積分計(jì)算中的遞推式及其解法探討

(山東科技大學(xué) 山東 青島 266590)

積分計(jì)算中的遞推式及其解法探討

王雪建

(山東科技大學(xué)山東青島266590)

積分遞推式是探究積分求解問(wèn)題中不可避免的問(wèn)題。積分遞推式是積分求解問(wèn)題中的一把鑰匙，對(duì)研究各類積分有著至關(guān)重要的作用。本文整理并歸納高等數(shù)學(xué)中常見(jiàn)遞推式，用分部積分法,拆項(xiàng)法等基本解法導(dǎo)出積分的遞推式。為了使讀者更加容易讀懂本篇文章，本文就積分遞推式的應(yīng)用加以說(shuō)明,列舉經(jīng)典而實(shí)際的例題，使學(xué)生加深對(duì)遞推公式和解題方法的認(rèn)識(shí),開(kāi)發(fā)學(xué)生解題能力和技巧,在學(xué)習(xí)和推論中體會(huì)高等數(shù)學(xué)的樂(lè)趣。

積分遞推式；不定積分；歐拉積分

一、緒論

(一)研究背景

積分遞推式問(wèn)題歸根結(jié)底是積分的計(jì)算問(wèn)題。積分問(wèn)題是微分問(wèn)題的逆運(yùn)算，即知道了函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，反求原函數(shù)。在實(shí)際應(yīng)用上，積分的作用遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止這些，它一般被大量應(yīng)用于求和問(wèn)題，常用的就是求曲邊三角形的面積。積分遞推式巧妙的解決了復(fù)雜的積分求和問(wèn)題，這巧妙的求解方法是積分特殊的性質(zhì)決定的。積分問(wèn)題最早起源于極限和微積分的問(wèn)題。

(二)研究意義

在大學(xué)中的高等數(shù)學(xué)中，積分的遞推公式證明以及推導(dǎo)問(wèn)題，和一般的計(jì)算題和應(yīng)用題相比，證明過(guò)程對(duì)基礎(chǔ)一般的學(xué)生來(lái)說(shuō)是很困難的，本文的寫(xiě)作目的也是利用分部積分，換元積分，拆項(xiàng)積分等方法推導(dǎo)出積分遞推式，解決每一類可能遇見(jiàn)的積分遞推式問(wèn)題，使大家能夠快速的找準(zhǔn)解決問(wèn)題的辦法，更容易理解推導(dǎo)過(guò)程。積分遞推式的推導(dǎo)結(jié)果用來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題即積分計(jì)算問(wèn)題。本文就積分遞推式的應(yīng)用加以說(shuō)明。

(三)積分遞推式定義

積分遞推公式?jīng)]有明確定義，相對(duì)明確的定義出自于2007年，在高等教育出版社出版的《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-微積分》第二版。提到一般函數(shù)遞推公式遞推法的基本定義：當(dāng)被積的函數(shù)是一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的高次冪函數(shù)時(shí)，我們可以恰當(dāng)選擇u′、v′，通過(guò)一系列積分法則如分部積分拆項(xiàng)積分等方法，得到這個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的高次冪函數(shù)和低次冪函數(shù)的內(nèi)在關(guān)系，這個(gè)關(guān)系就是所謂的遞推公式，這個(gè)推導(dǎo)過(guò)程稱作遞推法。

二、(不)定積分中常見(jiàn)積分遞推式及解法探討

解決積分中遞推公式問(wèn)題我們最多的采用分部積分法和換元積分法。其它方法本章會(huì)另外加以說(shuō)明。

(一)分部積分法與積分遞推式

引理:對(duì)于用分布積分法解決積分問(wèn)題有其必要的前提條件，分部積分法的公式和應(yīng)該滿足的條件：設(shè)f(x)，g(x)在[a,b]上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則

含ex型積分遞推式

被積函數(shù)滿足分部積分法條件，采用分部積分法：

=xnex-nIn-1,

In=xnex-nIn-1.

(2.1)

(二)換元積分法與積分遞推式

引理:對(duì)于換元積分法解決積分問(wèn)題有其必要的前提條件，換元積分法的公式和應(yīng)該滿足的條件：

設(shè)1.f(x)在[a,b]上連續(xù)；2.φ(t)在[a,b]上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，其中a=φ(α)，b=φ(β)，

a≤φ(t)≤bt∈[α,β]，且φ′(t)在(α,β)內(nèi)保持定號(hào)。則：

特殊三角函數(shù)積分

被積函數(shù)滿足換元積分條件，采用換元積分法，

令t=arcsinx，則x=sint

則有

=tnsint+ntn-1·cost-n(n-1)In-2

于是

(2.2)

三、解法分析

不論是分式函數(shù)還是三角函數(shù)亦或是一般簡(jiǎn)單函數(shù)，如果被積函數(shù)的次數(shù)較高時(shí)，在用一般的方法求解中，求解過(guò)程會(huì)相當(dāng)繁瑣，結(jié)果的形式也相當(dāng)較復(fù)雜，并且不能保證每一部的正確性。本文的目的便是建立積分中可能遇見(jiàn)的各種函數(shù)的積分遞推公式，并總結(jié)其解法探討，使我們更加容易分析運(yùn)用積分遞推式，從而用積分遞推公式求解各類積分問(wèn)題。

本文我們?cè)谇蠼舛ǚe分和不定積分的遞推式過(guò)程中使用最多的方法是換元積分法，分部積分法，拆項(xiàng)法等。我們采用分部積分法求解各類不定積分的積分遞推式，但是當(dāng)被積函數(shù)是一般三角函數(shù)時(shí)，我們一般用分部積分法，當(dāng)被積函數(shù)是反正弦反余弦等函數(shù)時(shí)我們用換元積分會(huì)更加容易些。

四、小結(jié)

積分遞推式是一把鑰匙，一把輕松開(kāi)啟積分計(jì)算大門(mén)的鑰匙。若采積分遞推關(guān)系的方法來(lái)解決積分計(jì)算問(wèn)題,會(huì)大大減少計(jì)算時(shí)間。本文整理并歸納各個(gè)大學(xué)高等數(shù)學(xué)中關(guān)于不定積分中常見(jiàn)遞推公式的定義與常見(jiàn)類型。整理并歸納高等數(shù)學(xué)中常見(jiàn)遞推式，用分部積分法,拆項(xiàng)法等基本解法導(dǎo)出積分的遞推式。使學(xué)生加深對(duì)遞推公式和解題方法的認(rèn)識(shí),開(kāi)發(fā)學(xué)生解題能力和技巧,在學(xué)習(xí)和推論中體會(huì)高等數(shù)學(xué)的樂(lè)趣。

[1]華東師大數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京:高等教育出版社,2001.

[2]劉玉璉，傅沛仁.數(shù)學(xué)分析[M].北京:高等教育出版社,1998.

[3]李文榮.分析中的問(wèn)題研究[M].北京:中國(guó)工人出版社,2001.

王雪建(1991-)，男，山東濱州，碩士研究生，山東科技大學(xué)，研究方向圖像處理。