感生電場中導體回路間的電勢差

洪 波 于正榮

(1. 江蘇省鹽城中學，江蘇 鹽城 224005 2. 鹽城市伍佑中學，江蘇 鹽城 224041)

·問題討論·

感生電場中導體回路間的電勢差

洪 波1于正榮2

(1. 江蘇省鹽城中學，江蘇 鹽城 224005 2. 鹽城市伍佑中學，江蘇 鹽城 224041)

變化的磁場產生感生電場,此電場分布于整個空間,導體回路處于感生電場中產生感生電動勢．本文針對一道電磁感應習題,指出中學階段常見解答中的科學性錯誤,并定量計算了區域為正方形的變化磁場所激發的感生電場,從而正確求出導體回路中的兩點在感生電場中的電勢差．

電磁感應;感生電場;電動勢

1 問題的提出

題目.輕質細線吊著一邊長為L=0.8m、匝數n=10的正方形線圈,R1=R2=R3=1Ω,其他電阻不計．邊長為L/2的正方形磁場區域對稱分布在線圈下邊的兩側,如圖1(甲)所示,磁場方向垂直紙面向里,大小隨時間變化如圖1(乙)所示．求:

圖1

(1) 2s時通過電阻R1的電流大小和方向.

(2) 2s時,C、D兩點間的電勢差大小是多少?

(3) 6s內通過電阻R1的電荷量q及電阻R1上產生的熱量.

類似習題中學階段也不少見．本題中的第(2)問,得到廣大中學教師的熱烈討論,但結果莫衷一是．參考答案如下:

上述解答實際上存在一個重大的科學性錯誤．因為根據麥克斯韋電磁場理論,變化的磁場產生電場,這個感生電場通常構成閉合曲線,所以又稱之為渦旋電場．并且此電場并不只僅僅處于有磁場的區域內,而是分布在包括磁場區域內、外的整個空間．本題盡管磁場限定于abcd內部,但abcd以外、線圈ABEF的四周都將存在感生電場．由于感應電動勢就是由感生電場推動線圈內的自由電子移動引起的,因此線圈的4條邊都可能存在電動勢．所以,原參考答案僅僅把線圈的CD部分看成電源、其余部分看成外電路的處理方法是錯誤的．

上述觀點得到絕大多數教師的肯定．但原題的結果究竟如何,大家無法確定．顯然,要正確解答本題,首先要了解由于正方形區域內的變化磁場在空間所激發的的感生電場的分布情況,然后求出線圈ABEF各條邊所產生的感應電動勢,最后結合電路結構才能得出令人信服的結果．

2 有限區域的變化磁場所激發的感生電場

根據麥克斯韋方程,感生電場沿任何閉合路徑的環流滿足

∮lE·dl=-S·dS.

(1)

圖2

圖3

(2)

(2)式即為有限區域內隨時間變化的磁場在周圍空間所激發的感生電場的計算公式．其中位矢r的方向由Q指向P．

3 區域為正方形的磁場所激發的感生電場

圖4

下面計算正方形磁場區域所激發的感生電場．設圖1中正方形磁場區域abcd的邊長為2a,以該正方形的中心O為坐標原點、bc方向為x軸正方向建立直角坐標系,如圖4所示．在矩形磁場區域內取一面積元Q,其坐標為(x0,y0),面積為dS=dx0dy0．則Q到xy平面上任一點P(x,y)的位矢QP可表示為r=(x-x0)i+(y-y0)j．代入(2)式可得P點的感生電場為

E(x,y)在x方向的分量為

(3)

同理E(x,y)在y方向的分量為

(4)

考察(3)、(4)兩式,不難發現該感生電場具有以下特點:

(1) 當x=0,y=0時,Ex=0,Ey=0．即坐標原點處無電場．當x=∞,y=∞時,Ex=0,Ey=0．即無窮遠處感生電場也為0．

(2) 當x=0時,Ey=0,E=Ex,當y=0時,Ex=0,E=Ey．即x、y軸上各點的感生電場分別與x、y軸垂直．

(3) 此感生電場還具有下列對稱關系.

Ex(x,y)=Ex(-x,y);Ey(x,y)=-Ey(-x,y)，

Ex(x,y)=-Ex(x,-y);Ey(x,y)=Ey(x,-y)，

Ex(x,y)=-Ex(-x,-y);

Ey(x,y)=-Ey(-x,-y).

即此感生電場以坐標原點O為對稱點．

圖5

通過數值計算模擬出此感生電場的電場線如圖5所示,其形狀類似圓形但不是圓形．

4 對原題的分析

綜上所述,由于磁場變化所激發的感生電場,不僅與磁場變化的快慢有關,還與磁場的區域(即邊界條件)有關;除了圓形區域以外,其他形狀的磁場所激發的感生電場的計算一般都非常復雜;由于感生電場分布在整個空間,我們可以通過其線積分來計算處于感生電場中的各部分導體產生的電動勢,與法拉第電磁感應定律的結果一致,但具體計算遠遠超出中學內容的要求,所以在涉及相關內容的命題時一定要注意回避,更不可犯科學性錯誤．

1 桑芝芳.導體回路中的感應電動勢是如何分布的[J].物理通報，2010(2)：8-11.

2 楊曉峰，許麗萍.變化磁場產生渦旋電場的一般形式[J].工科物理，1994(4)：4-5.

3 李衛平.渦旋電場的電場線總是圓形嗎[J].中學物理，2012(23)：51-52.

4 趙堅.對渦旋電場中所謂“引入”電勢、電勢差概念問題的討論[J].物理教師，2009(10)：6-7.

2017-02-27)