數形結合思想在數學解題中的運用

◎譚子灝

數形結合思想在數學解題中的運用

◎譚子灝

數形結合是高中階段的重要解題思想，在實際問題解決中的應用價值較高，能提升問題解決質量與效率。學生在高中階段的數學課程學習過程中，應當加強對該解題思想的應用研究。本文簡要就數形結合思想在實際問題中的解題策略進行分析，并以此為基礎，總結性的探索了該解題思想的實際應用模式。以期為廣大高中學生的數形結合思想應用能力提升提供參考，保證解題質量。

數形結合思想主要是指學生在實際問題解決時，通過就數與形之間的相互關系進行分析，將題目中理解較為困難抽象的條件與關鍵點通過形象的集合圖形進行表示。從而實現復雜的問題簡單化，幫助學生找準問題解決的關鍵點，避免重復冗長的問題分析與計算，是重要的高中數學問題解決工具。該解題思想的應用相比其他解題方式更加有效，學生在實際問題解決時不僅能實現解題精確度的提升，還能有效實現解題時間的節約。

數形結合思想在實際數學問題解決中的應用分析

數形結合思想作為重要的數學解題思想，在高中數學問題解決中的應用是十分常見的，在多種問題解決中都具有重要的應用優勢，且具體表現在以下幾方面數學知識的解決中。其一，集合類問題的解決。集合是高中階段的重要數學知識內容，在高考數學試題的選擇與填空題中十分常見，而其大多是以就集合的交集、并集以及補集的方式出現。學生在進行該類型的問題解決時可采用數形結合思想進行問題解決，即利用數軸展開問題思考，將抽象的集合問題具體化，方便學生快速地得到問題答案。

例1，現存在一全集為U=N，集合A={X=2n,n∈ N},B={X|X=4n,n∈ N}，試求出集合U=( )。

學生可根據題目繪畫出相應的Venn圖來就問題中的數據關系進行表示，從而求出相應的集合。如圖1所示，B集合其實是A集合的真子集，所以集合U=A∪CuB。

圖1

其二，方程與不等式問題的解決。方程問題與不等式問題不僅可作為單獨的計算問題，同時還可能會出現在綜合性數學題當中，學生在就方程問題進行解決時可將其轉化為函數交點問題，而不等式問題可轉變為函數問題。之后再利用函數的幾何意義來繪制相應的幾何圖形，從而實現問題解決。

例2，試求方程組x+y=3,y=2x這一方程組的解。

學生在就該方程問題解決時，可根據方程數據將其變化成圖像交點圖形，即圖2，并根據交點的坐標來就該方程組的解的大小進行明確，從而進行問題解決。最終解出該方程組的解為x=1,y=2。

圖2

其三，絕對值問題的解決。學生在就絕對值問題進行解決時可通過數形結合的思想，將絕對值問題中的數值轉換到相應的數軸上，依靠絕對值性質確定解題范圍，從而求解。

例3，當|x|＞a,(a＞0)，試求x的取值范圍。

學生在就該問題解決時，可首先根據題干中的數據繪制出相應的數軸圖，即圖3，由兩點之間的具體可分析得出x的取值范圍為：x＜-a或者x＞a.

圖3

數形結合思想的解題應用模式分析

由數據變化為圖形。高中階段的數學問題對于學生的抽象思維與邏輯思維的能力要求較高，所以大多數的題目中給出的數據與條件都較為抽象，利用代數解題方式實現問題解決將難以抓住問題解決的關鍵點。學生在進行該類型的問題解決時就可根據問題中涵蓋的數據進行數據變形，將其轉化為圖形。首先，學生應當就實際問題中的條件以及結果進行分析，積極調動所學的幾何與立體幾何知識進行問題中的數據重現，繪出相應的圖形。并就該圖形的性質以及幾何意義進行標明，之后再根據具體的圖形表達式或者相關公式來進行問題解決，求出問題目標。

由圖形變化為數據。圖形問題逐漸成為當前高中數學考察中的重要類型，但是在實際問題中所涉及到的圖形往往十分復雜，學生可將相關圖形轉變為具體的數據，通過代數法來進行問題的解決。而為保證圖形轉化的準確性，學生應當首先就題目中的圖形特征進行分析，觀察該題目中是否存在隱含性條件。而在實際問題解決時，學生應當遵循以下解題規律。即首先就題目要求與問題求解目標進行明確，其次在就圖形中所含有的幾何意義與幾何條件進行分析，最后利用代數式進行圖形數據與條件的表達，利用所學的代數公式或者代數定理進行問題求解。

使數據和圖形相互變化。該解題模式的應用從本質上講，其實就是以上兩種解題模式的有機結合體，其主要被應用于更為復雜的數學問題當中。該類型的問題往往不僅含有較多的抽象的數據，同時還以復雜的圖形作為已知條件。學生在進行該問題解決時，應當就實際問題進行深入的分析，并就題干中所給出的數形關系進行標注。注意觀察題目中是否存在隱含性的條件，養成數據與圖形相互變化的意識。

數形結合思想在高中數學問題解決中的應用十分廣泛，能就常見的集合問題、不等式問題、三角函數問題、線性規劃問題以及絕對值問題等進行解決，相比其他解題方式更加快速便捷。而學生在實際問題解決的過程中，還應當注重由數變形、以形變數以及數形互變等多種解題模式的應用，切實實現自身的數形結合思想的應用能力提升，保證問題解決的質量與問題解決的效率。

（作者單位：長沙市雅禮中學）