《數形結合，建立模型》

葉素勤+伍惠儀

背景分析：

“模型思想”是新教材的十大核心詞之一。廣義地講，數學中各種概念、算法、解決問題的方法等，都可以叫做數學模型。二模型思想就是針對要解決的問題，構造相應的數學模型，通過數學模型的研究來解決實際問題的一種數學思想方法。查閱了一些資料后發現，數學的建模思想較早適用于大學的學習，在小學中的應用并不廣泛。然而在新教材的使用中，“模型”再一次被提出來，并作為小學數學教學的一個關鍵詞。小學生的年齡特征影響著他們對模型建構的效率，所以在新教材理念下的數學模型的構建，更加多的是使用數形結合的方式去構建數學模式。結合這段時間區開展的新教材使用學習，其中所學習研討的課例及自己在使用新教材中如何使用數形結合，建立模型，提高數學學習效率。

案例回放：

片段（一）

節選自海北小學朱子健老師的《乘法分配律》一課

一、創設情境、感知模型。

1、出示情境圖

春裝一套78元，

小劉買2套，小李買3套

兩家一共要付多少錢？

學生反饋解法：

（1）75×2×3

（2）75×2+75×3

（3）75×（2+3）

指導分析算式表達的意義

（2）75×2+75×3

中75×2表示什么意思，75×3有表示什么意思。

學生反饋：75×2表示小劉要付的錢，75×3表示小李要付的錢。

為什么最后要再相加？表示他們合一起的錢。

（3）75×（2+3）

=75×5

在這里（2+3）是什么？表示一共的套數。

75×5表示什么？表示一共要付的錢。

在剛才的幾個算式中都出現了乘法，它們為什么都用乘法來解決問題呢？

75×2表示什么：2個75相加。

75×3表示什么：3個75相加。

75×5表示什么：5個75相加的和

這兩個算式的結果怎么樣？“=”

如果不需要計算，你可以談談下面的關系是否相等嗎？為什么？

75×2+75×3（=）75×（2+3）

因為：2個75相加+3個75相加就是5個（2+3）75相加。所以左邊與右邊的算式表達的意義相同，結果也一定相等。

【設計意圖：利用學生生活中經常經歷的經驗去思考和提出解決的方法，在閱讀、分析、探討中初步感受解決這類問題的模型方法，用意義來初步構建出乘法分配律的基本模型。從感知中培養學生的數學思維。】

二、數形結合，驗證模型。

結合圖，與同桌說說等式（6+4）×3=6×3+4×3為什么會成立。

【設計意圖：在學生基本感知兩數的和乘一個數=這兩個數分別乘同一個數的關系后，通過出示具體的直觀的方格圖，用形象的圖形，直觀清晰的讓學生明確為什么（6+4）×3=6×3+4×3，借用“形”來確立“數”的關系。使四年級的孩子更容易的接受抽象的乘法分配律，更形象的理解和建立乘法分配律。】

片段（二）節選自西關培正小學 唐嘉欣老師執教的《解決問題-鋪地磚》

一、情境導入

問：（1）、能用學過的面積知識求出綜合電教室地板的面積嗎？（只列式不計算）

（2）每塊磚塊的面積能計算嗎？（只列式不計算）

（3）綜合電教室里用了多少塊這樣的地磚嗎？

展示兩種不同的鋪磚方法

【設計意圖：充分運用學生生活中的情景，感受數學問題來源于生活，運用數學知識解決問題是生活的必要手段。通過研究學生身邊的綜合電教室的鋪磚問題，初步感知解決鋪磚問題的數學模型。】

二、新授知識

1、閱讀理解

出示主題圖

請學生閱讀圖意

2、分析與解答

1）動手操作，驗證想法

2）匯報、展示。

3）列式解答。

3、回顧與反思

如何檢驗解答結果是否正確？

通過電腦平臺再一次展示鋪磚的兩種方式

4、小結：

要解決鋪地磚的問題可以有哪些方法？

【設計意圖：通過直觀的操作，讓學生自我實踐如何鋪地磚，鋪地磚時要知道什么，鋪的時候可以怎樣鋪。從而形成解決鋪地磚問題的具體方法的模型，從之前的感知模型順利上升到驗證模型形成模型。通過最后的回顧與反思，借助平臺的顯示，再一次強化了鋪地磚問題的解決模型，在學生形成了深刻的印象，便于學生理解和掌握。使知識進一步升華。即給予了學生知識，更給予學生思考的方法，更有利于學生日后的學習與提升。】

片段（三） 長方形、正方形面積的計算

教學內容：人教版小學三年級數學下冊66頁例4及相關的練習

教學目標：

1、經歷長方形、正方形面積公式的推導過程，獲得從度量到計算來研究長方形、正方形面積的方法。

2、理解長方形、正方形面積公式的意義，掌握長、正方形面積計算公式，能運用公式進行長方形和正方形的面積計算，并能解決簡單的實際問題。

3、在動手操作中體驗和激發學習數學的興趣，再通過自主探究得出結論，從中體會成功的快樂。

教學課時：第一課時

教學重難點：

重點：理解并掌握長方形、正方形面積的計算公式。

難點：理解長方形面積公式的意義。

教學準備：

面積單位若干個（每個小組一份），方格紙、長方形圖形等。

教學過程endprint

（一）激活舊知，回顧鋪墊。

下面每組圖形是由若干個面積是1平方厘米的小正方形所拼成的，請說出每個圖形的面積，并比較每組圖形面積的大小，看看你有什么發現？

1）

（ ）平方厘米 ○（ ）平方厘米

通過上面的比較，你什么的發現？

預設1：它們都用了6個1平方厘米大的小正方形所拼成，所以它們的面積一樣。

預設2：它們的形狀不同，但面積一樣。

師：為什么形狀不同，可面積還是一樣呢？

預測：它們的面積單位的個數相同，都是6個。

師：同學們真厲害，只有知道了圖形所含面積單位的個數，就是這個圖形的面積。下面看看這個長方形，你們是否能求出它的面積？

【設計思路：通過直觀的數一數，讓學生再一次明確，直接給出面積單位時，可以通過數面積單位的個數來確定圖形的大小。通過形象直觀的數據來比較，從比較中體會決定圖形的大小，是由圖形所含有面積單位的個數來決定，與形狀無關，不同的形狀，面積也有可能相同。使學生再一次強化守恒的原理。】

（二）、經歷感悟，探究新知

1、提出問題，突出度量的本質。

出示例4：一個長方形長5厘米、寬3厘米，你能求出它的面積嗎？

5厘米 （為學生提供足夠數量的面積單位）

3厘米

請孩子們自己動手擺一擺，看你能不能求出它的面積。

2、匯報交流，邊擺邊說你是怎樣求的它的面積的。

預設1：用小正方形（面積是1平方厘米）鋪滿這個長方形，發現一共要用15個，所以這個長方形的面積是15平方厘米。

預設2：我不需要把這個長方形擺滿面積單位，我只擺在長邊上擺了5個面積單位，寬上擺了3個面積單位，因為每行擺了5個面積單位，擺了3行，正好能鋪滿，所以用乘法：3×5=15（個），15個小正方形的面積之和也就是15平方厘米。

3、根據擺的兩種現象，思考以下問題：

師：通過剛才的擺一擺，你能夠思考下面兩個問題嗎？1、圖形面積的大小是由什么決定？2、通過哪兩個條件可以知道圖形含有多少個面積單位？

預設：圖形面積的大小是由這個圖形所含有面積單位的個數決定。

預設：通過每行的個數和行數就能知道圖形含有多少個面積單位。

小結：同學們都很厲害，能用不同的方法求出這個長方形的面積，長方形的面積就是由這個長方形所含面積單位的個數決定的。

【設計思路：用動手擺一擺，屏幕根據學生的演說一一顯示兩種擺放的全過程，讓學生明白兩種擺法的不同，讓學生感受二維面積的度量就是面積計算的本質，知道和掌握用面積單位把圖形鋪滿，所用面積單位的個數就是這個圖形的面積。初步感知每行的個數和行數能幫助計算面積的大小。】

4、感悟關系，探索面積計算公式。

1）老師為每兩位同學提供了12個大小是1平方厘米的小正方形，每次都要全部用這些小正方形，請各位同學拼出不同的長方形，一邊操作，一邊記錄到下表中。

每行的個數 行數 面積 長方形的長 長方形的寬

1

2

3

4

5

分工合作，兩位同學都要動起來，參與到操作活動中。

2）匯報，尋找面積計算的方法。

分別匯報出各自擺放的長方形的每行的個數和相應的行數，數或算出拼成的長方形的面積是多少？

3）引導觀察，歸納公式。

用課件一一展示學生拼成的長方形，在圖中，讓學生明確的認知到長方形的每行的個數就是長方形的長，行數就是長方形的寬度，長方形的面等于每行的個數乘行數，也就是長×寬。

板書：

長方形的面積=每行的個數×行數

長方形的面積= 長 × 寬

簡單介紹字母表示法。

小結：長方形的面積由長與寬的乘積決定。知道了長方形的長和寬，就能求出這個長方形的面積是多少？

【設計意圖：通過學生自己擺和記錄，使學生掌握收集數據，分析數據的數學能力，通過數據的分析體會每行擺的個數就是長方形的長，擺的行數就是長方形的寬，長方行的面積=每行的個數×行數=長×寬。】

感悟和反思：

數學建模對學生的訓練和傳統數學課程相比較很不一樣，建模能培養學生觀察力、想象力、邏輯思維能力以及分析、解決實際問題的總和素養。

數學建模只用數學語言描述實際現象的過程，是一種數學的思考方法，是運用數學的言語和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并“解決”實際問題的一種強有力的數學手段。

而以上三個片段中均使用了直觀形象的圖形、鋪磚、擺小正方形等手段，直接演示出所研究知識的內在聯系，通過建模去構建計算關系、計算公式、解決問題等不同的知識點，有效的突破了知識點中的重點與難點。

在建模中可以從以下環節入手，構建模型：

1、重視情境創設，為學生建模構出雛形。

數學知識都源于生活，數學知識也服務于生活。所以從孩子們最為熟悉的環境入手，充分挖掘他們的生活經歷，運用這些素材創設出與教學內容相關的生活數學信息，讓學生趕到親切和陌生，研究的興致會更高，憑借孩子的生活經驗，能夠對所研究的問題或知識起到啟蒙或初步感知構建，使學生在心中對所探討的知識構出雛形，更有利于后面的學習和研究。

2、猜測、驗證模型，用數形結合強化模型。

數與形是數學中的兩個最古老，也是最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉化。作為一種數學思想方法，數形結合的應用大致又可分為兩種情形：或者借助于數的精確性來闡明形的某些屬性，或者借助形的幾何直觀性來闡明數之間某種關系，即數形結合包括兩個方面：第一種情形是“以數解形”，而第二種情形是“以形助數”。“以數解形”就是有些圖形太過于簡單，直接觀察卻看不出什么規律來，這時就需要給圖形賦值。在片段中，三位老師均采用了數形結合的方式來構建出知識的模型，她們主要在猜測與驗證的過程中，借助直觀的幾何形體，以形塑數，用幾何形體的內在聯系，塑造出“數”的關系，從而形成了模型。

3、鞏固強化模型，從“形”回歸到“數”。

我國著名數學家華羅庚曾說過：“數形結合百般好，隔裂分家萬事休。”“數”與“形”反映了事物兩個方面的屬性。我們認為，數形結合，主要指的是數與形之間的一一對應關系。數形結合就是把抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過“以形助數”或“以數解形”即通過抽象思維與形象思維的結合，可以使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優化解題途徑的目的。在課堂教學中，我們使用直觀的幾何形體構建出模型，在強化鞏固模型的過程中，一定要把“形”回歸到“數”，才能達到解法簡單。形是研討的一個過程，數才是最后要達到的目標。

本人認為數學建模專業化程度高，面向的人很少。但用數形結合來構建數學模型，則更適合小學階段的孩子，更有利于培養孩子由具體到抽象，由空間到數學符號化的發展。其實數學建模離我們并不遙遠，只要對數學感興趣，勇于探索，勇于思考。建模則隨時發生。endprint