多段分支彈道的兩級全局優化方法

龔春林，朱政光，陳 兵，粟 華，谷良賢

(西北工業大學航天學院陜西省空天飛行器設計重點實驗室，西安 710072)

多段分支彈道的兩級全局優化方法

龔春林，朱政光，陳 兵，粟 華，谷良賢

(西北工業大學航天學院陜西省空天飛行器設計重點實驗室，西安 710072)

針對多段分支彈道設計存在的彈道交班點選取困難、交班控制變量突變等問題，提出一種兩級全局優化方法。對各彈道段分別建立子級優化問題，采用系統級優化實現各段交班點耦合變量協調，以及最佳交班點求解；將交班點耦合變量中質量參數轉為局部優化變量，其他狀態參數轉為系統級優化變量，實現了同層優化問題解耦；在子級優化問題中引入控制變量一階導數作為優化變量，并作為系統級協調變量，保證各段控制變量光滑過渡。某兩級重復使用運載器全程彈道優化算例表明，本文提出的方法能將高度耦合的全程彈道優化轉化為簡單有效的兩級優化問題，可推廣應用于其它各類多段分支彈道設計。

多段分支彈道；彈道優化；兩級全局優化；交班點

0 引 言

彈道優化逐漸成為飛行器總體設計的主要工作手段之一，具有重要的理論研究意義和工程應用價值。某些飛行器由于組成和任務的復雜性，其彈道包含多段分支彈道。例如，兩級入軌重復使用運載器的典型彈道如圖1 (a)所示，包含上升段、返回再入段和入軌段，在兩級分離點處有兩條軌跡分支；帶多個分導彈頭的彈道導彈的典型彈道如圖1 (b)所示，在分離時刻時，導彈釋放多個彈頭，各彈頭飛行彈道即為不同分支彈道。這些彈道具有典型的多段分支特點，各段彈道設計目的各有不同，但又相互影響、相互耦合。在飛行器設計中，為了獲得最佳的總體設計方案，需要同時優化分離條件及各段彈道，實現彈道的全局最優化。

由于各段彈道優化控制變量和目標均有可能不同，該類彈道優化一般為多目標優化問題，基于傳統的最優控制理論或參數優化方法難以直接求解。同時，各段和各分支交班點之間高度耦合，在優化過程中實現交班點控制變量和狀態變量的平滑連接進一步增加了問題的求解難度。

圖1 多段分支彈道示意圖Fig.1 The schematic diagram of the branching trajectory

針對多段分支彈道優化，國內外學者開展了部分研究工作。文獻[1]采用POST和OTIS軟件進行彈道優化，雖然支持串聯的多段彈道優化，但不支持多分支彈道優化；文獻[2]采用間接法，通過計算推導得到兩級火箭最優控制問題中控制變量的解析函數，從而多級完成彈道優化，但其不存在多分支彈道形式；文獻[3]對兩級入軌運載系統全程分叉型彈道進行了優化，首先提出分叉型彈道的轉接條件，然后優化三段獨立的彈道優化問題，但并沒能優化交班點條件，無法得到最佳的兩級交班點。文獻[3]解決了多級火箭彈道優化多分支等問題，但未考慮交班點控制變量大小對上面級彈道的影響；文獻[4]采用參數優化方法研究了多級組合動力飛行器彈道優化問題，但未能解決彈道多段情況下控制變量突變情況；文獻[5]以偽譜法為基礎，引入連接條件模型，快速求解此類運載器最優彈道，可解決多段彈道優化問題，但并不能解決多分支彈道優化問題。

可以看出，目前國內外學者更多地研究單級彈道優化問題，較少涉及彈道全局優化問題。本文以兩級重復使用運載器為對象[6],針對彈道多段分支等特點，提出兩級全局優化方法，通過構造兩層優化框架，完成通用的多段分支彈道優化。

1 彈道優化模型

根據多段分支彈道優化模型[7-11]得到其原始框架，如圖2所示。各段彈道之間有著十分緊密的聯系，通過交班點互相耦合，且交班點同時作為各段彈道的起始條件或終端約束。

圖2 多段分支彈道優化原始框架Fig.2 The original optimization framework of the branching trajectory

多段分支彈道優化問題可描述為如下形式：

s.t.

(1)

式中：J為全局目標函數，x為設計變量，下標n表示彈道段數量；Ji，ωi，ui，si，xi，ci分別為第i段彈道的優化目標函數、目標權重、控制變量、狀態變量設計變量和約束條件；mi，H_ point_ j，ui,H_ point_ j，si,H_ point_ j分別表示第i段彈道在第j個交班點處的飛行器質量、控制變量和狀態變量。

1) 優化目標

對于復雜任務飛行器，各段彈道優化目標可能不同。例如：某些彈道段需快速完成飛行任務，其優化目標可為時間最短；而某些彈道需準確完成攻擊目標，其優化目標為末端精度最高。因此，彈道全局優化問題是一個典型的多目標優化問題。本文采用加權處理方法實現該多目標優化問題，式(1)中，權重系數ωi的選取可根據各彈道段優化目標對飛行器總體設計關注指標的貢獻度而定。一種方法是通過敏感性分析確定總體指標對各段優化目標的敏感因子，由敏感因子大小相對值確定權重；另一種方法是根據設計者的經驗和偏好確定權重因子。

2) 設計變量

彈道全局優化由于存在交班點j，交班點的選取會影響彈道的優化目標。故設計變量中，除各段彈道的控制變量ui和狀態變量si外，還有交班點處控制變量和狀態變量ui,H_ point_ j,si,H_ point_ j。

3) 約束條件

首先，各段彈道于交班點處控制變量和狀態變量應平滑連接，此時交班點處控制變量和狀態變量應滿足式(1)約束條件中前兩個等式約束。其次，各段彈道分支之前質量應為彈道分支之后質量之和，如式(1)約束條件中第三個等式約束。另外，各段彈道也存在相應約束條件，如式(1)約束條件中后三個不等式約束。

針對此類多段分支彈道優化問題，其分支交班點和各彈道段控制變量、狀態變量的優化為強耦合優化問題，傳統彈道優化直接法和間接法[12]均難以解決。本文提出兩級全局彈道優化方法，以解決該優化問題。

2 彈道優化方法

2.1兩級全局彈道優化

本文提出適于多段分支兩級全局彈道優化方法，集成各段彈道子級優化問題，將交班點耦合變量中質量變量轉化為子級局部變量，其它狀態變量轉為系統級設計變量，實現同層級優化器之間的耦合解耦，以求解各最佳交班點；同時通過引入控制變量一階導，將其轉為系統級協調變量，實現各段控制變量的光滑過渡。

圖3 解耦后的兩級全局彈道優化框架Fig.3 De-coupled bi-level global optimization framework

圖4 兩級全局彈道優化問題的設計結構矩陣Fig.4 The design structure matrix of the two level global trajectory optimization

s.t.

(2)

(3)

優化框架如圖3所示，設計結構矩陣如圖4所示，系統級優化問題為式(2)所示，子級優化問題為式(3)所示。

2.2彈道優化方法

2.2.1 動力學方程

本文各段彈道采用下式所示的動力學方程:

(4)

式中：V為速度，t為飛行時間，P為推力，α為攻角，FX為阻力，m為質量，g重力加速度，θ為彈道傾角，σ為傾側角，FY為升力，ψ為彈道偏角，X為縱程，Y為高度，Z為側向距離，ms為燃料質量流量，α為攻角。

升力和阻力可按下式計算

(5)

式中：q為飛行動壓，S為參考面積，Cx和Cy則分別表示升力系數與阻力系數。

推力P=Isms，Is為發動機的比沖，與馬赫數Ma、高度Y、攻角α和燃油當量比φ等參數相關。

2.2.2 各段彈道優化方法

各段彈道優化方法可采用間接法或直接法。間接法運用龐特里亞金極大值原理和經典變分法中的拉格朗日乘子法求出最優控制問題的必要條件，然后用其它數值方法求解獲得最優變量。直接法則首先將最優控制問題轉化為參數最優化問題，后應用參數最優化方法求解最優變量?？紤]到本文所研究多段分支彈道全局優化問題的復雜性，重點介紹Hp自適應偽譜法[13-14]。

Hp自適應偽譜法將彈道優化問題的積分區間[t0,t1]轉換到區間[-1, 1]，對時間變量t作變換：

(6)

取N階Legendre-Gauss(LG)點以及τ0=-1作為節點，構成N+1個Lagrange插值多項式，并以此為基函數構造控制變量和狀態變量的近似表達式，即：

(7)

(8)

采用微分近似矩陣將動力學微分方程約束轉換為代數約束方程：

(9)

將終端約束條件離散，并通過Gauss點上的Gauss權重，終端約束可表示為：

(10)

邊界約束可表示為：

φ(X0,t0,Xf,tf)=0

(11)

過程約束可表示為：

C(Xk,Uk,τk;t0,tf)≤0,k=1,…,N

(12)

3 算例

3.1問題描述

本文算例[6]的研究對象為兩級重復使用運載器，下面級動力形式為RBCC發動機，上面級動力形式為液體火箭發動機，燃料均為液氧/煤油。根據運載器的飛行任務，規劃其任務剖面如圖5所示。其彈道設計是圖1(a)所示的多段分支彈道優化問題，包含下面級上升段、上面級上升段和下面級返回段3個彈道段：水平起飛，隨即將上面級以Ma8投送至50 km高空，然后兩級分離，下面級返回原場，上面級再將2 t有效載荷以7800 m/s速度投送至200 km高空，此時滿足入軌角度約束，彈道傾角為0°。

圖5 兩級入軌重復使用運載器任務剖面Fig.5 The mission profile of two-stage-to-orbit reusable launch vehicle

全局彈道優化問題說明如下：起飛條件為馬赫數0.4、攻角15°，終止條件為完成飛行任務，未端能量管理(Terminal area energy management,TAEM)界面條件為Ma2.5、高度15 km。

3.2兩級全局彈道優化

該算例中系統級設計變量為分離點的馬赫數、高度、彈道傾角和縱程，系統級協調變量是攻角。系統級采用序列二次規劃優化算法求解。各段彈道局部變量包括攻角、傾側角控制量、質量，優化方法采用Hp自適應偽譜法。

3.2.1 系統級優化模型

系統級優化數學模型如下所示：

式中：m01、m02和m03分別為3段彈道運載器初始質量；mend 1、mend 2、mend 3分別為3段彈道結束時的質量；r為運載器質量在各彈道之間的約束關系；V、θ、X、Y和α分別為交班點速度、彈道傾角、縱程、高度和攻角。各系統級優化變量取值范圍如表1所示。

考慮到經濟效益，運載器總體設計關注的是如何最小化起飛總質量。該算例中3段彈道優化目標均取彈道燃料消耗最小，即：

(14)

由于各段彈道燃料消耗對起飛總質量的影響程度相當，因此定義各段權重系數相等，即ω1=ω2=ω3=1/3，則系統級優化目標是minJ=1/3(J1+J2+J3)，等價于起飛質量m01最小。

表1 系統級優化變量取值范圍Table 1 The value range of design variable

表2 控制變量取值范圍Table 2 The value range of control variable

3.2.2 子級優化模型

各段彈道工作模態控制變量為攻角α、火箭燃料質量流量ms和燃油當量比φ，其取值范圍如表2所示。對于狀態變量，包括速度V，彈道傾角θ，縱程X，高度Y，質量m，運載器上一工作模態的終端值為下一工作模態的初始值。

3.3結果分析

3.3.1 計算結果

部分迭代計算結果如圖6～9所示，兩級全局彈道優化迭代計算至100步，計算終止。最優解如圖中“空心方形點”所示，圖中水平虛線為優化變量變化限制曲線。

圖6 速度迭代歷程Fig.6 The iteration history of velocity

圖7 高度迭代歷程Fig.7 The iteration history of altitude

圖8 攻角迭代歷程Fig.8 The iteration history of angle of attack

圖9 目標函數迭代歷程Fig.9 The iteration history of objective

3.3.2 結果分析

本文對比研究了兩級全局彈道優化和基于固定分離點的彈道優化方法。兩者的不同在于是否在各段彈道優化的同時考慮交班點(分離點)的優化。首先根據迭代設計結果，確定固定分離點參數，采用Hp自適應偽譜法優化各段彈道，得到的全程彈道優化結果如圖10所示。

圖10 基于固定分離點的彈道優化結果Fig.10 The optimization result based on fixed separation point

采用本文的兩級優化方法則同時優化各段彈道控制參數和交班點，得到了如圖11所示的全局優化彈道。

圖11 兩級全局彈道優化結果Fig.11 The trajectory result based on bi-levelglobal optimization

從表3的對比可以看出，采用本文方法得到的交班點與初始選擇的交班點有較大差異。

進一步對比全程彈道及對應的攻角曲線，如圖12和圖13所示?？梢钥闯?，由于分離點的不同，雖然兩者彈道形狀相似，但控制規律差異明顯，決定了目標函數差異較大，也表明了各彈道段和交班點同時優化的必要性。

表3 優化結果對比Table 3 The comparison of the optimization results

圖12 兩種方法彈道優化結果對比Fig.12 The comparison of the optimal trajectory

圖13 下面級全程攻角曲線對比Fig.13 The comparison of angle of attack of the lower stage

計算結果表明：

1) 兩級全局彈道優化中同層級耦合解耦，求解得到各最佳交班點，與基于固定分離點的全程彈道優化相比，速度增大，彈道傾角增大，縱程減小，高度減小，攻角增大。這是因為對于交班點速度，最優點并非在邊界上。若速度太大，則下面級上升段燃料消耗質量增大，上面級燃料消耗質量減??；若速度太小，則相反。對于交班點彈道傾角，上面級對彈道傾角的敏感性較大，初始彈道傾角會直接影響上面級爬升的能力，也就會影響上面級燃料消耗質量。對于交班點縱程，最優點在邊界上，表明交班點縱程小更優，下面級上升段和返回再入段燃料消耗質量均減??；對于交班點高度，最優點也并非在邊界上，若高度太大，則下面級無論上升段還是返回再入段，燃料消耗質量均較大，但上面級燃料消耗質量較小，若高度太小，則相反；對于交班點攻角，其對最佳交班點的選取與彈道傾角相同，均趨于最大值，上面級對攻角的敏感性較大，較大的初始攻角會減小其燃料消耗質量。

2) 將控制變量攻角轉化為系統級協調變量，保證了攻角的大小和變化，有效解決了多段分支攻角不連續等問題，攻角一階導絕對值最大僅為3.29°/s，為控制器實現提供良好的基礎。

3) 兩級全局彈道優化中兩級運載器起飛質量116.04 t，下面級質量103.18 t，上面級質量12.86 t；下面級上升段彈道燃料消耗質量為60.47 t，上面級彈道燃料消耗質量為9.16 t，下面級返回再入段彈道燃料消耗質量為2.72 t；與基于固定分離點全程彈道優化相比，起飛質量減小19.97%。

4 結 論

本文考慮到彈道優化的多目標性，提出兩級全局彈道優化方法，通過構造兩層優化框架，完成通用的多段分支彈道優化，得到以下結論：

1) 算例表明所提方法可有效解決多段分支彈道優化問題，系統級和子級所有設計變量、約束條件均滿足設計要求。

2) 同層級耦合解耦可有效求解各段分支最佳交班點，系統級協調變量可保證交班點控制變量和狀態變量的平滑過渡。

3) 所提方法同樣可推廣應用于其它各類差異性較大的多段分支彈道優化設計，通用性較強、靈活性較大。

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Bi-LevelGlobalOptimizationMethodforMulti-BranchingTrajectory

GONG Chun-lin, ZHU Zheng-guang, CHEN Bing, SU Hua, GU Liang-xian

(Shanxi Aerospace Flight Vehicle Design Key Laboratory, School of Astronautics, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072,China)

To solve the problems of the staging point selection and control variables jumping faced during design of the multi-branching trajectory, a bi-level global optimization method is proposed. In the given method, the sub-level optimization problem is set up for each trajectory section, and the system level optimization problem is set up to coordinate the coupling variables of the staging point. For these coupling variables, the mass variable is transformed to the local variable of the sub-level optimization problem, and other state variables are transformed as the global variables of the system level optimization problem. By this strategy, the couplings between the sub-level optimizations are decoupled hierarchically, and the optimal staging point can be obtained. Meanwhile, the first-order derivatives of control is introduced as the system-level coordinating variables to ensure the smooth transition of the control variables between the trajectory sections. The global trajectory optimization problem of a two-stage-to-orbit reusable launch vehicle is tested. The results show that the provided method is able to transform the highly coupled trajectory optimization problem into the simple and efficient bi-level optimization formulation, therefore can support the design of the multi-branching trajectory.

Multi-branching trajectory; Trajectory optimization; Bi-level global optimization; Staging point

V412.1

A

1000 -1328(2017)09- 0903- 08

10.3873/j.issn.1000-1328.2017.09.002

2017- 03-17;

2017- 07- 02

民用航天項目(D010403)；中央高?；究蒲袠I務費專項資金(G2016KY0302)；總裝預研基金(9140A20100111HK0318)

龔春林(1980-)，男，博士，副教授，主要研究方向為飛行器總體設計。

通信地址：陜西省西安市友誼西路127號249信箱(710072)

電話：(029)88492783

E-mail：leonwood@nwpu.edu.cn