一族可積的非線性晶格方程

(山東科技大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院 山東 青島 266590)

一族可積的非線性晶格方程

姜鵬飛

(山東科技大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院山東青島266590)

孤立子理論的研究不斷發(fā)展，在很多科學(xué)領(lǐng)域都存在孤立子以及與孤立子理論密切聯(lián)系的問題，本文引入一個離散的特征值問題，導(dǎo)出一族離散的可積系。

離散譜問題；離散可積系

一、引言

離散可積系統(tǒng)與辛算法、DNA的研究以及元胞自動機(jī)等有著密切的聯(lián)系，有著十分廣闊的應(yīng)用前景，因此，離散可積系統(tǒng)的研究引起了廣大的關(guān)注，許多離散可積系已經(jīng)被系統(tǒng)地研究[1-7]。本文引入一個離散的矩陣譜問題，通過離散的零曲率方程，導(dǎo)出了一族離散可積系。

二、離散可積系的導(dǎo)出

首先，我們引入下列離散的譜問題

(1)

其中E是位移算子，其逆及差分算子的定義如下：

(Ef)(n)=f(n+1),(E-1f)(n)=f(n-1),n∈Z,

(2)

(Df)(n)=f(n+1)-f(n)=(E-1)f(n),n∈Z,

(3)

并且記f(j)=Ejf,j∈Z.假設(shè)p=p(n,t),q=q(n,t)是定義在Z×R上的實(shí)函數(shù)。λ是譜參數(shù)并且λt=0.

為了得到離散的可積系，我們首先解離散的譜問題(1)的駐定的離散零曲率方程(EΓ)U-UΓ=0,

(4)

容易驗(yàn)證(4)的四個分量方程為

λ2(a(1)-a)+b(1)q-λ2cp=0,λ2p(a(1)+a)+b(1)-λ2b=0,λ2c(1)-c-q(a(1)+a)=0,λ2pc(1)-qb-(a(1)-a)=0.

(5)

(6)

(7)

bo=-p,a1=pq(-1),b1=-p(1)-p2p(-1)+pp(1)q,c1=-q(-1),

容易驗(yàn)證

(E(Γλm)+)U-U(Γλm)+

為了得到離散的可積系，選擇附加項(xiàng)

并且令Vm=(Γλm)++Δm，則離散的零曲率方程

Utm=(EVm)U-UVm,m≥0,

(8)

等價與以下的離散的非線性可積系統(tǒng)

ptm=bm-vam,qtm=-wam-cm.

(9)

當(dāng)m=1時，得到(9)中一組非線性可積系統(tǒng)

pt1=(pq-1)p(1),qt1=(1-pq)q(-1).

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姜鵬飛，男，漢族，山東濰坊，碩士研究生，山東科技大學(xué)，計算理論與數(shù)據(jù)處理。