分數階中立型時滯微分方程解的存在性及通解

張玉峰, 張志信, 蔣 威, 王 健

(安徽大學 數學科學學院, 安徽 合肥 230601)

分數階中立型時滯微分方程解的存在性及通解

張玉峰, 張志信, 蔣 威, 王 健

(安徽大學 數學科學學院, 安徽 合肥 230601)

隨著分數階微分方程在各個研究領域的廣泛應用,分數階微分方程的理論研究引起了國內外學者們的廣泛關注。文章研究了分數階中立型時滯微分方程在Caputo導數意義下解的存在唯一問題以及通解表達式。首先利用分步法分析了分數階中立型時滯微分方程的解的存在唯一的條件;其次在保證解存在的前提下,通過構造基礎解系,利用Laplace變換給出了分數階中立型時滯微分方程的通解表達式。

分數階;時滯;中立型微分方程;解的存在性;通解

0 引 言

自從關于分數階微積分的文獻[1]出版以來,分數階微積分在各個領域的作用也愈發重要,如在電路、流體力學、生物學等方面[2]。因此分數階微積分引起了很多學者的興趣和關注。分數階微分方程的解的性態又是分數階微積分理論的重要課題,文獻[3]研究了一類線性分數階微分系統的解的結構,并利用Mittag-Leffler函數給出了其通解表達式;文獻[4]求證了一類分數階微分方程在Riemann-liouville導數意義下解的存在唯一性以及其解對初始條件的連續依賴性;文獻[5]分析了常系數分數階線性微分方程解的存在唯一性以及穩定性;文獻[6]給出了分數階線性退化微分方程在Caputo導數意義下解的存在性和表達式。目前,對于整數階微分方程和中立型微分方程的通解形式已經得出了很多結論[7-12],而對于分數階中立型微分方程的解的研究相對較少。受到上述文獻的啟發, 本文研究了如下較一般的中立型分數階微分方程解的存在性以及通解問題,即

(1)

其中,A,B,C∈Rn×n；x(t),f(t),φ(t)∈Rn；0<α≤1。

本文首先利用分步法來討論方程(1)的解的存在唯一性,然后通過構造基礎解系以及利用Laplace變換,給出了方程(1)的通解表達式。

1 準備知識

定義1 設可積函數f(t)∈C[a,+∞),Reα>0,則當t>a時,記

為函數f(t)的α階Riemann-liouville分數階積分。

定義2 設0≤n-1<α

為f(t)的α階Caputo分數階導數。

定義3 Caputo分數階導數的Laplace變換定義如下:

0≤m<α

引理1 設x(t)∈Rn為下列方程的解:

(2)

其中,A∈Rn×n;f(t),φ∈Rn;0<α≤1。并且f(t)∈C1-α([a,b])(C1-α([a,b])={g(t)∈C((a,b]):‖(t-a)1-αg(t)‖C<+∞}),根據文獻[4]可知方程(2)式存在唯一解:

引理2[6](卷積第一定理) 若F1(s)=L[f1(t)],F2(s)=L[f2(t)],則有:

F1(s)F2(s)=L[f1(t)*f2(t)]=

2 主要結果

2.1 分數階中立型時滯微分方程解的存在性

證明由分步法,當t∈[0,1]時,將φ(t)代入可得:

根據引理1可知方程(1)在t∈[0,1]上存在且唯一解:

同理,當t∈[1,2]時,方程(1)的解也存在且唯一,其解為:

以此類推, 若已知方程(1)在[n-1,n]上的解xn(t)(n∈Z),則根據引理1可知x(t)在[n,n+1]上有唯一解,即

這樣進一步分析, 即知系統(1)在[0,+∞)上存在唯一解。證畢。

2.2 分數階中立型時滯微分方程的通解

定義4X(t)∈Rn×n稱為方程(1)的基礎解,即滿足:

其中,A,B,C∈Rn×n;E為n階單位矩陣。

定理2 方程(3)的解X(t)滿足:

H-1(s)=s1-αL[X(t)]

(4)

(5)

其中,H(s)=sαE-A-(B+Csα)e-s。

證明在(3)式兩邊實行Laplace變換,可得H(s)L[X(t)]=sα-1E,從而有:

H-1(s)=s1-αL[X(t)],

即(4)式成立。

對X(t)實行(1-α)階Caputo分數階導數的Laplace變換得到(5)式。

其中,當t>1時，U(t)=0;0≤t≤1時，U(t)=1；A,B,C∈Rn×n；0<α≤1；C1-α([0,+∞))={g(t)∈C((0,+∞)):‖t1-αg(t)‖C<+∞}；X(t)為系統(1)的基解。

證明對(1)式兩邊實行Laplace變換,并代入φ得:

sαL[x(t)-Cx(t-1)]-sα-1[φ(0)-Cφ(-1)]=

AL[x(t))]+BL[x(t-1)]+L[f(t)],

即

sαL[x(t)]=sα-1[φ(0)-Cφ(-1)]+AL[x(t)]+

(B+Csα)L[x(t-1)]+L[f(t)]

(6)

將L[x(t-1)]=L[φ(t-1)U(t)]+e-sL[x(t)]代入(6)式可得:

H(s)L[x(t)]=sα-1[φ(0)-Cφ(-1)]+

(B+Csα)L[φ(t-1)U(t)]+L[f(t)]

(7)

聯立(4)式、(5)式、(7)式可得:

L[x(t)]=[φ(0)-Cφ(-1)]L[X(t)]+

其中

-e-sφ(0)L[X(t)]+

φ(-1)L[X(t)]+L[φ′(t-1)U(t)]L[X(t)]=

-φ(0)L[X(t-1)]+φ(-1)L[X(t)]+

L[φ′(t-1)U(t)]L[X(t)]。

L[x(t)]=[φ(0)-Cφ(-1)]L[X(t)]+

Cφ(0)L[X(t-1)]+Cφ(-1)L[X(t)]+

由引理2對L[x(t)]兩邊實施Laplace逆變換,可得:

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Existenceandgeneralsolutionoffractionalneutraldifferentialequationwithtimedelay

ZHANG Yufeng, ZHANG Zhixin, JIANG Wei, WANG Jian

(School of Mathematical Sciences, Anhui University, Hefei 230601, China)

Many scholars pay much attention to fractional differential equation with time delay because it plays an important role in many fields. This paper deals with the existence and uniqueness of the solution of fractional neutral differential equation with time delay based on Caputo derivative and its general representation. Firstly, by the method of step by step, the conditions for the existence and uniqueness of the solution of fractional neutral differential equation with time delay are analyzed. Then in the condition of the existence of the solution, the general representation is given by defining the basic solution and using Laplace transformation.

fractional order; time delay; neutral differential equation; existence of solution; general solution

2016-06-05

國家自然科學基金資助項目(11371027;11471015;11601003);高等學校博士點專項科研基金資助項目(20123401120001);安徽省自然科學基金資助項目(1608085MA12);安徽大學博士科研啟動經費資助項目(023033190142)和安徽大學研究生學術創新研究扶持與強化資助項目(yfc10013)

張玉峰(1992-),男,安徽阜陽人,安徽大學碩士生;

張志信(1976-),男,安徽安慶人,安徽大學副教授,碩士生導師,通信作者,E-mail:zhang-zhi-x@sina.com;

蔣 威(1959-),男,安徽五河人,安徽大學教授,博士生導師.

10.3969/j.issn.1003-5060.2017.09.027

O175.15

A

1003-5060(2017)09-1294-03

(責任編輯 張 镅)