循環矩陣的相關介紹

王玉涵

【摘 要】特殊矩陣在代數學中占有非常重要的地位，本篇文章主要介紹了一類特殊矩陣，循環矩陣的一些相關知識與重要性質，以及它現今的發展概況。

【關鍵詞】循環矩陣；反循環矩陣；循環矩陣；逆矩陣

0 引言

循環矩陣起始于1885年，由Muir.T提出。 在代數學的矩陣論中，循環矩陣是一類很重要的矩陣，許多學者者對它進行了深入研究，并且得到了很多非常好的結論，它在諸多領域中都有著廣泛應用[1-2]。如在圖象處理、編碼理論、石油勘探等方面經常被用到。 Solak在[3]中求出了古典Lucas數的循環矩陣的范數的上下界。 AhmetIpek[4]對這類矩陣范數的估算作了進一步改進。 在研究循環矩陣性質的過程中，有些數學工作者運用構造性方法求出可逆矩陣的行列式和逆矩陣。 江兆林教授等人[5]在有關k-Fibonacci數及k-Lucas數的循環矩陣的研究中，運用構造性方法討論了其行列式及逆矩陣。 隨著數學在應用方面的進展，循環矩陣在科學和工程領中的地位域越來越重要。

1 循環矩陣

定義1[6]復數域上階矩陣稱為右循環矩陣（或簡稱循環矩陣）。

從定義可以得，循環矩陣的每一行均由第一行按同一方向向右依序循環，循環矩陣所組成的集合可簡記為。循環矩陣是由它的第一行所決定的。

性質1設C是 n階循環矩陣，若C可逆，那么C的逆矩陣C-1也是n階循環矩陣。

2 反循環矩陣

定義2[7]若把一個階循環矩陣的主對角線以下的元素改變符號，就叫階反循環矩陣。

例 2下面是一個三階反循環矩陣

性質2若C是反循環矩陣且C可逆，則C-1也是循環矩陣。

性質3任何一個n反階循環矩陣C在復數域上都可以對角化。

3 g-循環矩陣

定義3[7]如下形式的矩陣，

稱為g-循環矩陣，其中g為任意整數，下指標以模n記錄，即ai=aj，如果i=j（mod（n））.

【參考文獻】

[1]D. Q. Fu， Z. L. Jiang， Y. F. Cui， and S. T. Jhang.New fast algorithm for optimal design of block digital filters by skew-cyclic convolution[J].IET Signal Processing， 2014，8（6）：633-638.

[2]H.Karner，J.Schneid，and C.W.Ueberhuber.Spectral decomposition of real circulant matrices[J].Linear Algebra and Its Applications，2003，367：301-311.

[3]D. Z. Lin，“Fibonacci-Lucas quasi-cyclic matrices， FibonacciQuart”[J].2002， 40：280-286.

[4]S.Solak.On the norms of circulant matrices with the Fibonacci and Lucas numbers [J].Appl.Math. Comput， 2005，160：125-132.

[5]Z.L.Jiang，Y.P.Gong，and Y.Gao.“Invertibility and Explicit Inverses of Circulant-Type Matrices with-Fibonacci and -Lucas Numbers”.Abstract and Applied Analysis.Volume 2014（2014），Article ID 238953，9 pages.

[6]H.Karner，J.Schneid，C.W.Ueberhuber.“Spectral decomposition of real circulant matrices”[J].Linear Algebra Appl，2003，367： 301-311.

[7]江兆林，周章鑫.循環矩陣[M].成都：成都科技大學出版社，1999.

[責任編輯：朱麗娜]endprint