構建題鏈 助力教學

趙爽

[摘 要] 為更好地實現課標中提高學生能力和培養核心素養的教學目標，筆者在“任務驅動”教學方法的理論基礎上，嘗試探索了以連鎖型題目鏈為載體的任務驅動式“題鏈”教學法. 本文將簡析“題鏈教學”的含義、現實意義、優勢和題鏈設計原則，并以“平面向量三點共線定理”的教學為例，展示題鏈設計和運用“題鏈教學”實現教學目標的過程，并分享教學感悟.

[關鍵詞] 題鏈設計；題鏈教學；提高能力；構建知識體系；意義；優勢

題鏈教學

1. “題鏈”和“題鏈教學”的含義

教師在核心知識的教學過程中，圍繞同一個核心理論，有目的、有計劃地設計出若干個邏輯關系緊密的題目，通過條件結論、形式內容或理論背景等非本質特征的改變，形成的層層遞進、環環相扣，但知識內核相同的題組，稱為題鏈. 通過對題鏈中每個問題的實踐探究，實現課堂的拓展延伸，即推進核心理論知識學習的深度、廣度，構建和完善知識體系的教學方法，我們稱之為“題鏈教學”.

2. 題鏈教學的現實意義

新課程標準要求高中數學教師不斷改進、創新教學方法，使得原本局限于教材知識的教學目標，逐漸轉變為通過縱向深挖、橫向拓展的學生自主探究過程，實現知識網絡的建構；同時提高學生舉一反三、以不變應萬變，站在更高視角提出問題、解決問題的能力，并在逐步推進深入的教學過程中，強化數學思想方法，提高數學學習能力，培養數學研究興趣. 而題鏈作為一種邏輯性強、針對性強、學生參與度高、與新課程理念吻合度高的教學方式，將會是實現上述教學目標的一種操作性強、行之有效的教學手段.

以“平面向量基本定理”為例的題鏈教學

理論基礎：定理1：如果e1，e2是平面內兩個不共線的向量，則對平面內任意向量a，存在唯一一對實數m，n，使a=me1+ne2，e1，e2為平面的一組基底，簡稱基.

定理2：平面內不共線向量 ， ， ，滿足 =m +n ，則A，B，C共線的充要條件是m+n=1.

1. 題鏈初始——深入淺出，夯實核心理論知識基礎

例1：在△ABC中，點D滿足 =3 ， =λ +μ ，則λ=_____，μ=_____.

分析：A，D，C三點共線，故μ=1-λ，即 =λ +（1-λ） ， =λ ，由已知得λ= ， μ= .

題目設計意圖：點題之意，以簡單實例復習和鞏固本節最核心的理論知識——平面向量共線定理，并在舊知基礎上啟發學生深入思考， 在基底 ， 下系數的具體數值與D點位置之間的特殊關系及其成因，引導學生對更一般的情形進行探究，通過學生間的合作探究形成推論1，是為溫“故”知“新”.

推論1：平面內三點A，B，C共線，O為直線外一點，若 = ，則 = + .

例2：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的動點，則 +3 的最小值為______.

分析：由推論1知，已知一直線上線段長的比即可得到對應基底下的系數，可否逆用系數確定該點的位置呢？思考后有同學一語道破天機，只要基底下的系數和是1就行. 那么如何使系數和是1呢？學生們若有所思，后躍躍欲試，大膽猜證，終恍然頓悟：M是AB的四等分點（靠近B），最小值轉化為點M到直線CD的距離，迎刃而解. 即 +3 min=4 + min？劬4 min=4× =5.

題目設計意圖：例2是對推論1的逆用，此處設題，是希望學生更熟悉推論1，同時也使學生對共線定理和推論1的理解更深刻.探究過程中還訓練到了基底思想、構造思想和轉化思想，為今后數量積的學習和解析幾何的學習打下了一定的基礎，更是對學生探究能力的培養.

題鏈設計反思：由例1和恰當的引導，激發學生的研究熱情，在課堂內由探究實現了推論1的發現、證明，將理論基礎向前推進一步，隨之例2的應用更是為了夯實現有的理論基礎，以使后續題鏈教學能夠順利進行.

設計題鏈時，巧妙的選題和設計能最大限度地發揮題目的作用，即便課堂時間有限，也能給學生留下充足的思考時間和探究機會，提高學生的課堂參與度，自然就能提高探究學習的積極性.

溫馨提示：值得注意的是，題鏈的起始問題至關重要，一定要由淺入深、循序漸進，初始題目一定要“高起低落”，同時兼具可延伸性，給學生以探究的自信和興趣.

2. 題鏈推進——梯級漸進，實現理論知識的縱向延伸和橫向拓展

例3：四邊形OABC是邊長為1的正方形，OD=3，P為△BCD內（含邊界）的動點，設 =α +β （α，β∈R），則α+β的最大值等于________.

分析：動點問題，不妨固定點P，由特殊來研究一般. 設P是CD上的點，則系數和α+β為1.設Q為OP與CD的交點， =λ ，得α+β=λ= ，由平面幾何知在B處取λmax= .

推論2：平面內點O不與A，B共線，定直線l與AB平行，D為直線l上任一點， =m +n ，則當D在l上運動時，系數和m+n為定值，該值只與定直線l的位置有關. 直線l可稱為系數等和線.

變式：如圖4，A，B，C是圓O上的三點，CO的延長線與線段BA的延長線交于圓O外點D，若 =m +n ，則m+n的取值范圍是________.

解析： =λ ，由題λ=m+n∈（-1，0）.

由此，引導學生歸納總結當動點或系數等和線在不同區域時，m+n的取值范圍：當l與AB重合時，m+n=1；當l經過點O時，m+n=0；當l在點O和AB之間時，01；當點O在AB和l之間時，m+n<0.

題目設計意圖：例3是對核心教學內容的縱向延伸，將推論1靜態點的共線性質，遷移到動態點的性質，由共線到類共線的條件變化引發理論延伸的空間，因此具備探究價值. 變式作為例3的補充題目，設計目的是對推論2——系數等和線的完善，以保證知識結構的完整性的和探究學習的有效性，提高學生對新知識的理解深度和實踐應用能力.

題鏈設計反思：在探究過程中，學生探究發現并證明推論2，要經歷從特殊到一般的轉化，從動態到靜態的化歸，既實現了知識遷移，又訓練了學生的邏輯思維和創新思維，極大地提高了解決問題的能力，也收獲了更多成功的體驗，為學習研究帶來更大的動力和信心.

溫馨提示：題鏈推進的第一環節是深入挖掘理論，理論越深，題目難度自然越大. 為此，在設計過程中，教師要善于把繁雜的教學內容進行分解，化整為零，通過具有層次梯度的題目設計，幫助學生降低探究學習的難度，同時以題“導航”，指引探究方向，使得探究學習的效率更高、效果更好.

例4：已知O在△ABC內，滿足 +2 +3 =0，則S△BOC∶S△AOC∶S△AOB=______.

解析： =- + ？劬- ，由推論1知，點D在線段AB上，AD∶BD=2：1，點C，O，D共線且OC=OD，故S△BOC∶S△AOC=1∶2，S△AOB=S△BOC+S△AOC，即S△BOC∶S△AOC∶S△AOB=1∶2∶3.

引導：面積比跟系數比之間1∶2∶3的對應關系可否進行推廣，如何推廣？

部分學生提出m +n +（m+n） =0，可得S△BOC∶S△AOC∶S△AOB=m∶n∶（m+n）；另有部分學生質疑，如果m +n +p =0呢？這個問題因難度和高考要求等原因不適合在課堂完成，因此留作課外探究任務，分組合作完成，各組匯報結果后總結得到推論3.

推論3：O為△ABC內一點，則m +n +p B=0的充要條件是S△BOC∶S△AOC∶

S△AOB=m∶n∶p.

題目設計意圖：例4通過非共線問題的共線化解答及耐人尋味的答案，引發學生對該類問題的探究，設計的目的即是實現對核心教學內容的橫向拓展——用共線研究三角形內一類面積比問題，以例4為藍本進行類比推理和理論推證，最終同樣抽象出相應的結論3，在知識網絡上“橫行”，達到拓寬理論知識、培養思維廣度的設計意圖.

題鏈設計反思：本環節的探究過程難度頗大，能力要求較高，學生要在課外默契配合，共同完成，但同樣也是達成能力目標的最佳契機. 過程中學生要通過類比推理，進行合情猜想，抽象概括成數學結論，并用數形結合、轉化化歸等數學思想方法，輔以平面幾何知識進行嚴謹的科學求證，探究過程即是數學學習能力培養和提升的過程.

溫馨提示：有效的題鏈教學不僅要有思維深度，更要有思維廣度，因此題鏈推進的第二環節，即是知識體系的橫向拓展，這一環節務必注意拓展問題與核心教學內容的潛在聯系；另外，有時知識的拓展延伸因客觀條件所限，必須在課外完成，因此需要教師合理的導向和充足的延時等待.為此，教師在設計題目時，要善于把握學生的認知特點、思維特點及高考命題要求，精心設計橫向拓展題目和每道題目的探究時機，以保證教學效果和效率雙豐收.

3. 題鏈連鎖——綜合演練，促進能力提升，構建知識網絡

例5：（1）設O是△ABC的外心，AB=1，AC=2， =x + （x∈R），則△ABC的邊BC的長度為________.

（2）在△ABC中，I是內心，AC=2，BC=3，AB=4， =x +y ，則x+y=_______.

（3）在扇形AOB中，OA=OB=1，∠AOB= ，C為弧（不含端點）上一點， =x +y ，則x+y的范圍是________；若t=x+λy存在最大值，則λ的范圍是________.

解析：（1） =x + = +1- （其中F為AC的中點， =4 ），O在EF上，則①當O與F重合時，O為AC的中點，△ABC為直角三角形，BC= = ；②當O不與F重合時，由外心知EF為AC的中垂線，在Rt△AEF中，得cosA= ，△ABC中，得BC=2.

（2）由題得S△BIC∶S△AIC∶S△AIB=3∶2∶4，由推論3得3 +2 +4 =0，即-3 +2（ - ）+4（ - ）=0，故 = + ，則x+y= .

（3）①設OC與弦AB交于點D， =λ ，由推論2知x+y=λ，且λ= ，過弧AB中點M和點C分別作與AB平行的直線l0，l，則當l與AB重合時，λ=1；當l與l0重合即與圓弧相切時，λ= .所以C在弧AB上運動時，1<λ≤ ，即x+y∈1， .

②將已知條件改寫成 =x +λy （其中 = ）. 由（1）知，當C處的切線與AP平行時，t=x+λy取到最大值，故欲使tmax存在，只需弧AB存在與AP平行的切線，點P在P1，P2之間時，平行切線存在.又λ= ，所以 <λ< .由∠AOB= 可得 <λ<2.

題目設計意圖：例5是對前面所有探究所得理論知識的應用和拔高，是為了提高題鏈教學效果而精心準備的題目.從學生的認知規律角度來說，在接受新知識時必要的重復和適量的訓練是必不可少的，因此本環節在不同的情境下設置問題，題目都有一定的綜合性和思辨性，幫助學生更高效地理解、應用所學理論，并將所學的知識方法融會貫通，達到題鏈連鎖，提高學生的能力，同時構建完整的知識體系.

題鏈設計反思：本環節實際是數學應用屬性的體現，也是新課程對數學教學提出的更高要求. 過程中學生需要匯集前面所有的知識并獨自梳理，形成知識網絡，并能恰當地選擇合適的理論和對應的方法解決探究過程中遇到的困難，比如前面反復提到的轉化化歸思想、構造思想、逆向思維、數形結合等數學思想方法.問題解決的過程也是將知識網絡定型、鎖定的過程，是知識內化和能力升華，檢驗教學效果的過程，于教師和學生而言都至關重要.

溫馨提示：建構主義告訴我們，學習的過程是原有的認知結構不斷同化新知識的過程，在這個過程中，學生要經歷“已知區—最近發展區—未知區”的過程，這個過程是不斷重復、循序漸進的. 通過前面兩個教學環節，將學生認知水平“已知區”的知識不斷強化，變成常識，之后在學生認知水平的“最近發展區”設置延伸拓展內容，開展題鏈教學.而本環節則是將教學推向學生認知“未知區”的過程，是教學的終極目標，教師在備課設計題鏈時有必要充分了解學生認知的最近發展區和未知區，以使教學過程針對性更強，教學效果更好.endprint

題鏈教學的感悟

1. 設計題鏈遵循一定的原則

首先，一定要在學生思維的最近發展區設計梯度分層的題目，保證以學生已有的認知水平和學習能力，通過合作探究可以達到教學目標；其次，要注意題設的目標明確，重點突出，知識多元，用有效的題鏈設計，促進知識脈絡的解構和知識網絡的構建，保證延伸拓展的深度、廣度；最后，注意難點問題的重現、落實和數學思想方法的滲透，以保證延伸拓展的效度.

2. 題鏈教學是師生雙主體的動態教學過程

教師的主體作用體現在對知識主線、教學目標的設置和探究方向的把握上，并針對學生在實際探究過程中遇到的問題，及時給出反饋和微調，保障探究活動的順利進行；而學生是探究活動的實施者，用同學之間的合作交流碰撞出智慧的火花，逐步推進探究的深度和廣度，得到知識和能力上的雙豐收. 在這個過程中，教師要注意探究時機的設定，哪些問題的拓展可以在課堂內部進行，哪些必須給足時間，延時到課堂之外，讓學生有更多的機會和時間交流探討. 學生要注重探究方向和方法的選擇，及時梳理題鏈中各個題目之間的表面聯系和本質聯系，多嘗試總結概括，將題目的理論價值挖掘出來，以充實和完善相關知識體系. 用題鏈教學一般要經歷“引導—探究—總結—應用”等過程，具有循環上升的特性，是“師—生—師—生”的雙主體動態教學過程.教師的主體作用保障了“驅動任務”的科學性，避免了完全依靠學生自主探究的低效和盲目性.學生的主體性體現在課堂的參與度和主動性，保證了教學目標的高效完成.二者互相促進，相輔相成.

3. 題鏈教學應關注學生數學素養的培養

題鏈的設計和教學，是以典型題目為載體，縱向開發知識深度，橫向延展知識廣度，逐步提高理論知識學習的教學方法，而這樣的教學過程是滲透數學思想方法、培養數學思維、提高數學素養的絕佳機會. 如本文中一直滲透的數形結合思想、構造思想、轉化和化歸思想等.學生解題后，都相應地引導反思不同問題之間的聯系，提升問題解決能力和抽象概括能力；要求學生對猜想的結論進行論證，培養嚴謹的邏輯思維能力；由“學”到“用”，提高數學應用意識和應用能力，提高數學素養.

4. 題鏈教學相比傳統教學的優勢

題鏈教學優勢體現在三個方面：首先，通過巧妙的題目設計，自然而然地實現課堂橫向拓展和縱向延伸，是對傳統的“講授型”課堂教學的補充和落實，以題鏈探究的方式鞏固和加深相關理論知識的教學，幫助學生構建更清晰完整的知識網絡；其次，題鏈教學過程的實施，很大程度上依靠學生的自主探究或合作探究，相對于傳統教學，極大地提高了學生的主動性，能促進學生更全面地看待問題，幫助學生將所學的知識點融會貫通，充分培養學生的合作精神以及獨立思考能力、轉化化歸能力、抽象概括能力、提高創新思維能力和問題解決能力，培養良好的數學素養，最終達到提高教學質量培養數學人才的目的；最后，題鏈的設計和探究方向把控是教師備課的關鍵內容，也是題鏈教學效果的有力保障，這個過程對教師前期備課充分性、資料整合科學性、課堂節奏掌控能力、中學數學專業功底等個人能力要求頗高，因此這一教學法比傳統的教學方法經驗型的備課過程，更能提高中學數學教師的教學能力和專業素養，促進教師隊伍整體實力提升.endprint