采用解析模態分解和小波變換的損傷識別方法

劉景良， 高源， 駱勇鵬， 鄭文婷

(1. 福建農林大學 交通與土木工程學院， 福建 福州 350002；2. 福建工程學院 土木工程學院， 福建 福州 350118)

采用解析模態分解和小波變換的損傷識別方法

劉景良1， 高源1， 駱勇鵬1， 鄭文婷2

(1. 福建農林大學 交通與土木工程學院， 福建 福州 350002；2. 福建工程學院 土木工程學院， 福建 福州 350118)

針對希爾伯特-黃變換(HHT)在信號處理中存在的模態混疊現象，引入解析模態分解定理(AMD)提取時變結構響應的一階本征函數，并構建一階本征函數能量比指標識別結構的損傷位置.從損傷位置處的響應信號出發，引入連續小波變換和時間窗思想，提出一階本征函數小波能量變化率指標來預測結構的損傷演化過程.通過一個剛度突變和線性變化的三層剪切型結構數值算例，對一階本征函數能量比和一階本征函數小波能量變化率指標進行驗證.結果表明：所提出的指標能夠有效識別結構的損傷位置和損傷時間.

損傷識別； 小波變換； 解析模態分解； 一階本征函數

Abstract： Due to the problem of overlapping frequency existed in Hilbert-Huang transform (HHT)， analytical mode decomposition theorem is introduced to extract the first order intrinsic mode function (IMF) from responses of time-varying structures， then the first order IMF energy ratio index is established to identify damage locations. Based on the response signal in damage location， continuous wavelet transform and time window are introduced to build the index of the first order IMF wavelet energy variation rate in order to predict the evolution of structural damage. A numerical example of three-story shear structure with abruptly and linearly varying stiffness is presented to verify the effectiveness of the two proposed indexes， and the results demonstrate that the proposed damage indexes can effectively detect the locations and time of structure damage.

Keywords： damage detection； wavelet transform； analytical mode decomposition； first order intrinsic mode function

工程結構在服役期間受到不斷變化的外加荷載和環境作用時，其損傷不斷積累，本質上屬于時變和非線性結構系統，其響應信號呈現非平穩性[1].采用信號處理方法識別結構時變損傷時，需要時頻的分析工具[2-4].Huang等[5-6]提出的希爾伯特-黃變換(HHT)，通過經驗模態分解(EMD)將原始信號分解成一系列本征函數(IMF)，然后,對每一個IMF進行希爾伯特變換,從而實現信號瞬時特征參數的提取.為解決模態疊混問題，Wu等[7]在經驗模態分解方法的基礎上提出了集合經驗模態分解(EEMD).HHT這一類方法雖然能夠有效處理非平穩信號，但是該方法本身也存在一定的問題[8].為此，Chen等[9]提出解析模態分解(AMD)定理提取分量信號[10-11].在結構服役期間，損傷位置處響應信號的各組成成分能量在損傷前后通常會發生比較大的變化.因此,可以采用一階IMF分量信號的能量作為損傷指標來識別結構的損傷位置[12-13].目前，關于時變結構損傷識別方法的研究工作并不多見[14-17].在前人研究的基礎上，本文提出基于解析模態分解和小波變換的損傷識別方法，并通過算例對一階本征函數能量比和一階本征函數小波能量變化率指標進行驗證.

1 基本原理

1.1解析模態分解定理

1.2小波變換

小波變換是一種窗口大小固定，形狀可以改變的自適應時頻分析方法.由于小波變換在時域和頻域均具有良好的局部化性質，目前已被廣泛應用于信號處理、參數識別與損傷識別等多個領域.

式(1)中:a為尺度因子，與頻率成反比關系；b為平移因子，與時間有關.通過改變a和b的值可以實現小波的伸縮和平移.

將任意L2(R)空間的信號x(t)在小波基下展開，即為連續小波變換，其表達式為

2 損傷識別指標

2.1一階本征函數能量比

在地震作用下，若結構某層出現損傷，可以看做該層發生軟化現象從而吸收更多的地震能量，最終導致該層響應的能量相對于其他層的能量增加.因此，可以利用各層一階本征函數能量比的變化來識別結構的損傷位置.

首先，定義整個地震時間歷程內第j層一階本征函數能量為

式(4)中:IMFj，1為第j層結構響應的一階IMF分量，可通過AMD定理提取；t1和t2分別為地震波記錄的起止時間.

在此基礎上，定義第j層一階本征函數能量比為

式(5)中:n為結構總層數.

2.2一階本征函數小波能量變化率

實際工程結構的損傷是一個損傷逐漸積累的漸變過程，漸變的損傷過程需要時變損傷指數作為表征.在對損傷位置處一階IMF分量進行連續小波變換的基礎上，引入時間窗思想定義一階本征函數小波能量變化率(RFOIMFE)為時變損傷指數，該指標僅需已知結構響應信號，即能實現時變損傷的識別.

首先，采用AMD定理提取損傷位置處響應信號的一階IMF分量，然后，對其進行連續小波變換得到小波系數矩陣W1(ai，bj)m×n.其中：m代表尺度i個數；n為采樣時間點bj個數.由于小波尺度與頻率存在一一對應關系，按a=(Fc·fs)/fa,可進行頻率與尺度之間的轉換.其中：a為小波尺度；Fc為小波中心頻率；fs為采樣頻率；fa為尺度a對應的頻率.對所有尺度所對應的小波系數進行求和，可得

式(6)中:Ws(bj)為求和后的小波系數，是n維行向量.

為追蹤結構的時變損傷，在提取各階IMF分量后，沿求和后的小波系數Ws(ai，bj)曲線設置一個滑動時間窗，窗口長度為2Δt， 以窗內的小波能量平均值代表滑動窗中心點小波能量. 令窗口沿時間軸不

圖1 三層剪切型結構模型Fig.1 Three-story shear structure model

斷滑動，可求得一階本征函數小波能量在每個中心點的值，即

3 數值驗證

為驗證所提出損傷指標的有效性,以三層剪切型結構模型為例,對剛度突變和線性變化兩種損傷工況進行識別.圖1為三層剪切型結構模型,表1為主要結構參數.表1中:m為質量;k1為初始剛度;c1為阻尼系數.

表1 三層剪切型結構參數Tab.1 Parameters of three-story shear structure

3.1剛度突變工況下的損傷識別

設定三層剪切型結構某層的剛度發生突變，剛度的折減可以通過降低彈性模量實現，具體的損傷工況如表2所示.結構各層的位移(Δ)響應通過龍格-庫塔法求解，其中，采樣頻率為1 000 Hz，添加的高斯白噪聲水平為15%.為簡單起見，圖2中只給出了DS2工況下結構第一層位移響應.

通過AMD定理提取DS2工況中三層剪切型結構第一層位移響應的一階分量信號和余量信號，結果如圖3所示.同理，可得第二層和第三層位移響應的一階分量信號和余量信號.在成功提取各層一階IMF分量信號的基礎上，根據式(4),(5)求解一階本征函數能量比指標rj，如表2所示.

由表2可知：相比DS1工況，即結構完好無損時，DS2工況下第一層位移響應的一階本征函數能量比值r1相應增加，因此，可以判定剪切型結構的第一層出現了損傷，即發生軟化現象，吸收了更多的能量，其結果必然是一階本征函數能量比值相應增加.同樣地，DS6和DS7工況中的損傷指標值r2和r3比DS1工況中的相應值增加.這說明DS6和DS7工況中的損傷位置分別為剪切型結構的第二層和第三層，這與事先設定的損傷情況是完全吻合的.因此,一階本征函數能量比指標能夠準確識別剪切型結構的損傷位置.

圖2 DS2工況下結構第一層位移響應 Fig.2 Displacement responses of first story under DS2 cases

損傷工況損傷描述r1r2r3DS1結構未損傷0.23090.60620.1629DS2k1在第5秒突降10%0.2459↑0.5949↓0.1591↓DS3k2在第5秒突降10%0.2074↓0.6342↑0.1538↓DS4k3在第5秒突降10%0.2263↓0.5992↓0.1745↑

(a) 一階IMF (b) 余量信號圖3 DS2工況下AMD定理提取的分量信號Fig.3 Component signals extracted by AMD theorem under DS2 cases

圖4 DS2工況損傷識別結果Fig.4 Detection results of damage under DS2 cases

在成功識別結構損傷位置的基礎上，以DS2工況為例，采用復 Morlet小波對提取的一階IMF信號進行連續小波變換，并根據式(6)對小波系數進行求和;然后,在求和后的小波系數曲線上設置一個滑動時間窗，選取時間窗長為100(0.1 s)，以窗內的小波能量平均值代表滑動窗中心點的小波能量.同理,可以求出DS1未損傷工況下結構第一層響應的一階本征函數小波能量.至此，可求解一階本征函數小波能量變化率(RFOIMFE)，如圖4所示.由圖4可知:RFOIMFE在t=5 s時的突然增加,與剪切型結構第一層剛度突然降低10%有關.15%水平的高斯白噪聲和端點效應雖然對損傷識別結果有一定的影響，但是時變損傷指標RFOIMFE仍然能夠有效探測到結構損傷的發生時間.

3.2剛度線性變化工況下的損傷識別

設定三層剪切型結構某層的剛度發生線性變化，具體損傷工況如表3所示.結構各層的位移(Δ)通過龍格-庫塔法求解，其中,采樣頻率仍為1 000 Hz.為簡單起見，只給出了DS5工況下三層剪切型結構第一層的位移響應，如圖5所示.通過AMD定理提取DS5工況下三層剪切型結構第一層位移響應的一階分量信號和余量信號，結果如圖6所示.同理可得第二層和第三層位移響應的一階分量信號和余量信號.在成功提取各層一階IMF分量信號的基礎上，根據式(7)，(8)求解一階本征函數能量比rj，如表3所示.

由表3可知：相比DS1工況即結構完好無損時，DS5工況中第一層位移響應的一階本征函數能量比值r1增加，由此可知剪切型結構的第一層發生了軟化現象，吸收了更多的能量，故而一階本征函數能量比值相對增加.同理，在DS6和DS7工況中，根據一階本征函數能量比指標值的變化，可以判斷出結構相應的損傷位置分別為結構第二層和第三層，這與設定的損傷情況是完全吻合的.因此，一階本征函數能量比指標完全可以準確識別剛度線性變化工況下結構的損傷位置.

圖5 DS5工況下結構第一層位移響應 Fig.5 Displacement responses of first story under DS5 cases

損傷工況損傷描述r1r2r3DS1結構未損傷0.23090.60620.1629DS5k1在第4～8秒內線性降低40%0.2535↑0.5914↓0.1551↓DS6k2在第4～8秒內線性降低40%0.2089↓0.6284↑0.1627↓DS7k3在第4～8秒內線性降低40%0.2198↓0.5999↓0.1803↑

(a) 一階IMF (b) 余量信號圖6 DS5工況下AMD定理提取的分量信號Fig.6 Component signals extracted by AMD theorem under DS5 cases

以DS5工況為例，在成功識別結構損傷位置的基礎上，可采用復 Morlet小波對提取的第一層位移響應的一階IMF分量信號進行連續小波變換，并根據式(6)對小波系數進行求和;然后,在求和后的小波系數曲線上設置一個滑動時間窗，選取時間窗長為100(0.1 s)，以窗內的小波能量平均值代表滑動窗中心點的小波能量.同理,可求出DS1未損傷工況下結構第一層位移響應的一階本征函數小波能量,并求解RFOIMFE，如圖7所示.

圖7 DS5工況損傷識別結果Fig.7 Detection results of damage under DS5 cases

由圖7可知：時變損傷指標RFOIMFE在t=4～8 s時間范圍內的線性增加，與剪切型結構第一層剛度在時間4～8 s范圍內線性降低40%有關.但是在第4秒附近，該指標的損傷識別效果并不是很好.這主要是因為以第4秒為中心點窗長包含了3.95～4.00 s和4.00～4.05 s這兩個時間段，前一個時間段結構尚未發生損傷，而后一時間段結構發生了損傷，因此,損傷識別結果受到影響.此外，由于15%水平高斯白噪聲的隨機性，這個識別誤差有可能在一定程度上被放大.但是總的來說，時變損傷指標RFOIMFE能夠有效識別結構的損傷演化趨勢.

4 結論

為解決HHT變換中存在的模態混疊問題，構建一階本征函數能量比和一階本征函數小波能量變化率兩個損傷指標，并分別對結構的損傷位置和損傷時間進行識別.通過一個三層剪切型結構數值算例驗證了損傷指標的有效性，得到以下2點主要結論.

1) 相比結構完好無損時結構某層一階本征函數能量比值的增加，表明該層出現損傷，從而發生軟化現象，吸收了更多的能量，同時也驗證了一階本征函數能量比指標識別損傷位置的準確性.

2) 在成功識別損傷位置的基礎上，對損傷位置處的一階IMF分量進行連續小波變換，并引入滑動時間窗思想提出的時變損傷指標RFOIMFE，其能夠有效識別剛度突變和線性變化兩種工況下結構的損傷發生時間.

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(責任編輯： 黃仲一英文審校： 方德平)

StructuralDamageDetectionUsingAnalyticalModeDecompositionandWaveletTransform

LIU Jingliang1， GAO Yuan1， LUO Yongpeng1， ZHENG Wengting2

(1. School of Transportation and Civil Engineering， Fujian Agriculture and Forestry University， Fuzhou 350002， China；2. School of Civil Engineering， Fujian University of Technology， Fuzhou 350118， China)

10.11830/ISSN.1000-5013.201705022

2017-05-13

劉景良(1983-)，男，講師，博士，主要從事橋梁結構健康監測的研究.E-mail:liujingliang@fafu.edu.cn.

國家自然科學青年基金資助項目(51608122)； 福建省青年科技人才創新項目(2016J05111)； 福建農林大學青年教師科研基金資助項目(113-61201405104)

TU 311.3

A

1000-5013(2017)05-0643-06