彭賽列閉合定理及其應(yīng)用

摘 要：文章先給出彭賽列（Poncelet）閉合定理的特殊情形及初等證明，然后給出定理的一般情形以及在高考中的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：彭賽列閉合定理；圓錐曲線；切線；初等證明

中圖分類(lèi)號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-0333（2023）31-0059-03

收稿日期：2023-08-05

作者簡(jiǎn)介：王正勇（1981.6-），男，江蘇省南通人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

彭賽列（Poncelet）閉合定理曾幾度出現(xiàn)在高考題中，令很多考生不知所措.筆者現(xiàn)將彭賽列閉合定理進(jìn)行簡(jiǎn)單梳理，并用初等方法由特殊到一般、由具體到抽象地給予介紹，最后給出彭賽列閉合定理在高考中的應(yīng)用.

1 彭塞列閉合定理的特殊情形定理1 （拋物線與圓）

2 彭賽列閉合定理的一般情形定理4 平面上給定兩條圓錐曲線，若存在一封閉多邊形外切其中一條圓錐曲線且內(nèi)接另一條圓錐曲線，則此封閉多邊形內(nèi)接的圓錐曲線上每一個(gè)點(diǎn)都是滿足這樣（切、內(nèi)接）性質(zhì)的封閉多邊形的頂點(diǎn)，且所有滿足此性質(zhì)的封閉多邊形的邊數(shù)相同.

注 最簡(jiǎn)明的彭賽列閉合定理表示為：一個(gè)三角形外接于一個(gè)圓，內(nèi)切于一個(gè)圓，則外接圓可以有無(wú)數(shù)個(gè)內(nèi)接三角形滿足其內(nèi)切圓為上述的同一個(gè).兩條圓錐曲線都是圓的情形如下.

3 在高考中的應(yīng)用

通過(guò)上文的證明過(guò)程可知，以彭賽列閉合定理為背景的試題，屬于“雙切線問(wèn)題”，解題的關(guān)鍵步驟是：表示出兩條切線的方程，利用“同構(gòu)法”求第三條直線的方程，利用點(diǎn)到直線的距離進(jìn)行驗(yàn)證.

彭賽列閉合定理涉及圓錐曲線的兩條切線，故其本質(zhì)上是處理圓錐曲線的雙切線問(wèn)題.此類(lèi)題型的運(yùn)算量較大，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等核心素養(yǎng).破解此類(lèi)題型的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用同構(gòu)思想和韋達(dá)定理［1］.

參考文獻(xiàn)：

［1］謝賢祖，李鴻昌.以彭賽列閉合為背景的試題探源及應(yīng)用[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2021（21）：32-34.

［責(zé)任編輯：李 璟］