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例談初中數學中構圖法的應用

2017-10-21 08:45:05祝捷
學校教育研究 2017年28期

祝捷

數學家G·波利亞曾說過:“畫一個假設圖形,假設它的各個部分都滿足題目條件,也許是邁出解題的重要一步。”初中平面幾何圖形的豐富變化,為我們“圖解”各類問題提供了無限可能。把一個具體數學問題圖形化,然后借助新的幾何模型進行求解的方法,叫做構圖法。作為一種特殊的技巧,構圖法在初中數學解題中有著廣泛的應用。

一、借助數軸構圖

例1 求 的最小值

析: 的含義為數軸上表示x的點到表示-2和4兩點的距離之和。

解:畫出數軸:

為使AP+PB最小,顯然點P在線段AB上。

故 時,原式值最小為6。

變式 求 的最小值

解:畫出數軸:

即在數軸上求一點P,使2PA+PB+3PC最小。

顯然點P在線段AC上。

∴2PA+PB+3PC=2(PA+PC)+PB+PC=2AC+PB+PC=14+PB+PC

為使PB+PC最小,顯然點P在線段BC上。

∴2PA+PB+3PC==14+BC=15,即 時,原式值最小為15。

二、借助長方形或梯形構圖

例2 利用幾何圖形證明平方差公式

證明:設正方形ABCD和CGFH的邊長分別為a,b。

將圖2-1中長方形EBGF剪下,拼到圖2-2中DHPQ的位置,

則長方形AEPQ長為 ,寬為 。

由S正方形ABCD-S正方形CGFH=S四邊形AEPQ,有 。

也可利用下面的圖2-3和2-4進行證明。

三、借助直角三角形構圖

例3 求 的最小值

析:顯然 時才能有最小值,由根式的形式可聯想勾股定理。

解:如圖3,作BD=12,過點B作AB⊥BD,過點D作ED⊥BD,使AB=3,ED=2,連AE交BD于C,作EF∥BD交AB的延長線于F。

由作圖得AF=5,EF=BD=12。

∴AE= ,即原式最小值為13。

例4 △PQR中,PQ、PR、QR的長分為 、 、 ,求△PQR面積

析:先畫一個4×3的網格(每個小正方形的邊長為1),再在網格中畫出△PQR,利用“割補法”計算面積。

解:由17=42+12,13=32+22,10=32+12,構圖如圖4。

∴S△PQR=

下面我們以例4為背景,借助構圖法來做一次有趣的拓展。

問題(1) 如圖5-1,一個六邊形被分成7個部分,其中正方形PRBA、RQDC、QPFE的面積分別為13、10、17,求六邊形ABCDEF的面積

析:先利用旋轉變換證明 。

解:如圖5-2,延長QP至點G,使GP=PQ,連GR

∵PRBA、QPFE為正方形

∴AP=RP,PQ=PF,∠GPF=∠APR=90°

∴∠GPF+∠APG=∠APR+∠APG,即∠APF=∠RPG

∵GP=PQ,PQ=PF

∴GP==PF

由GP=PQ,應有

∴ ,同理

∴S六邊形ABCDEF=S正方形ABRP+S正方形CRQD+S正方形PQEF+S△APF+S△BRC+S△DQE+S△PQR

=13+10+17+4×5.5=62

問題(2) 在問題(1)的基礎上,求六邊形中AF的長

析:只要轉求RG即可。這里我們可以借助平行四邊形構圖,利用平行四邊形各個邊的平方和等于兩條對角線的平方和求解。

解:如圖6,構造以GR、RQ為一組鄰邊的平行四邊形GRQH。

設RG=x,則有 ,解得

所以AF=RG=

我們可以把問題(2)推廣為一般情形:

問題(3) 如圖7-1,設一個三角形三邊長分別為 、 和 ,分別以 、 和 為邊長向外作正方形 、 和 ;連接相應頂點,得線段 ,以 為邊長向外作正方形 ;設正方形 、 和 的面積分別為 、 和 ,求正方形 的面積

解:構造平行四邊形如圖7-2,得 ,

即2( )=4 +4 ,解得S4=2S2+2S3-S1。

按照問題(3)的操作一直進行下去,我們可以得到一個“余弦樹”(圖7-3)。若正方形 的面積 ,則一定有Sn=2Sn-1+2Sn-2-Sn-3,其中 。

通過以上探索,我們可以歸納出圖7-1中兩個特殊結論。

結論(1) 正方形 、 、 和 所圍成的兩個三角形面積必相等

結論(2) 設正方形 、 、 和 的面積分別為 、 、 和 ,則必有

接下來我們將嘗試應用以上結論。

通過上面的案例,我們不難看出:初中數學中的構圖法解題,很好地體現了數形結合思想和轉化思想。該方法在使用的廣度和深度上,應該還具有很高的研究價值。我們不僅要在課堂外加強理論研修,更應在教學中關注此類方法的運用,讓學生經歷運用幾何模型研究問題的過程,從而有效地把各種數學知識聯系起來。

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