淺談初中幾何中分類討論的教學策略

陸洋

摘 要：在中學數學教學中，分類討論的重要性十分突出。要提高學生對分類討論的重視，弄清楚引起分類的原因、明確分類討論的標準、遵循分類討論的步驟、掌握分類討論的方法。分類討論是解決數學問題的一種策略，也是訓練學生思維方法、培養思維能力的重要手段。

關鍵詞：分類討論；重合面積；例題

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9132（2017）29-0041-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2017.29.022

數學學科十分重視不同解題思路和方法的探究和運用，根據不同題目的類型，采取最為合適的解題方法，同時探究其他解題思路，這有助于學生發散性思維的培養。分類討論思想在初中數學教學中的應用就驗證了這一種教學思路的滲透。

翻閱蘇州各市區近幾年一模卷和蘇州市中考卷，發現那些開放性、探索性較強的試題往往會作為壓軸題，而學生往往失分嚴重，究其原因，是由于考生邏輯推理能力不強，分類討論思想缺失，或者解題不嚴密所致，因此訓練這方面能力是非常必要的。

一、確立分類討論思想的重要性

分類討論是指在解決數學問題的過程中，根據問題中所出現的多種情況和可能性，分別進行研究的一種常用的數學思想方法。

分類討論思想一旦以壓軸題的形式出現，就會讓學生無從入手。因此中考復習要到位，分類討論這方面問題，必須在平時課上就加以鋪墊，化整為零，讓學生經常可以感受到分類思想，不要到臨考前才臨陣磨槍。

二、如何進行分類討論的教學

分類情況可分為：數學概念的內涵需要分類討論；問題中的條件需要分類討論； 問題中的變量需要分類討論；形狀、位置的變化需要分類討論。

教師必須能全面、熟練地掌握初中數學教材中的所有概念、性質、定理。只有這樣，在教學的過程中教師才能更好地運用自己所掌握的東西，使學生對分類討論思想有系統、全面的理解，讓學生能掌握直至熟練運用分類討論思想。

代數型分類討論，如絕對值化簡，方程根的個數，函數圖像性質，二次函數最值等；幾何型分類討論，如求等腰三角形第三邊，直角三角形的第三邊，相似三角形的分類討論等；以上問題通過例題、課后作業，可以有效解決，讓學生輕松上手。但是綜合起來以后，學生有時就很難理解，下面具體來談一下，如何有效地讓學生學會計算“幾何重合面積”的方法。

對于幾何類型的分類討論，在課堂教學中，要訓練學生，讓他們畫出幾何圖形，特別是訓練讀題畫圖，在做作業乃至考試的時候，涉及幾何的題目，如果原題沒有配圖，一定要培養他們畫圖的習慣，對圖形有很好的感覺，會對分類討論有著最直接的幫助。課堂上，教師也應該經常在學生面前畫圖，并介紹如何利用直尺、圓規等工具，把幾何圖形畫得盡量準確，不要為了省事，總放些課件，把很好的訓練機會白白浪費掉。訓練尋找題中的特殊角度、坐標、特殊的邊的比值等。有時解題的關鍵就是這些容易疏忽的條件。運動的圖形，必須從起點開始畫，要學會畫出分類情況的臨界狀況，這是求自變量取值范圍的關鍵，這種過度圖形都是很特殊的位置，對于計算是很有幫助的。

例1：已知二次函數的圖象經過A（2，0）、C（0，-12）兩點，且對稱軸為直線x=4，設頂點為點P，與x軸的另一交點為點B.

（1）求二次函數的解析式及頂點P的坐標；

（2）如圖1，在直線y=-2x上是否存在點D，使四邊形OPBD為等腰梯形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，說明理由；

（3）如圖2，點M是線段OP上的一個動點（O、P兩點除外），以每秒個單位長度的速度由點P向點O運動，過點M作直線MN∥x軸，交PB于點N.將△PMN沿直線MN對折，得到△P1MN.在動點M的運動過程中，設△P1MN與梯形OMNB的重疊部分的面積為S，運動時間為t秒.問S存在最大值嗎？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由。

分析：

（1）利用對稱軸，可求出B坐標，用A、B、C坐標求拋物線解析式。

（2）關鍵要判斷一組平行的對邊是什么，因此先求出直線PB的解析式，可知與直線y=-2x的k相等，所以直線PB//OD，所以只需OP=BD，用勾股定理列出OP和BD，解方程，最后檢驗是不是只有一組對邊平行，當x=2時，OD=PB，此時四邊形OPBD為平行四邊形，舍去。

（3）做這小題時，有一條運動的直線，經過自己動手探索，發現△PMN翻折后，有兩種情況，如圖3、4，即重合部分是三角形或者是四邊形。

有的學生畫不出圖，寸步難行，有的學生只會畫出圖，至于如何計算，無從下手。教師要先鼓勵學生根據原圖畫出翻折圖像，這樣的全等圖形，相信只要去嘗試，可以臨摹出一模一樣的翻折圖形，如果成功的話，接著可以讓全班同學一起參與畫出不一樣的圖像，并且一起分析這些“不同的圖像”的相同之處，從運動的起點到終點，整個運動過程可總結出有兩種重合部分的圖像。下面要討論出這兩種情況的分界點，也就是重合部分是三角形的最后時刻，通過剛才畫圖的過程，可知點P翻折后正好落在x軸上。

分析完后，進入計算階段，這條運動的直線，是以M為主體，畫出的與x軸平行的直線，由速度可得PM=t，下面又是學生碰到的難題，其實，題中包含著很多的特殊三角形（特殊三角形包括等腰直角三角形、含30°的直角三角形，或者邊的比值是定值的也算是特殊三角形），這是要告誡學生，必須根據條件，去探索題中是否有特殊三角形，經過（1）（2）題的計算，圖3、4中可以得出△POD，△POG是等腰直角三角形，△PDB中BD：PD=1：2的直角三角形。因為相似，可知△PMH是等腰直角三角形，△PHN的直角邊也是1：2，用t可以表示MN、PH，面積也就迎刃而解了。

這道題的分類思想根據畫圖得出，因此，讓學生從圖像變化的起點出發，尋找臨界狀態，進而畫出動起來后的不同形式，再經過分析完善分類，最后進行計算。計算過程一定要利用已知條件，尋找特殊圖像。幾乎所有類似的題目，都有可以利用的圖形。

三、學生如何掌握分類討論的思想

正確的分類必須是周全的，既不重復，也不遺漏。分類討論的原則：分類中的每一部分是相互獨立的；一次分類按一個分類標準；分類討論應該逐級進行。

分類的基本步驟為：明確分類主體；按條件合理展開分類；根據類型逐項進行討論；歸納分類結果得出答案。通過平時課內和課后對畫圖的訓練、壓軸題中給出的點坐標、特殊三角形的尋找，通過從動點起止狀態的分析的訓練，學生可以逐漸掌握幾何重合面積的解決方法。

四、教師要把主動權還給學生

學生之所以對分類討論問題懼怕，無非是因為不知道什么題目要進行分類討論，或分類不完全、漏解，只要突破這兩個難點，學生以后碰到此類問題，就會迎刃而解了。在課堂教學中，教師要把主動權還給學生，要產生真切的師生互動，使討論具有實效。這樣，在課堂上學生始終處于不斷發現問題、解決問題的過程中。學生一旦嘗到努力探索的成就感，久而久之，就會更加喜歡學習，愿意學習。

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[ 責任編輯 林 娜 ]endprint