圓域有理q-Bézier曲線

呂雁燕, 劉 植, 劉曉雁

(1.合肥工業大學 數學學院,安徽 合肥 230009; 2.拉文大學 數學系,加利福利亞 拉文 91750)

圓域有理q-Bézier曲線

呂雁燕1, 劉 植1, 劉曉雁2

(1.合肥工業大學 數學學院,安徽 合肥 230009; 2.拉文大學 數學系,加利福利亞 拉文 91750)

文章基于一類廣義Bernstein基函數定義了圓域有理q-Bézier曲線,通過改變參數q的取值,可以得到一類有理q-Bézier曲線簇,并研究了該類曲線的基本性質及De Casteljau型算法,用二次有理q-Bézier曲線可精確表示圓錐曲線。該方法比現有方法更加靈活,且表示范圍更大。數值實例表明,圓域有理q-Bézier曲線的研究具有一定的理論意義與應用價值。

圓域算術;圓域有理q-Bézier曲線;中心曲線;De Casteljau型算法;圓錐曲線

曲線和曲面的表示是CAD及CAM重要的研究方向之一。經典Bernstein多項式在函數逼近論、計算幾何以及概率論等領域均有著重要的應用。近20年來關于Bernstein多項式的推廣研究已取得豐富成果[1]。文獻[2]首次提出一類基于q-整數的廣義Bernstein多項式,它是經典Bernstein多項式的一種推廣形式。文獻[3]基于該多項式提出了一類新的多項式基函數,稱之為q-Bernstein基,進而得到新的參數多項式曲線——q-Bézier曲線。q-Bézier曲線包括了Bézier曲線,且具有與Bézier曲線類似的性質。參數q的引入賦予了q-Bézier曲線更加豐富的形狀控制能力。然而和經典Bézier曲線一樣,q-Bézier曲線也不能精確表示除拋物線外的圓錐曲線。文獻[4]基于De Casteljau算法研究了有理q-Bézier曲線,并在一定范圍內給出了圓錐曲線的有理q-Bézier表示，但其結果并不完整,文獻[4]中圓錐曲線的構造只對參數q進行討論,而忽略了權因子ω。

幾何造型中大量運算都是基于浮點運算環境[5],因此幾何體的表示不夠精確,幾何計算也是近似的。為了保證數值運算的穩定性以及計算結果的精確性,人們常采用區間方法[6-7]。 用二維區間代替點進行運算,從而能保證理論上的精確結果含于計算結果中,在一定程度上避免重要信息的丟失。然而,文獻[8]指出區間算法有2個缺點:① 區間在計算過程中會逐漸擴大;② 矩形區間在二維空間中不具有旋轉對稱性,導致區間曲線不再具有仿射不變性。為了克服這些缺點,文獻[9]用圓盤代替控制頂點引入了圓域Bézier曲線,該曲線可看作由Bézier曲線上的每一點與相應半徑構成的動圓掃過的平面區域。圓域Bézier曲線也可看成一種帶誤差的Bézier曲線,當所有的圓域半徑都相同時即為等距曲線。相對于傳統的NURBS曲線,上述各種Bézier曲線克服了基本算法中存在的數值不穩定問題。 有理q-Bézier曲線能精確表示圓錐曲線,因此將圓域Bézier曲線向有理圓域q-Bézier曲線的推廣是一件有意義的工作。

本文提出圓域有理q-Bézier曲線的概念,并研究了其基本性質,得到q-Bézier曲線的De Casteljau算法。重點討論了圓錐曲線帶的圓域有理二次q-Bézier表示,通過改變q和ω的取值可以得到更加豐富的圓錐曲線帶,并給出參數q以及權因子取不同值時的圓域有理q-Bézier曲線表示圓錐曲線的分類圖,拓展了現有方法的使用范圍。

1 預備知識

1.1 圓域運算

設R為全體實數集,R+為全體非負實數集,N為全體自然數集。平面圓域

可表示為〈P0〉=〈P0;r0〉。其中,(x0,y0)∈R2，為圓域的中心;r0∈R+，為圓域的半徑;P0表示以原點為起點,點(x0,y0)為終點的向量。

對于任意2個圓域〈P1;r1〉、〈P2;r2〉和實數λ∈R,定義圓域運算如下：

λ〈P1;r1〉=〈λP1;|λ|r1〉,

〈P1;r1〉+〈P2;r2〉=〈P1+P2;r1+r2〉。

故n+1個圓域的線性組合可表示為：

(1)

1.2q-Bernstein基

在參數曲線的基表示方法中,基函數具有重要的作用。基于q-Bernstein基的有理q-Bézier曲線是有理Bézier曲線的推廣。

對任意n∈N,q∈R+,n次q-Bernstein基函數[3]定義為：

(2)

其中,連乘符號中沒有乘積項時視為1;[i]定義為：

q-二項式系數定義為：

特別地,當i=0時,上式為1。

對任意q∈(0,1],q-Bernstein基在區間[0,1]上是一組全正基。四次q-Bernstein基函數曲線(q=0.5)與經典四次Bernstein基函數曲線(q=1)的對比如圖1所示。

圖1 四次q-Bernstein基與四次Bernstein基

2 圓域有理q-Bézier曲線

2.1 概念

定義1給定n+1個平面圓域〈Pi〉=〈Pi;ri〉和ωi∈R+,i=0,…,n。對t∈[0,1],定義平面n次圓域有理q-Bézier曲線為：

(3)

其中,Bi,n(t)為(2)式定義的n次q-Bernstein基函數;〈Pi〉 (i=0,1,…,n)為控制圓域;ωi(i=0,1,…,n)為權因子。特別地,當ωi為常數時,〈R〉(t)退化為圓域q-Bézier曲線，即

若記

并稱之為n次有理q-Bernstein基函數,則由(1)式知,(3)式也可表示為：

〈R〉(t)=〈R(t);r(t)〉,t∈[0,1],

〈Pi〉w={(wix,wiy,wi)∈R3|

在三維空間定義非有理圓域q-Bézier曲線為：

或

其中,t∈[0,1];Bi,n(t)為(2)式定義的n次q-Bernstein基函數。對〈R〉w(t)使用中心投影變換,即得相應的圓域有理q-Bézier曲線。

2.2 性質

圓域有理q-Bézier曲線具有與有理Bézier曲線相似的性質，具體如下:

(1) 端點插值。〈R〉(0)=〈P0〉,〈R〉(1)=〈Pn〉，這是由于

(2) 凸包性。當所有的權因子ωi>0,參數q∈(0,1]時,圓域有理q-Bézier曲線位于控制圓域的凸包內。事實上,

即〈R〉(t)是圓域〈Pi;ri〉(i=0,…,n)的凸組合。

(3) 仿射不變性。圓域有理q-Bézier曲線的中心曲線是一條有理參數q-Bézier曲線,因此它具有仿射不變性。對于圓域半徑r(t)，其在平移、旋轉、反射條件下依舊成立。

(4) 形狀可調性。給定控制圓域和權因子,可以通過改變參數q的取值來調整圓域有理q-Bézier曲線的形狀。如給定如下控制圓域：

〈P0;r0〉=〈(9,10);2.3〉,〈P1;r1〉=〈(10,24);3〉,

〈P2;r2〉=〈(18,44);1.5〉,〈P3;r3〉=〈(30,46);2〉,

〈P4;r4〉=〈(35,30);1.5〉;

權因子

ω0=1,ω1=2,ω2=3,ω3=4,ω4=5。

形狀參數q=0.1和q=0.9時對應的圓域有理四次q-Bézier曲線如圖2所示。

圖2 q取不同值時的圓域有理四次q-Bézier曲線

由圖2可以看出,參數q的增大使圓域有理q-Bézier曲線更接近控制圓域。

2.3DeCasteljau型算法

(2) 對s=1,2,…,n;i=0,1,…,n-s,計算

類似經典De Casteljau算法,上述算法的中間圓域可表示為:

3 圓錐曲線的精確表示

圓錐曲線是CAD系統中重要的幾何造型工具。圓域有理q-Bézier曲線不但可以生成自由形態的曲線曲面,而且能精確表示圓錐曲線。由(3)式可知,二次圓域有理q-Bézier曲線可表示為:

〈R〉(t)=

(4)

其中,B0,2(t)=(1-t)(1-qt)、B1,2(t)=(1+q)×t(1-t)、B2,2(t)=t2為二次q-Bernstein基函數。

為了便于幾何描述,本文取

ω0=ω2=1,ω1=ω,

且所有的圓域半徑都相等。

首先,當(1-q)+ω(1+q)=0時,(4)式的分母B0,2(t)+ωB1,2(t)+B2,2(t)=(1-t)2+t2恒不為0,二次圓域有理q-Bézier曲線(4)表示橢圓。

其次,當(1-q)+ω(1+q)≠0時,因為

所以可以通過變換控制圓域和權因子,把圓域有理二次q-Bézier曲線表示為圓域有理Bézier曲線的形式。新的控制圓域和權因子分別為:

〈P0′〉=〈P0〉,〈P1′〉=

此時圓錐曲線可以按q和ω的取值分類如下:

(1) 若(ω1′)2<1,即-4<(q+1)(ω-1)<0,則〈R〉(t)表示橢圓。(1-q)+ω(1+q)=0恰好也包含在該結論中。

(2) 若(ω1′)2=1,即(q+1)(ω-1)=-4或者(q+1)(ω-1)=0,則〈R〉(t)表示拋物線。

(3) 若(ω1′)2>1,即(q+1)(ω-1)<-4或者(q+1)(ω-1)>0,則〈R〉(t)表示雙曲線。

注意到,當q=-1時,〈P1′〉=〈P0〉,得到一條從〈P0〉到〈P2〉的直線段帶。對任意實數ω，ω1′<0,即(1-q)+ω(1+q)<0,得到互補弧線,以相反的順序遍歷。當ω1′<0或q<-1或q>1時,曲線不滿足凸包性質。

在幾何造型中,上述結果可采用分布圖的形式表示,如圖3所示。在由q和ω構成的坐標系中,“E” 表示橢圓區域,“H” 表示雙曲線區域,位于E和H之間的邊界曲線是拋物線區域。 特別地,直線q=1即為經典有理二次Bézier曲線。

圖3 圓域有理二次q-Bézier曲線的形狀分布圖

因此,與有理二次Bézier曲線相比,有理二次q-Bézier曲線表示圓錐曲線的范圍更廣,除了可以利用ω控制圓錐曲線的形狀外,也可以利用q的取值實現。

對于給定的控制圓域〈P0〉=〈(-3,0);0.15〉、 〈P1〉=〈(2,4);0.15〉、〈P2〉=〈(3,0);0.15〉和權因子ω0=ω2=1、ω1=ω,圓域有理二次q-Bézier曲線生成的各種圓錐曲線帶如圖4所示。圖4a為固定q、調整ω得到的圓錐曲線帶;圖4b為固定ω、調整q得到的圓錐曲線帶。

圖4 q和ω的取值不同得到各種圓錐曲線帶

4 結 論

本文提出圓域有理q-Bézier曲線的概念,改變參數q的取值可以得到一簇圓域有理q-Bézier曲線。給出了圓域有理q-Bézier曲線的基本性質及相應的De Casteljau型算法。與有理Bézier曲線一樣,圓域有理q-Bézier曲線也可精確表示各種圓錐曲線。具體給出了圓錐曲線帶的圓域有理二次q-Bézier曲線表示方法以及形狀分布圖,經典有理Bézier方法以及文獻[4]的結果均包含在形狀分布圖中,故本文的方法在幾何造型中增加了構造的靈活性,同時拓展了構造的范圍。數值實例表明,通過改變參數q和ω的值可以得到更加豐富的圓錐曲線帶。

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Diskrationalq-Béziercurves

(1.School of Mathematics, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China; 2.Dept. of Mathematics, University of La Verne, La Verne 91750, USA)

Disk rationalq-Bézier curves are presented using a class of generalized Bernstein basis. A family of disk rationalq-Bézier curves can be obtained by changing the value of parameterq. The basic properties of this kind of rational curves are discussed. De Casteljau type algorithm of disk rationalq-Bézier curves is also considered. The quadratic disk rationalq-Bézier curve can be used to represent conic section accurately. The proposed method is more flexible than the existing methods, and it indicates a larger range. Some numerical examples demonstrate that the study of disk rationalq-Bézier curves is of theoretical importance and practical significance.

disk arithmetic; disk rationalq-Bézier curve; center curve; De Casteljau type algorithm; conic section

2016-07-07；

2016-10-25

國家自然科學基金資助項目(11471093);安徽省教育廳自然科學重大研究資助項目(KJ2014ZD30)；中央高校基本科研業務費專項經費資助項目(JZ2015HGXJ0175);安徽省省級質量工程專業綜合改革試點資助項目(2012zy007)和名師工作室資助項目(2015msgzs126)

呂雁燕(1993-),女,安徽東至人,合肥工業大學碩士生;

劉 植(1976-),男,安徽金寨人,博士,合肥工業大學副教授,碩士生導師，通訊作者,E-mail:liuzhi314@126.com;

劉曉雁(1962-),女,安徽合肥人,博士,拉文大學教授.

10.3969/j.issn.1003-5060.2017.09.026

TP391.41

A

1003-5060(2017)09-1289-05

(責任編輯 朱曉臨)