滲透數學史中的重大事件、名人、趣事，不但可以增強學生的學習興趣，而且可以使學生受到科學方法論的啟迪，培養正確的數學觀、價值觀，通過數學文化的熏陶，促進學生健全人格的形成，其意義十分重大。

2.正視數學文化的教育路徑與手段

注重數學文化的育人功能是素質教育的一種美好的理念，在具體實施過程中還需各方努力。特別是一線教師，數學文化的教育實施還有好多工作要做，如何讓所有學生一樣體驗并領會數學的文化性，提高每一位學生的數學文化素養，引導學生更好地適應課程改革中不斷出現的變化創新和素質教育的新需求等，這些問題將有待于教育專家、一線教師在實踐中繼續不斷探索和總結。數學文化教學，也絕不是教學生簡簡單單地死記硬背幾條數學文化知識，而是要遵循繼承、弘揚、創新的發展路徑，注重數學文化在數學教學中的創造性轉化和創新性發展，不斷地挖掘、創造性地開展教學。

筆者以為，在中考試題中滲透數學文化，是新課程理念下數學學科內容與能力改革考查的目標之一。近幾年來，中考數學試題在數學文化的考查上作出了大膽的嘗試，諸如本文所列舉的題目都是各地中考數學文化試題的典范。但是試題的考查方式與內容還是顯得過于單一，所以筆者還是繼續呼吁中考試題在滲透數學文化時，應當注意與數學知識的有機結合，注重體現數學理性思維的本質內涵，通過創設新的情境、改變設問方式、選取適合的知識內容等多種方法滲透數學文化。當然我們也期待更多的專家、教師編撰更多的有思想、有意義、有價值的數學文化題目來，讓數學文化試題的考查更加厚重，有內涵。

（作者單位：甘肅省隴南市禮縣職業中等專業學校；甘肅省隴南市西和縣太石河鄉崖灣小學）

責任編輯 陳建軍endprint